“研題”助推教師專業(yè)成長“研題”助推教師專業(yè)成長

◎錢 江 莊美珊

(1.深圳市寶安中學(xué)，廣東 深圳 518000；2.深圳市民治中學(xué)，廣東 深圳 518000)

波利亞曾說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”而要做到“善于解題”需要長期的訓(xùn)練——研題.“研”乃石開也，即把石頭撬開，不僅需要勇氣與智慧，更需要高屋建瓴、謀全局的意識(shí)．教師通過解題研究(簡稱“研題”)挖掘題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和一般規(guī)律，透過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，可幫助學(xué)生走出題海，提高學(xué)習(xí)效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)．研題既是高中數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)與能力，教學(xué)研究的重要組成部分，也是促進(jìn)教師專業(yè)成長的有效途徑．那么何為研題？研哪些題？又該怎樣開展研題?

一、何為研題

研題，是在正確解題的基礎(chǔ)上對(duì)題目進(jìn)行反思，挖掘題目的內(nèi)涵與潛在價(jià)值.也就是教師對(duì)題目進(jìn)行更深入的研究分析，尋找命題規(guī)律，幫助學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)考試，從教師的角度分析題目的設(shè)計(jì)意圖和考查方向，并最終進(jìn)行系統(tǒng)整理與拓展的過程.

二、研何題

(一)研課本題明題源

教師在研究高考真題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)很多題目“似曾相識(shí)”，總能找到教材例題、習(xí)題的影子，是教材中例題、習(xí)題的再現(xiàn)與重組或變式與拓展.高考試題“源于課本”，這是由高考的性質(zhì)決定的.教師要善于尋找高考試題的課本生長點(diǎn)和命題背景，探究題源，挖掘命題的“題根”，達(dá)到由例及類、觸類旁通的目的，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力、培養(yǎng)思維品質(zhì)、落實(shí)核心素養(yǎng)、改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方法、減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)都是大有裨益的.

(二)研高考真題觀趨勢(shì)

研究歷年高考真題的意義絕不在于“做題”本身，而在于通過高考真題探索命題趨勢(shì)、規(guī)律，實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：①理解以素養(yǎng)為導(dǎo)向、能力為重的命題原則；②梳理高考真題的通性通法，拓展一般性規(guī)律；③把握“重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化引領(lǐng)，突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查”的命題方向；④完善知識(shí)體系，運(yùn)用高考真題體會(huì)知識(shí)和考點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系，提升課堂解題教學(xué)的指導(dǎo)性、針對(duì)性和高效性；⑤學(xué)習(xí)高考題的命題方法，提升自己的命題能力.

(三)研模擬習(xí)題學(xué)變式

隨著新課改的深入，越來越多的競賽試題、省地市模擬題等呈現(xiàn)出回歸教材及歷年高考真題的趨勢(shì).特別地，一些試題的“題根”直接來源于歷屆各省高考真題，是利用變形、轉(zhuǎn)化、深入、創(chuàng)新、拓展應(yīng)用等手段加以合理改編得到的.教師對(duì)各地市的模擬題進(jìn)行研究，除了可以進(jìn)一步提升自己的解題能力，還能有效提升命題能力.

三、如何研題

研題是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜、內(nèi)容相當(dāng)豐富的工作.為了更好地促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的全面發(fā)展，教師通常需要針對(duì)題目的解題方法進(jìn)行變式研究.關(guān)于研題的具體實(shí)施步驟，課題組總結(jié)出以下四個(gè)方面.

(一)研“解”

教師研題的基礎(chǔ)是解題，即重視解題方法對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).教師通過探究一道題目的不同解法，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和抽象思考能力，加強(qiáng)學(xué)生的解題實(shí)力；可通過多題一解，加大學(xué)生的思維深度，學(xué)會(huì)由表及里地分析問題，抓住問題的本質(zhì)；可通過解法將一道試題解法的多樣性和不同解法的差異性挖掘出來，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師研題時(shí)要根據(jù)學(xué)生能力、知識(shí)、思想方法的差異性從多角度進(jìn)行思考，力求舉一反三，通過探求不同的解法向解一類題、一組題的方向發(fā)展.

圖1

該題是在多個(gè)三角形中，利用正、余弦定理解三角形的一道經(jīng)典題型，滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程等思想.本題主要有以下幾種解題思路.

思路一：利用面積關(guān)系構(gòu)建橋梁.

在△ACD中,

AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD

∴AD=5.

思路二：利用角互補(bǔ)構(gòu)建橋梁.

在△ABC中，∵BD=2AD，設(shè)AD=x(x>0)，則BD=2x.

