數學課程思政：發揮辯證思維的教學價值

李祎 黃勇

【編者按】 課程思政是新時代賦予教師的新使命，各門課程都要“守好一段渠，種好責任田”。這實際上是要求教師積極尋找學科教學與課程思政的內在契合點，而非牽強附會、“貼標簽”式地在學科教學中“附加”思政元素。上一期，我們分享了廣州大學曹廣福教授關于數學課程思政內涵、目標與實施的思考。本期，我們繼續聚焦課程思政這一熱點。

摘要：數學教學應該充分挖掘和揭示數學內在的辯證因素，指導學生利用辯證思維，如對立統一規律、否定之否定規律和聯系、發展的觀點，發現、理解知識（包括破解教學疑難），分析、解決問題，不斷提高學生的辯證思維水平。這既是數學課程思政的重要內容，也是在數學教學中落實“立德樹人”目標的主要途徑。

關鍵詞：數學課程思政;辯證思維;對立統一;聯系

本文系國家社會科學基金“十三五”規劃2018年度教育學西部項目“西北民族地區高中生理科學科核心素養培育路徑研究”（編號：XHA180288）的階段性研究成果。課程思政的核心是“展現一種科學思維，用辯證唯物主義和歷史唯物主義的思維方式看待事物，不能陷入唯心主義和機械唯物主義的泥沼，將理論導向神秘主義”曹廣福.數學課程思政：內涵、目標與實施[J].教育研究與評論（中學教育教學），2022（1）：59。。作為一種育人理念，課程思政的根本目的是實現“立德樹人”，即不僅強調知識學習，還強調思想塑造，注重教書與育人的有機統一。所謂數學課程思政，就是結合數學學科的特點，充分挖掘其中的思政因素，將知識學習與思想塑造融為一體，最大限度地發揮數學課程的育人價值。

辯證思維是唯物辯證法在思維中的反映，對立統一規律、否定之否定規律是唯物辯證法的基本規律，聯系、發展的觀點是唯物辯證法的基本觀點。恩格斯在《自然辯證法》中精辟地指出：“數學：辯證的輔助工具和表現方式。”數學的思維和方法，本質上都是辯證的。數學辯證思維的核心是重視事物的數量、形式和結構的內在矛盾，用聯系、滲透和轉化的觀點理解知識、處理問題。數學教學應該充分挖掘和揭示數學內在的辯證因素，指導學生利用辯證思維發現、理解知識，分析、解決問題，不斷提高學生的辯證思維水平。這既是數學課程思政的重要內容，也是在數學教學中落實“立德樹人”目標的主要途徑。

一、利用辯證思維理解數學知識

（一）利用對立統一規律理解數學知識

唯物辯證法告訴我們，任何事物和現象都是由相互矛盾的兩個方面構成的，它們相互分離、相互排斥又相互依存、相互融合，并能在一定條件下相互轉化。因此，矛盾的雙方不僅是對立的，而且是統一的。數學的產生和發展，是客觀世界數量、形式等的矛盾對立統一的結果，如特殊與一般、具體與抽象、變量與常量、有限與無限、近似與精確、偶然與必然等。這些對立統一，催生了各數學分支博大而精深的理論體系。數學教學應該充分運用對立統一規律、否定之否定規律進行分析，幫助學生深刻理解有關概念、性質——實質是理解其中蘊含的思想，培養學生的辯證思維能力。

比如，數學運算及其對象之間、各種數學運算之間，既有差異又有聯系。研究數學運算如何從簡單到復雜、從低級到高級發展，以及它們之間存在著怎樣的對立統一關系，可以幫助學生深刻理解有關運算。具體來說，加法和減法是兩種互逆運算，它們是對立的;引入負數后，加法和減法之間就可以互相轉化，它們又是統一的。將加數相同的加法轉化為乘法后，乘法和除法是兩種互逆運算，它們是對立的;引入倒數后，乘法和除法之間就可以互相轉化，它們又是統一的。將乘數相同的乘法轉化為乘方后，乘方和開方是兩種互逆運算，它們是對立的;學習指數冪后，乘方運算和開方運算就可以統一為指數冪運算。再來考慮指數冪的逆運算，便得到了對數運算。正如恩格斯所言：“從一個形式到另一個相反的形式的轉變，并不是一種無聊的游戲，它是數學科學的最有力的杠桿之一。如果沒有它，今天就幾乎無法進行一個比較困難的運算。”恩格斯.自然辯證法[M].于光遠，等編譯.北京：人民出版社，1984：266。

