初中一元二次方程的求解及其應(yīng)用

冒琳琳

【摘 ?要】一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，牽涉到的知識(shí)點(diǎn)較多，是中考經(jīng)常考查的對(duì)象。而且一元二次方程的學(xué)習(xí)能夠?yàn)槎魏瘮?shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生建立起良好的思維模式，是初中生必須應(yīng)知應(yīng)會(huì)的內(nèi)容。對(duì)剛接觸的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一元二次方程陌生且學(xué)起來(lái)也有一定難度，為了讓學(xué)生更好地掌握這一節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)，本文結(jié)合以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)一元二次方程的解法及應(yīng)用做了一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);一元二次方程;求解方法

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的知識(shí)部分，教師在講解這一部分的內(nèi)容時(shí)，要注重對(duì)一元二次方程解法的重點(diǎn)講解。要明確這個(gè)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，注重多種解答計(jì)算的方法，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和掌握這一類題目解答的技巧，從而獲得更高的解題效率。本文主要通過(guò)運(yùn)用多媒體創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境、發(fā)揮學(xué)生的主體地位、明確教學(xué)的目標(biāo)、規(guī)范學(xué)生的解題步驟及正確率、加強(qiáng)學(xué)生的課堂應(yīng)用環(huán)節(jié)等方式，探究出適合初中階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，促進(jìn)他們能力的全面提升。

一、初中數(shù)學(xué)解題方法的重要性

數(shù)學(xué)主要就是注重題目的解答步驟和解題方式，掌握了這些，解題的效率和正確率就能夠得到很大的提升，因?yàn)檫@些看似簡(jiǎn)單的過(guò)程中有著非常重要的思維方式和方法，如果可以把這些都理解透徹，那么對(duì)于知識(shí)點(diǎn)就能更好地掌握，在解題方法和技巧上也有很好的提升。因此，教師需要通過(guò)各種形式的教學(xué)，以此來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，幫助他們掌握同一類型題目的不同解答方式，進(jìn)而能夠自行找到問(wèn)題的解答方式，讓學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)時(shí)更具信心，不再懼怕數(shù)學(xué)。

二、當(dāng)前一元二次方程教學(xué)中存在的問(wèn)題

原有的數(shù)學(xué)教學(xué)模式中都是教師發(fā)揮主體作用，通常都是由教師講大半節(jié)課，學(xué)生在下面聽(tīng)課，只是個(gè)被動(dòng)的接收者，師生之間互動(dòng)很少或者幾乎沒(méi)有。而且就算是講了大半節(jié)課，教師也總是依據(jù)一個(gè)一元二次方程題目去講解，沒(méi)有舉一反三，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中沒(méi)有能夠?qū)⑼活愋偷念}完全掌握，并且解答一元二次方程有多種解答的方式，教師也沒(méi)有進(jìn)行分類教學(xué)。而一個(gè)好的課堂，主體應(yīng)該是學(xué)生，教師起到的是一個(gè)輔助作用，這樣學(xué)生就可以充分地思考，對(duì)于知識(shí)的掌握才能夠深刻，才能夠在自己解題的過(guò)程中掌握解題技巧和方法。

三、初中數(shù)學(xué)一元二次方程的求解方法及其應(yīng)用

（一）運(yùn)用多媒體創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境

多媒體能夠使得知識(shí)的呈現(xiàn)更加直觀，教師可以依靠多媒體設(shè)備讓學(xué)生更好地去了解一元二次方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這樣學(xué)生在面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)才能夠更加從容地去應(yīng)對(duì)。教師也可以利用信息技術(shù)等去搜集一些一元二次方程解答方式的視頻和好的教學(xué)課件，借鑒一些其他優(yōu)秀教師的教學(xué)方式，提升他們自身的課堂教學(xué)效果和教學(xué)水平。

例如，“x2=16”這個(gè)一元二次方程，16的平方根有兩個(gè)，一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)，由于這個(gè)時(shí)候?qū)W生的知識(shí)水平還沒(méi)有涉及到平方根的運(yùn)用，此時(shí)教師就可以利用多媒體來(lái)幫助學(xué)生掌握此類題目的解題方法。通過(guò)簡(jiǎn)單的動(dòng)畫(huà)效果模擬剝落雞蛋殼，一層一層去分解，將原本的一元二次方程變成一元一次方程去解答，這樣學(xué)生才能更容易地理解和掌握。在這道題目解答之后，教師還要多舉幾個(gè)這種類型題目的例子，通過(guò)多媒體方式展示出來(lái)，舉一反三，幫助學(xué)生更好地掌握一元二次方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