在△BCD中，∵CD⊥BC，CD=5，BD=2x，

∵∠CDB+∠ADC=π，∴cos∠ADC=-cos∠CDB，

思路三：利用公共角構(gòu)建橋梁.

在△ABC中，∵BD=2AD，設(shè)AD=x(x>0)，則BD=2x.

在△BCD中，∵CD⊥BC，CD=5，BD=2x，

由余弦定理,得

解得x=5，∴AD的長為5.

思路四：利用平面幾何知識(shí)添加平行線.

圖2

過D作DE//AC,

在Rt△DCE中，

以下同解法1.

以上幾種方法是解多個(gè)三角形問題的常見解法，通法是利用多個(gè)三角形的公共邊、相同角、互補(bǔ)角、面積等構(gòu)造方程.在同一數(shù)學(xué)情境中，不同解題思路、程序的設(shè)定可體現(xiàn)解題人對(duì)于具體數(shù)學(xué)問題特征的把握，以及對(duì)內(nèi)涵的挖掘.一題多解不是解題追求的目標(biāo)，而是要提煉解決問題的通性、通法，形成數(shù)學(xué)方法和思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

(二)研“規(guī)”

一個(gè)好的題目一定是入口寬、出口窄、解法多樣的，但無論哪一種方法，最后又能回歸到通性、通法上來.我們應(yīng)該依托試題，在深入研究多種解法的基礎(chǔ)上探求其內(nèi)在規(guī)律，理清試題內(nèi)在的本質(zhì)屬性.我們還應(yīng)進(jìn)一步思考問題背后的本質(zhì)是怎樣的，解題方法蘊(yùn)含著怎樣的通性、通法和數(shù)學(xué)思想，是否存在更一般的規(guī)律，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律.

此題為2017年全國Ⅰ卷理科20題的第(2)問，過橢圓短軸頂點(diǎn)P,作兩條斜率和為定值-1的兩條直線與橢圓相交，證明它們的交點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)，屬于圓錐曲線的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題——定值定點(diǎn)問題.

教師可采用從特殊到一般的合情推理的方法進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生將條件進(jìn)行變式拓展，探索得到一般性推論，從而揭示問題的本質(zhì).教師可引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：此題定點(diǎn)P為橢圓短軸的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是否可以為橢圓上任意定點(diǎn)？兩條直線斜率之和為-1如果改為斜率之和為1,2，…，甚至是任意常數(shù)，相交弦所在直線都一定過定點(diǎn)嗎？還有其他情況嗎？斜率之和為定值是否能改成斜率之積為定值，這時(shí)直線仍過定點(diǎn)嗎？幾何載體能否從橢圓類比推廣到雙曲線、拋物線？經(jīng)過嚴(yán)格的證明，對(duì)此類定點(diǎn)定值問題可以歸納出一般性的結(jié)論.

推論一：

在圓錐曲線中，曲線上一定點(diǎn)P(x0,y0)(非頂點(diǎn))與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)滿足直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)，則直線EF的斜率為定值.

推論二：

若曲線C:mx2+ny2=1(m,n≠0)，P(x0,y0)為曲線C上一點(diǎn)，不過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，且直線PE,PF的斜率存在.

本題可以拓展為典型的“手電筒”模型，即在圓錐曲線上任取一點(diǎn)P,只要限定直線AP，BP斜率的條件，如斜率和為定值、斜率之積為定值，甚至斜率之差為定值，動(dòng)直線AB依然會(huì)過定點(diǎn)或者斜率為定值(因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，故稱手電筒模型).聯(lián)想這幾年的高考題，不少題型都是以圓錐曲線的幾何性質(zhì)為背景來命題的.

圖3

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

本題第(2)問因條件多，學(xué)生感覺無從下手.教師可引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)逆向思考，若存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值，那么動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以Q為圓心的圓.條件“點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN”可轉(zhuǎn)化為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)M，N,與橢圓上的定點(diǎn)A的斜率總滿足kAM·kAN=-1,由“手電筒模型”知，動(dòng)直線MN必過一定點(diǎn)E.再由條件AD⊥MN推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上，定點(diǎn)Q即是A，E的中點(diǎn).所以，此題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見題型：由kAM·kAN=-1,求出動(dòng)直線MN必過定點(diǎn)E.

圖4

推論三：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題，若P(x,y)在圓錐曲線外的一條定直線Ax+By+C=0上移動(dòng)，那么過動(dòng)點(diǎn)P的所有切點(diǎn)弦所在直線過定點(diǎn).

以上兩道題的本質(zhì)是推論二的特例，通過命題專家的精心“打扮”而使學(xué)生不識(shí)“真面目”，這里因篇幅所限，解答過程略.

