基于數學建模能力培養的教學策略探究

丁玥 李瑋玲

摘 要：數學建模是六大數學核心素養之一，是分析實際問題，建立數學模型，并轉化成數學知識求解，從而解決實際問題的能力，是中學生的數學核心素養。解讀其構成要素，針對要素培養，尋找恰當數學教學策略，是發展學生數學建模能力的重要途徑。可通過創設問題情景、畫圖觀察、一題多解、討論質疑、小組探究等教學策略，培養發展學生數學建模的能力。

關鍵詞：數學建模;構成要素;教學策略

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2022）07-0025-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.07.010

新課程改革推行的主要課程目標是培養學生的數學核心素養。數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力[1]。在數學教學過程中，教師應當讓學生感悟模型的魅力，培養學生用數學方法構建模型解決問題的素養，提高學生的應用意識和創新精神。因此。教師如何采取有效的教學策略來培養學生的數學建模能力是本文要探究的問題。

一、數學建模的含義

數學建模是針對一個實際問題，加以分析，建立數學模型，并且轉換成數學知識，運用數學工具對數學模型進行求解，驗證，從而最終解決實際問題的過程。新課標中指出：數學建模是對現實問題進行數學抽象、用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[2]。因此數學建模往往都由一個原始問題引出，學生通過分析實際問題，將語言文字轉化成數學知識，建立起數學模型。黃健指出：數學建模是應用數學知識的重要途徑。他強調數學建模是促進學生鞏固和深化已有的知識，更好地構建自身更為完備的數學認知結構的核心素養[3]。數學建模的活動過程復雜多樣，由多個零碎的知識點所構成的，不只是考查學生數學知識表面的學習，更是考驗學生對已有知識的融會貫通，因此學生要學會運用數學工具求解數學模型，最終解決實際問題。

二、數學建模能力的構成要素

數學建模，往往蘊含著復雜的數學過程。因此數學建模能力不僅僅只是學生解一道題，完成一張試卷那么簡單，它對學生的數學素養有一定的要求。數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型、最終解決實際問題[4]。在復雜的建模過程中，需要學生多重能力并行才能實現。因此，建模能力的構成要素也多方涉及，主要包括：閱讀分析能力、抽象模型能力、模型計算能力、檢驗反思能力和集體合作能力。教師應該思考教學方法，研究教學策略，培養學生數學建模能力。

對于數學建模來說，建立模型就是一個至關重要的步驟，要是不能建立出適合實際問題的數學模型，很難解決相關的實際問題。因此，抽象模型能力是數學建模構成要素的核心，擁有抽象模型的能力，數學建模也就事半功倍了。數學模型建立之后，學生的任務就在于解模型，這就需要學生對于數據的敏銳度，對數據的處理是否熟練操作也有一定的要求，因此，培養學生的模型計算能力是教師的重要工作之一。當學生經過數據分析，將模型解出后，需要將數據回代檢驗，并且結合實際問題考慮合理性，最終通過反思優化模型，完成建模。

除此以外，學生還必須具備閱讀分析能力以及集體合作能力。任子朝等人認為，數學閱讀是從背景、數據等材料中獲取信息的心理活動過程，也就是學生從數學書面語言代碼中獨立提取意義的心理過程[5]。王云秋認為，數學建模競賽需要團結合作精神與相互協調能力[6]。競賽如此，數學建模亦如此，學生以小組為單位合作學習，互相討論，取長補短，才能將問題搞清楚，弄明白。

三、培養學生數學建模能力的教學策略

（一）創設問題情境，培養閱讀分析能力

近年來，高考數學試題背景更加貼近生活實際，其對學生的要求著重于考查學生運用數學知識解決實際問題的能力。學生運用數學知識解決實際問題的基礎在于擁有閱讀分析問題的能力。閱讀是人們汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑，閱讀分析能力的培養才能使學生正確理解問題的要求與含義[7]。創設問題情景，可以幫助學生培養閱讀分析能力。數學建模通常以實際問題切入，讓學生解決數學問題，需要學生進入情境狀態，仔細閱讀實際問題。與文學的閱讀不同的是，數學的閱讀一方面是指要抓住情境問題中的關鍵詞，通過查閱文獻資料，了解關鍵詞的含義，深入學習情境問題的背景知識。另一方面是閱讀實際問題中出現的數據，通過加強對數據的有效閱讀，更有利于數學建模的進展。

例：某市2000初有常住人口80萬，流動人口16萬。已知流動人口的年增長率為1%，常住人口的年增長率為0.5%，請預測到2050年初該市擁有的人口數。師：請同學們仔細閱讀例題，并查閱相關資料，估計2050年初人口將達到多少？師：建立指數函數關系：其中x為增長年數，為人口初始值，a為增長率。2050年初該市擁有的人口數為S，利用二項式定理的近似估計可得（1+0.5%）50≈1.293，（1+1%）50≈1.628，故S≈80×1.293+16×1.628=129.49（萬）[8]。