（二）發(fā)揮學(xué)生的主體地位

在傳統(tǒng)的這類題目的教學(xué)中，教師總是給學(xué)生介紹一元二次方程應(yīng)當(dāng)先移動(dòng)方程中的幾項(xiàng)，然后再轉(zhuǎn)化，并且一直不斷地重復(fù)著這個(gè)步驟，卻沒(méi)有關(guān)注學(xué)生是否完全掌握了。時(shí)間長(zhǎng)了，學(xué)生在課堂中就會(huì)逐漸放棄自身的思考，只依賴于教師的步驟，不會(huì)去獨(dú)立、主動(dòng)地思考。在現(xiàn)階段的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到這個(gè)問(wèn)題，要讓學(xué)生成為課堂中的主體，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

例如，在剛學(xué)習(xí)這類方程怎么計(jì)算的時(shí)候，學(xué)生總是會(huì)在求解的過(guò)程中出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題，尤其漏解的這個(gè)錯(cuò)誤是最容易在初學(xué)的時(shí)候出現(xiàn)的，甚至到了后期的學(xué)習(xí)中，也會(huì)因?yàn)椴蛔屑?xì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。如（2x+1）2=16這個(gè)方程求解的時(shí)候，很多學(xué)生會(huì)忽略了正負(fù)號(hào)，從而導(dǎo)致結(jié)果只能夠得到x=1.5這個(gè)答案。此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生去思考這個(gè)答案到底對(duì)不對(duì)，如果有錯(cuò)誤又是犯了什么樣的錯(cuò)誤。學(xué)生就會(huì)將求得的答案代入到上面的方程中去驗(yàn)算，通過(guò)自己的再次驗(yàn)算，有些學(xué)生就能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)缺少了負(fù)號(hào)的這一答案，應(yīng)該還有一個(gè)結(jié)果-2.5。這就是把學(xué)生放在主體地位，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)解答中的問(wèn)題，才能達(dá)到更好的教學(xué)效果。

（三）明確教學(xué)的目標(biāo)

教師在教課之前都需要先進(jìn)行課堂內(nèi)容的備課，要根據(jù)中考的考綱，明確這個(gè)章節(jié)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，將知識(shí)點(diǎn)全部關(guān)聯(lián)在一起，幫助學(xué)生形成更加系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)。只有明確好自己的教學(xué)目標(biāo)，才能讓學(xué)生獲得更加高效的教學(xué)課堂和體驗(yàn)。

例如，在教學(xué)一元二次方程的解法時(shí)，由于一元二次方程被應(yīng)用在很多的數(shù)學(xué)應(yīng)用大題中，包括一些利潤(rùn)問(wèn)題、增長(zhǎng)問(wèn)題等等。因此，教師可以將這一部分內(nèi)容分成幾個(gè)部分進(jìn)行教學(xué)，包括應(yīng)用題如何去列式子，如何去解答。通過(guò)這一類的教學(xué)，不僅讓學(xué)生能夠計(jì)算這一類方程，還能夠運(yùn)用這類方程去解答更多的問(wèn)題。

（四）規(guī)范學(xué)生的解題步驟，保證正確率

教師在教學(xué)一元二次方程之類的應(yīng)用題時(shí)，常常將重點(diǎn)放在了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上，總是忽視了應(yīng)用題不像填空題和選擇題那樣，只要直接給出最后的答案就可以拿到全部的分?jǐn)?shù)，而是需要將解答過(guò)程中的全部步驟都體現(xiàn)在試卷上，才能夠獲得全部的分?jǐn)?shù)。很多學(xué)生也就是忽視了這個(gè)點(diǎn)，認(rèn)為最后答案能做對(duì)就可以了，但這樣往往會(huì)使得他們丟失很多的步驟分，從而與別人拉開(kāi)一定的差距。因此，教師在教學(xué)時(shí)必須要規(guī)范學(xué)生的解題步驟，要求學(xué)生對(duì)自己的解答過(guò)程進(jìn)行仔細(xì)的檢查，要讓學(xué)生知道自己在計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，以保證之后解題的正確率。

（五）加強(qiáng)學(xué)生課堂應(yīng)用的環(huán)節(jié)

一元二次方程的解答和知識(shí)不是單一存在的知識(shí)點(diǎn)，它與前后的一些知識(shí)也都有著緊密相連的關(guān)系，這一部分基礎(chǔ)打好了，也能為后面一元二次不等式的計(jì)算和學(xué)習(xí)提供一定的幫助。因此，教師在教學(xué)時(shí)不能夠僅僅局限在固定的解決方法和解答的思路中，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目的類型，再運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)，尋找各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，采取多樣的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行多方面的考慮，最后進(jìn)行綜合解答。在初中這一階段，教師不僅要注重對(duì)題目解答方法的教學(xué)，還要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用的能力，要讓學(xué)生遇到相關(guān)的問(wèn)題時(shí)都能夠自行解決，從而增強(qiáng)學(xué)生的綜合能力。