茫茫題海，問解何處覓，真題探規(guī)，盡覽眾山小.高考復(fù)習(xí)備考要重視對(duì)高考真題的研究，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住試題特征，把握問題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)試題的共性，對(duì)同根、同源、同宗問題進(jìn)行歸納和拓展，達(dá)到解一道題會(huì)一類題，融通相關(guān)問題，從真題中找到高考的變化趨勢(shì)，從同類試題中找到變化規(guī)律，收到舉一反三的效果，實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí).

(三)研“源”

對(duì)于一道經(jīng)典試題，教師要善于研究問題出處，探尋題根，并深刻挖掘基于題根的命題思路.這種基于“問題從哪里來的，怎樣演變的，命題者的命題思路和方法是什么”的思考，以及力求站在命題者的視角審視問題，求本歸真研究“題源”的方法，更有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

1.真題再現(xiàn)

A.1 B.2 C.3 D.5

2.尋根溯源

上述兩個(gè)問題的背景源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4A版第108頁習(xí)題2.4中的A組第3題.

題目：已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3，求|a+b|,|a-b|.

證明：∵(a+b)2=a2+2a·b+b2, ①

(a-b)2=a2-2a·b+b2, ②

3.本質(zhì)挖掘

圖5

式③就是著名的“極化恒等式”，也叫“廣義平方差”公式.

圖6

極化恒等式的作用在于把兩個(gè)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的“和向量”與“差向量”，因此當(dāng)兩個(gè)向量的“和向量”或“差向量”為定向量時(shí)，可以用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.此恒等式的精妙之處在于建立了向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，具有化動(dòng)為定、化曲為直的作用.

圖7

例2略解：如圖7，取BC中點(diǎn)D,取AD中點(diǎn)E，

4.拓展延伸

圖8

分析：此題的難點(diǎn)為A，B，M三點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn),若采用常規(guī)的設(shè)線AB方程和動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，計(jì)算會(huì)非常煩瑣.

(四)研“變”

變式教學(xué)是常用、有效的教學(xué)方法之一.在解題教學(xué)過程中，教師需要將試題進(jìn)行變形、引申、推廣或拓展，形成題組進(jìn)行教學(xué).這樣可以更好地發(fā)揮題組的整體作用，幫助學(xué)生形成更好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與領(lǐng)悟，提升學(xué)生分析與解決問題的能力.變式可以沿著由淺入深的路徑，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的循序性與層次性；也可以沿著“形似但質(zhì)異”的思路，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，并訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性；也可以沿著“異題同解”的思路舉一反三，強(qiáng)化通性、通法與解題規(guī)律.常用的變式方法包括特殊化、一般化、變換背景、改變?cè)O(shè)問方式等，可改造問題的條件或結(jié)論，也可同時(shí)改變問題的條件與結(jié)論.

變式1：已知a>0且a≠1，若y=ax與y=logax的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

變式2:(深圳市2021年高二年級(jí)期末全市統(tǒng)考)設(shè)k>0，若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式log27x-k·3kx-1≥0成立，則k的最大值為( ).

此題為一道常規(guī)的含參不等式有解求參數(shù)范圍問題，但全市平均分僅0.3分.不等式同時(shí)含對(duì)數(shù)和指數(shù)且參數(shù)k不易分離是此題的難點(diǎn).大部分學(xué)生按照小題大做的方法，直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)，采用分類討論方法求最值，但導(dǎo)函數(shù)為含參的超越函數(shù)，難以求解.問題的突破口應(yīng)該從不等式結(jié)構(gòu)入手，突破形式困擾，挖掘本質(zhì)，方能柳暗花明.

令a=3k，則問題轉(zhuǎn)化為logax≥ax有解，求a范圍，此時(shí)解題明顯簡單了.

因?yàn)閥=logax與y=ax互為反函數(shù)，則可轉(zhuǎn)化為直線y=x與y=logax或y=ax有交點(diǎn).

四、結(jié)束語

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清‘是怎么想到這個(gè)解法’‘是什么促使你這樣想這樣做的’.”解題過程是一個(gè)思維過程，是把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程.波利亞認(rèn)為，“對(duì)你自己提出問題是解決問題的開始”“當(dāng)你有目的向自己提出問題時(shí)，它就變成了你自己的問題了”.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，我們就是要教會(huì)學(xué)生如何思考問題，如何將問題深化，如何挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，通過研解、研源、研規(guī)、研變等方式深入研究解題教學(xué)，幫助學(xué)生從浩瀚的題海中解脫出來，避免刷題帶來的繁重負(fù)擔(dān)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提高學(xué)生解決問題的能力.