教學分析：教師在給出數學建模問題時，創設一個人口增長率的數學建模情境，可以激發學生的閱讀興趣和探究導向。學生通過仔細閱讀情境問題，并提取出問題中的關鍵字“人口數”，通過查閱資料，發現建立人口數與年數存在指數函數的聯系y=y■（1+a）■。具有良好閱讀能力的學生通過對函數模型的分析，可以找出問題中對應的人口初始值，增長率以及年數等相關數據。

（二）畫圖觀察，培養抽象模型能力

畫圖是數學學習的一種重要策略，通過畫圖觀察可以將間接的數字信息轉化為直觀的圖形信息。教師要引導學生針對問題情境中的數據，畫圖觀察數據的變化趨勢，從數據中抽象出數學模型。張金良認為，數學抽象就是通過分析、思考、概括等活動，剔除事物的物理屬性，從事物的數量與數量關系、圖形與圖形關系兩個方面，抽象出其本質，并用數學語言加以表征的過程[9]。

例：這是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值，如表所示。師：請同學們觀察表格中數據，思考未成年男性的身高和體重有怎么樣的關系？可以建立合適的函數模型近似的反應未成年男性體重y kg與身高x cm的函數關系？請同學們試著通過畫圖的方式找出規律[10]。

教學分析：數學建模的關鍵就是要建立數學模型。那應該建立哪一類模型呢？這是我們需要思考的。在例題中明確指出尋找函數關系時，其實也就是暗示學生從數據中抽象出函數表達式，從而建立數學模型。但是函數模型的類型有很多，需要教師引導學生通過建立數軸，觀察點的變化規律來判斷應抽象出哪一種函數模型。畫圖觀察，更加直觀地讓學生感受自變量與應變量之間的變化關系，同時也培養了學生的實際操作能力。將“數”轉化成了“形”，結合函數圖形的性質，選擇合適的函數模型建立，培養學生正確的抽象模型能力。

（三）一題多解，培養模型計算能力

模型計算是構建數學模型和問題解決的橋梁，擁有模型計算能力才能解決數學問題。數學建模的過程是一個讓學生不斷地思考，培養學生發散性思維的過程。知識在永無止境地汲取，學生在學習數學的過程中，不可能一味地只用一種模型解決數學建模問題。因此隨著學習的進程，教師需要啟發學生一題多解來展現學生的模型計算能力。

例：籠子里有雞兔若干只。從上面數有8個頭，從下面數有28只腳。雞和兔各有多少只？請同學們利用至少兩種方法來解決此問題。這個問題最早應該出現在小學階段。在小學中教師教給學生的解決方法是算術解法，運用的模型則是算術模型。而在雞兔同籠問題也會出現在中學的教學中，中學教師往往將借助這一問題引出一元一次方程的概念，傳輸給學生運用一元一次方程的模型進行解答。以下是中學的解法：設兔子為x只，則雞為（8-x）只。那么根據一共有28只腳進行列方程：4x+2（8-x）=28，解出未知數x=6，則有6只兔子，2只雞。

教學分析：對于小學的算術模型，需要一些思考過程，要理清其中的條理才能正確地解決雞兔同籠問題。但是對于初中的方程模型來說，運用這一模型能讓條件與數據看起來更加地簡潔明了。兩者策略不同，但是都能解決數學問題。這道雞兔同籠的問題，既能使學生回憶出小學的算式模型，又能運用到方程模型。對于中學生而言，不僅讓他們想到了當下學習的方程模型，同時通過一題多解，將學生的思維擴散，架構新舊知識間的聯系，提高學生的模型計算能力。

（四）討論質疑，培養檢驗反思能力

當學生建立并求解數學模型后，要對模型進行檢驗反思。反思檢驗是學生對于建模模型的不斷完善和發展。教師應該在教學中通過學生討論質疑的形式，加深學生對于模型的認知。數學解題教學中讓學生反思學科思想方法，探究知識遷移過程更符合學生的認知規律，提升學生的認知力，有利于發展學生數學學科核心素養[11]。

例：師：同學們，我們通過計算建立了二次函數y=0.001x2+2.02，請你們結合二次函數與圖形，仔細思考，可以在小組里討論，有什么想說的？小組A：我們通過代入兩個點（100，15.02）和（120，20.74）建立了此二次函數y=0.0013x2+2.02[12]，我們小組認為這種方法是正確的。小組B：我們小組采用的是指數函數模型。我們設定指數函數的關系式為，將（60，6.13），（140，31.11）代入，得指數函數模型。在得出該模型之后，我們又將一個新的點代入計算，當x=160代入，發現得出的結果與原數據近似相等，于是我們認為指數函數比二次函數更能刻畫這些點的分布情況。