又如，教學導數概念，僅讓學生記住其形式化定義f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx是遠遠不夠的，必須讓學生理解其中蘊含的解決相關問題的否定之否定的思維：要解決“某一點”的問題（瞬時變化率），停留在這一點無法解決，因此，對這一點進行“否定”（給增量Δx），否定的結果是得到“另一點”，并由此得到一個區間[（x，x+Δx）或（x+Δx，x）];先在這個區間上求出近似值，即平均變化率f（x+Δx）-f（x）Δx，再對另一點進行“否定”（令Δx→0），由此，把平均變化率轉化為瞬時變化率。簡而言之，靜止地停留在這一點無法解決的問題，經過兩次辯證否定，得以成功解決。這里，一方面，對于任給的增量Δx，平均變化率不是瞬時變化率，反映了過程與結果、近似與精確對立的一面;另一方面，隨著變化過程的推進，平均變化率又轉化為瞬時變化率，反映了過程與結果、近似與精確統一的一面。

（二）利用聯系的觀點理解數學知識

形而上學用孤立、靜止的觀點看世界。與之相反，唯物辯證法認為，世界是普遍聯系且不斷變化的，整個世界都是一個相互聯系的統一整體，任何事物都處在這個統一整體之中，各個對象或現象相互有機地聯系著、依賴著、制約著。科學世界是這樣的，數學科學同樣如此。看似迥異的數學內容，實則可能存在緊密的內在聯系。正如大數學家希爾伯特所言：“數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各個部分之間的聯系。盡管數學知識千差萬別，我們仍然清楚地意識到：在作為整體的數學中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關系，同時在它的不同部分之間也有大量的相似之處。”袁小明，胡炳生，周煥山.數學思想發展簡史[M].北京：高等教育出版社，1992：205。在數學教學中，教師要引導學生運用聯系的觀點認識和分析數學知識，這對于學生從整體上系統地建構和理解數學非常重要——不僅有助于學生獲得融會貫通的知識，而且有助于他們“左右逢源”地解決問題。

比如，教學向量概念時，很多教師是這么講的：我們之前學習的量叫數量，數量只有大小、沒有方向;今天新學習的量叫向量，向量不僅有大小，還有方向。這樣就把數量與向量人為地割裂了。一些學生會想到：之前學習“有理數”時，為了表示相反意義的量，引進了負數，而“相反”說的不就是方向嗎？誰說數量沒有方向？其實，從聯系的觀點來看，實數就是一維向量。在數軸上，讓這個一維向量的起點與原點重合，向量的終點就會對應數軸上的一個點（實數），于是，就可以建立起一一對應的關系。實數的符號就是一維向量的方向，實數的絕對值就是一維向量的模（大小）。因此，可以說，平面向量就是數量的推廣，而且在推廣的過程中，其大小、方向、數乘運算等都是一脈相承的，其本質保持不變。

認識到向量與數量之間的這種聯系性，教學向量的加法運算和數量積運算時，便可以采取完全不同的策略。教學兩個向量的加法運算，可以從兩個特殊的向量——共線向量入手，再將其分為方向相同的共線向量和方向相反的共線向量兩種情況。無論是哪種情況，它們相加完全類似于有理數相加，或者說，它們相加就轉化成了有理數相加。對于不共線的兩個共起點的向量，它們不能直接相加，必須轉化成共線向量才能相加。該如何轉化呢？由于它們的方向完全不同，因此相加后向量的方向只能“折中”——走“中間路線”。物理學中力的合成實驗表明，這樣的相加遵循“平行四邊形法則”。實際上，這就相當于把兩個向量投影到平行四邊形對角線所在的直線上，變成共線的兩個投影向量后，再相加。對于不共線的兩個首尾相接的向量而言，物理學中位移合成的等效原理表明，它們相加遵循“三角形法則”，這就相當于把兩個向量投影到連接第一個向量起點和第二個向量終點的直線上，同樣是變成共線的兩個投影向量后，再相加。教學兩個向量的數量積運算，同樣如此。當這兩個向量不共線時，由于方向不同，無法直接相乘，所以把其中一個向量投影到另一個向量所在的直線上，于是這個投影向量與后一個向量就變成了共線的兩個向量，它們相乘完全類似于兩個有理數相乘。總之，通過向量的投影和投影向量，把非共線向量轉化成了共線向量，把向量的加法運算和數量積運算轉化成了類似于有理數的加法運算和乘法運算，由此實現了問題的化歸轉化。

二、利用辯證思維破解教學疑點

辯證思維通常被認為是與邏輯思維相對立的一種思維方式。在邏輯思維中，事物一般是“非此即彼”“非真即假”的;但在辯證思維中，事物可以在同一時間內“亦此亦彼”“亦真亦假”，而無礙思維活動的正常進行。特別是在大多數人的心目中，數學是確定無疑的絕對真理的集合，因此，在認識和把握數學對象時，更容易采用二元對立思維，犯絕對主義、教條主義、機械論的錯誤。而采用辯證思維認識和處理這類問題，則可以有效地破解這些教學疑點。

