多用電表歐姆擋為什么“中值”附近相對誤差小?

詹光奕 楊雙偉 史 藝

(北京市第101中學(xué))

“多用電表”是高中常見的測量儀表，它可以用來測量電壓、電流、電阻，其表盤如圖1所示，電阻擋的刻度是不均勻的.在中學(xué)物理教學(xué)中，通常會直接告訴學(xué)生結(jié)論:指針應(yīng)該落在“中值”附近再讀值，并基于此結(jié)論選擇合適的電阻倍率擋位.

圖1

為什么指針應(yīng)該落在“中值”附近呢? 教師給學(xué)生的解釋一般是中值附近刻度相對“均勻”，估讀誤差小，但對其依據(jù)往往不做說明.

本文基于中學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，本著可以自主閱讀并理解的角度，以幾個(gè)進(jìn)階問題為線索，從理論上對多用電表歐姆擋測量結(jié)果為什么在中值附近相對誤差小進(jìn)行推證和解答.

問題1 多用電表的歐姆擋工作原理是什么?

歐姆表工作分串聯(lián)式和并聯(lián)式兩類，串聯(lián)式基本原理如圖2所示，并聯(lián)式基本原理如圖3所示.干電池電源電動勢、內(nèi)阻分別記為E、r，G 為表頭，其滿偏電流、內(nèi)阻分別記為Ig、Rg.RT為滑動變阻器，其余電阻均為定值電阻.被測電阻(圖中未畫出)在“－”和“＋”接線柱之間連入電路.

圖2

圖3

以圖2串聯(lián)式歐姆表為例，測量前，需要進(jìn)行歐姆調(diào)零，“－”和“＋”接線柱之間連入一段導(dǎo)線，即兩表筆短接調(diào)零.調(diào)節(jié)RT＝R使表頭滿偏，此時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律有，其中R＋r＋Rg為歐姆表的內(nèi)阻，也稱該內(nèi)阻為中值電阻，即R中＝R＋r＋Rg.此后RT的值不再調(diào)整.當(dāng)被測電阻Rx串聯(lián)接入回路，流經(jīng)表頭的電流為由此可以看出，對于給定的歐姆表，Ix與Rx有一一對應(yīng)關(guān)系.將表頭的電流刻度Ix改為與之對應(yīng)的Rx的阻值，即為歐姆表.

圖3所示的并聯(lián)式歐姆表，虛線框部分等效為一個(gè)改裝的靈敏電流計(jì)表頭.測量前，同樣需要調(diào)節(jié)RT使表頭滿偏，與上面的分析類似，根據(jù)閉合電路歐姆定律，Ix與Rx有一一對應(yīng)關(guān)系.將表頭的電流刻度Ix改為與之對應(yīng)的Rx的阻值，即為歐姆表.

任何測量結(jié)果都不可能絕對準(zhǔn)確.測量值跟被測物理量的真實(shí)值之間總會有差異，這種差異叫作誤差.

測量值與真實(shí)值之差的絕對值，稱為絕對誤差.絕對誤差與測量值的比值稱為相對誤差.相對誤差一般用百分?jǐn)?shù)來表示.

問題2 歐姆擋的相對誤差與哪些因素有關(guān)?

以串聯(lián)式歐姆表為例，歐姆擋測電阻的測量值

由式①可知，電阻測量誤差主要需考慮兩點(diǎn)，一是歐姆表中值電阻R中的誤差，二是電流表的測量誤差ΔIx.歐姆表中值電阻R中的誤差主要由電源電動勢和內(nèi)阻的變化引起，一般情況下該因素引起的測量誤差可以忽略不計(jì).所以下面主要針對電流表的測量誤差ΔIx進(jìn)行分析.

對式①求微分可得

由式③可以看出，歐姆表電阻測量的相對誤差和電流的絕對誤差、電流測量值Ix，以及滿偏電流Ig有關(guān).

問題3 歐姆擋為什么“中值”附近相對誤差小?

在表頭精確度一定情況下，電流測量值的絕對誤差僅由表頭本身決定，可以認(rèn)為不變，即|ΔIx|一定.那么根據(jù)式③可知當(dāng)指針指在中值位置時(shí)，即Ix＝Ig2時(shí)相對誤差最小.

用圖4表達(dá)式③電阻測量的相對誤差與電流測量值關(guān)系.

圖4

為了在測量不同大小電阻阻值時(shí)指針都能指在中值附近，需要改變中值電阻，也即內(nèi)阻阻值.圖2中串聯(lián)式歐姆表改變中值電阻，需要改變電源電動勢.而圖3中改變中值電阻，可以改變虛線框內(nèi)的等效表頭的滿偏電流，并不一定要改變電源電動勢，實(shí)際歐姆表內(nèi)部大多采用圖3的連接方式.

(完)