師：還有別的小組有不同意見嗎？看來現在課堂中有兩種不同的“聲音”。請同學們來想一想，你們支持哪一小組的觀點？

生：我支持小組B的，我很贊同他在模型建立后進行檢驗的這一做法。因為我們在確定數學模型的時候，只是根據點的分布看著像哪個模型，并且在計算的時候，只代入了兩個點。你看，小組A如果將x=160代入，求得y為 35.3，與數據中的點（160，47.25）誤差太大，因此不能利用二次函數模型進行刻畫。而小組B將數學模型計算出來之后，還反思了建立的模型是否正確，通過再代入點進行檢驗，確保模型建立的準確性。

師：其他同學同意這位同學的觀點嗎？是呀，這位同學說得可多好呀！我們在建模模型的之后，不能百分之百地保證我們的模型是否正確，因此要學會反思檢驗數學模型，通過數據回代地方式檢查模型地正確性。反思檢驗也是數學學習的一種重要方法。

教學分析：在該教學案例中，學生一開始通過實際問題建立了二次函數模型，又將二次函數模型回歸原實際問題，反思檢驗找出不合理之處。他們發現二次函數的模型并不是描述身高和體重的最優解，經過小組的討論，學生剛開始建立的模型提出質疑，從而對模型改良優化，發現小組B提出的函數模型優于二次函數。檢驗反思是對數學建模過程的再認識。是數學建模的重要能力之一，學生要通過討論質疑的方式，培養檢驗反思的能力，這樣才能在數學建模中應用的正確的模型解決實際問題。

（五）小組探究，培養集體合作能力

數學建模的難易程度不同，導致學生在解決建模問題的過程中所需要的時間，精力也會不同。較為簡單的建模學生可以獨立完成，而較為復雜的則需要學生分小組探究交流，共同協作完成。集體合作能力就是指學生組成小組進行合作學習交流討論的能力。在一個小組中需要一位學生進行領導統籌工作，分配每位學生的工作任務，學生互相交流。而作為教師，應該在教學過程中，注重培養學生的自主探究能力，組織學生開展小組合作，并且通過要求學生撰寫小組工作報告，讓教師更了解學生之間的分工合作，有效地提高學生解決數學建模問題的效率。通過這一過程，加強了學生之間交流合作的能力，同時也提高了學生的數學建模素養。

例：以“教育儲蓄”為例，依照教育儲蓄的方式，每月存50元，連續存3年，到期（3年或5年）時一次可支取本息多少錢？如果運用其他儲蓄方式，以每月存100元，6年后使用為例，探討現行利率標準可能的最大收益，將得到的結果與教育儲蓄比較[13]。教師讓學生組成5人小組，一名學生作為小組長，統籌全組。將上網搜索相關“教育儲蓄”以及“其他儲蓄方式”的相關內容、建立經濟模型、計算數據等工作分配給小組的每一位成員，進行集體合作，并且要求他們撰寫小組工作報告。

教學分析：該數學建模問題并未將所有的信息與數據呈現在題目中，這就需要學生在課后通過查閱資料，小組分工完成。教師引導學生將一個復雜的數學建模問題，分成幾個模塊，小組長起到帶頭作用，要求每位小組成員負責一部分，這樣才能加快學習的效率。在學習的過程中，不僅提高了學生解決數學實際問題的能力，同時也培養了學生之間合作交流的能力，增進了他們的友誼。

四、結語

對數學建模能力的構成要素分析，可以使我們在教學中能夠有的放矢，針對構成要素開展教學，使得學生的建模能力能夠在教學過程中獲得訓練、提升與發展。數學建模是中學生的核心素養：運用創設問題情景策略，培養需要學生良好的閱讀分析能力;運用畫圖觀察策略，培養學生抽象模型能力;運用多元教學策略，培養學生的模型計算能力，運用討論研究策略，培養學生的檢驗反思能力，運用小組探究策略，培養學生的集體合作能力。本文通過將實際的問題與數學知識相結合，不斷培養學生的數學建模素養，促進學生綜合能力的提升。

參考文獻：

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[10][12] 李德季.基于數學核心素養的高中生數學建模能力培養的策略研究[D].聊城大學，2019.

[11] 倪樹平.讓反思與探究成為學生學習常態[J].數學通報，2019（7）：40.

[13] 張殿宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2016.

[責任編輯 梁愛芳]

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