比如，常有教師提問：“x2x是不是分式？”“y=2log2x是不是對數函數？”前者在初中通常會給出肯定的回答，因為它符合分式的形式化定義，即“如果A、B表示兩個整式，B中含有字母，那么式子AB叫作分式”。這里依據的是化簡前的形式。后者在高中通常也會給出肯定的回答，因為y=2log2x=log2x2=log2x，滿足對數函數的形式化定義“y=logax”。這里依據的是化簡后的形式。兩者比較，學生很容易犯糊涂：究竟是看化簡前的，還是看化簡后的？是看形式，還是看實質？其實，對這類涉及形式與實質、過程與結果關系的問題，只要不持“非此即彼”的二元對立思維，而是在約定條件下認識和討論，就不會有任何爭議。比如，我們可以認為，x+12y在化簡前不是分式，但在化簡后可以變成分式。在教學中，關鍵是認識對象的實質;而在考試中，更不宜用此類問題來考查學生。

事實上，按照唯物辯證法，任何事物的內部都是一分為二的，矛盾雙方都是對立統一的。由矛盾論所提供的思維方法，叫作二元思維法。因為在認識矛盾的過程中，思維的對象始終是兩個，而不是一個或多個。科學的辯證法，不僅承認“一分為二”，即承認矛盾的對立性;還承認“合二為一”，即承認矛盾的統一性。認識到這一點，并采取相應的思維方式，對于破解許多教學疑點，都是非常重要的。

比如，從過程來看，對數logab是在aN=b中，求指數N的一種運算;從結果來看，對數logab本身就是一個實數，可以當作操作對象直接參與運算。因此，在某個課堂的小結環節，面對教師“對數是什么？”的提問，有的學生回答“對數是一種運算”，有的學生回答“對數是一個數”。這看似截然不同的兩種回答，其實揭示了對數概念作為“過程”與“結果”辯證統一的特征。若要較真“對數究竟是什么”，那便犯了絕對主義、教條主義的錯誤。

又如，從過程來看，函數表示從自變量到因變量的一種對應過程，即f：x→y;從結果來看，函數作為一個數學對象，可以直接參與數學運算，如f（x）+g（x）等。因此，函數概念同樣是“過程”與“結果”的統一體。在這里，那種“唯結果”或“唯過程”的回答，都是形而上學的、錯誤的。其錯誤根源，正如馬克思在批評形而上學的錯誤時所指出的那樣：“在看出有差別的地方就看不見統一。”中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局.馬克思恩格斯選集（第一卷） [M].北京：人民出版社，1995：172。

三、利用辯證思維解決數學問題

相關研究表明，學生辯證思維的發展，在初中階段，處于較低水平;在初高中過渡時期，處于迅速發展階段;從高二開始，已經占有優勢地位。掌握了這一認知發展規律，我們不僅可以利用辯證思維幫助學生理解數學知識，還可以利用辯證思維幫助學生解決數學問題。

比如，對于絕對值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的證明，由于a、b具有任意性，我們利用動靜轉換策略和數形結合思想，把a看作變量x，把b當作常量，針對不等式的三端，分別構造函數y=|x|-|b|，y=|x±b|，y=|x|+|b|，畫出它們的圖像，得到直觀表達，其大小關系便一目了然。在這里，一方面，依據唯物辯證法，靜止和運動是相對而言的，常量與變量具有相對意義，因此，它們可以相互轉化，我們既可以以靜制動，把變量當成常量來處理，也可以化靜為動，把常量看成變量來處理;另一方面，數當然不是形，形也不是數，但數與形在一定的條件下又可以相互轉化，這體現了數與形的關系也是對立統一的。

掌握了以上辯證思維的規律和方法，就可以此來解決更復雜的數學問題。

比如，對于解不等式問題x2-6x+13+x2+6x+13≤8，如果用常規方法求解，即平方、移項、合并同類項等，其復雜性是顯而易見的。但如果注意到不等式左邊的結構特點，將其化為（x-3）2+22+（x+3）2+22≤8，便可以化靜為動，將常量2看作變量y，得到（x-3）2+y2+（x+3）2+y2≤8。其幾何意義是動點（x，y）到兩定點（-3，0）和（3，0）的距離之和不大于8。根據橢圓的定義，動點（x，y）的軌跡是a=4、c=3，即方程為x216+y27=1的橢圓的內部區域。再以靜制動，令y=2，便可得原不等式的解為-4217≤x≤4217（如圖1所示）。李祎.論數學解題創新的教學原則與策略[J].數學通報，2002（8）：2325。

動靜轉換的辯證思維不僅體現在常量與變量的相互轉化上，在解決許多涉及幾何圖形的問題時也經常可以用到。

比如，在求與已知圓x2+y2-2x-4y=0相切于點M（3，3）且經過點N（5，3）的圓的方程時，我們可以化靜為動，把點M（3，3）看作圓（x-3）2+（y-3）2=r2在r→0時的極限狀態，那么經過這個圓與已知圓的交點的圓系方程為（x-3）2+（y-3）2-r2+k（x2+y2-2x-4y）=0。應用待定系數法，令x=5，y=3且r=0，便可求得k=-13。把r=0和k=-13代入圓系方程，便得所求圓的方程為x2+y2-8x-7y+27=0。這里，通過化靜為動、以靜制動，使原問題得到了巧妙的解決。

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