（六）著力提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要性

數(shù)學(xué)思維是從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律，理解特定數(shù)學(xué)知識(shí)，分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維中數(shù)學(xué)知識(shí)是一種職業(yè)，它的獲得是一個(gè)漸進(jìn)的滲透和一個(gè)持續(xù)不斷學(xué)習(xí)的過(guò)程。這不僅需要教材的滲透，更需要學(xué)生自身的欣賞和理解。例如，如果學(xué)生能夠理解方程的本質(zhì)，就很容易積極探索方程的解法，其效果比解法步驟的機(jī)械記憶要強(qiáng)得多。因此，需要更加重視數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)。初中常用的數(shù)學(xué)思想是字母代替數(shù)字和數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系、數(shù)字和形狀的組合、數(shù)學(xué)模型和簡(jiǎn)化思維。數(shù)學(xué)思維本質(zhì)上是辯證唯物主義在數(shù)學(xué)科學(xué)中的體現(xiàn)，簡(jiǎn)化思維解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題中“未知”與“已知”的矛盾，類比思維則是特殊與一般的區(qū)別。而數(shù)與形相結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對(duì)立結(jié)合和相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)模型思維（形式思維）則是將現(xiàn)實(shí)世界中物體的數(shù)量和形狀抽象為數(shù)學(xué)概念和關(guān)系，通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，并創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型或結(jié)構(gòu)，是一種形式化的想法。

（七）教學(xué)生理解初中方程的基本數(shù)學(xué)思維

史寧忠教授指出，“方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等價(jià)關(guān)系”，方程作為描述等價(jià)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型思想的重要部分。數(shù)學(xué)家笛卡爾試圖強(qiáng)制建立方程的數(shù)學(xué)模型。他的想法是這樣的，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題。這種想法顯然夸大了數(shù)學(xué)模型的重要性，但也在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的重要性。初中方程作為數(shù)學(xué)代數(shù)的重要組成部分，數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，主要包括方程思維、歸約思維、數(shù)形結(jié)合、分類思維、代入、消元、公式等等。其中，歸約思想是解方程的核心思想;方程思想是在解決問(wèn)題

時(shí)，將已知和未知以等比關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，建立方程模型，該方程是已知量和未知量的矛盾聯(lián)合，并利用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的一種方式;化簡(jiǎn)思想是轉(zhuǎn)型、

減少的簡(jiǎn)稱;轉(zhuǎn)化思想是將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)更容易解決或已經(jīng)解決的問(wèn)題，并通過(guò)將“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題”和“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”來(lái)將“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”;數(shù)形組合思想是將問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形有機(jī)結(jié)合，達(dá)到難易轉(zhuǎn)化的效果，從而解決問(wèn)題;分類思維是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類來(lái)尋找答案的思想，討論分類不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法;去除、替換、降階、公式等數(shù)學(xué)方法都是轉(zhuǎn)化思維的具體方法，都是用簡(jiǎn)單性改變復(fù)雜性，讓未知為人所知，讓新知識(shí)為人所知，這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化的目的。

關(guān)于一元二次方程，教科書(shū)側(cè)重于“模型思想”和“變換思想”，本章的主線是“利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”。方程應(yīng)用部分的第三部分在課本中放置了“查詢”問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)生建立方程求解二次模型的“建模思路”。至于解決的方法，教科書(shū)介紹了“匹配法”、“公式法”或“因式分解法”兩種求解具有一個(gè)變量的二次方程的方法。使用“匹配法”求解，會(huì)將方程轉(zhuǎn)換為另一種形式，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”。用“公式法”求解，則直接用方程將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。用“因式分解法”求解，是通過(guò)從“一元”求解未知數(shù)的線性方程，將“未知”轉(zhuǎn)換為“已知”。這些解決方案都是將復(fù)雜變?yōu)槭煜ぃ瑢⑽粗優(yōu)槭煜ぃ瑢⑿轮R(shí)變?yōu)榕f知識(shí)，以便更好地求解一元二次方程。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，教師要注重初中數(shù)學(xué)中一元二次方程的各個(gè)解決方法和技巧，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)這一類問(wèn)題時(shí)會(huì)出現(xiàn)的一些問(wèn)題和錯(cuò)誤，及時(shí)進(jìn)行自己教學(xué)的總結(jié)和反思，在課前的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)中花費(fèi)更多的時(shí)間研究出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)方式。通過(guò)運(yùn)用多媒體創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境、發(fā)揮學(xué)生的主體地位、明確教學(xué)的目標(biāo)、規(guī)范學(xué)生的解題步驟及正確率、加強(qiáng)學(xué)生課堂應(yīng)用的環(huán)節(jié)等方式，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)一元二次方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，幫助他們更好地應(yīng)用這方面的內(nèi)容，提升他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平和能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

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