(2PSR+PUU)& RP混聯(lián)機床的位置及其工作空間分析*

黃道陽 薄瑞峰 張旺旺 陳振亞

(中北大學(xué)機械工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

并聯(lián)機構(gòu)自問世以來因具有剛度大、累計誤差小、承載力好等優(yōu)點，引起了各界的廣泛關(guān)注。在制造業(yè)中，為了滿足快速多變的市場環(huán)境，提高對產(chǎn)品的適應(yīng)性，世界各國都在積極研制多功能的裝備系統(tǒng)。并聯(lián)機構(gòu)和機床技術(shù)相互融合使得并聯(lián)機床具有承載能力大又加工靈活，反應(yīng)迅速[1]，在制造業(yè)中廣為應(yīng)用。

國外Hiwa G等[2]對一種四自由度的混聯(lián)機床進行研究，分析了運動學(xué)和動力學(xué)，并在渦輪葉片的加工中得到了應(yīng)用，為復(fù)雜曲面零件的加工開辟了新的途徑。Harib K H等[3]研發(fā)了一種由旋轉(zhuǎn)擺臺和并聯(lián)機構(gòu)組成的混聯(lián)機床，并研究了其位置逆解，軌跡規(guī)劃。孟祥志等研發(fā)了一種可以實現(xiàn)握立轉(zhuǎn)換的三腿并聯(lián)機床[4]，應(yīng)用于木制品加工和軟金屬品加工。天津大學(xué)的許建等[5]研制了一臺五軸聯(lián)動機床，對其進行了運動控制研究。魯巖[6-7]等研發(fā)的大擺角五軸聯(lián)動機床實現(xiàn)了刀具的大擺角加工，并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法分析了其正解。仇鑫等[8]設(shè)計了Stewart衍生型機器人的結(jié)構(gòu)，并推導(dǎo)了其運動學(xué)正解。徐帥等[9]基于機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)學(xué)設(shè)計了兩種六自由度并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出了其位置正解表達式。楊應(yīng)洪等[10]提出了可用于航空航天的復(fù)雜曲面零件加工的三自由度并聯(lián)機床模型，并對其動力學(xué)模型進行了分析。

通過對并聯(lián)機構(gòu)的研究發(fā)現(xiàn)混聯(lián)機床的機床屬性具有更高效率和更大的加工靈活性。而并聯(lián)機構(gòu)因其桿數(shù)多，互相牽制導(dǎo)致其并不能擁有大的擺角，降低了其加工靈活性，著名的Sprint Z3[11]并聯(lián)主軸頭轉(zhuǎn)動角度也僅為40°。而本文提出的混聯(lián)機床是由可沿x、z軸移動，繞y軸轉(zhuǎn)動的并聯(lián)機構(gòu)，與下方繞z軸轉(zhuǎn)動和y軸移動的工作臺串聯(lián)而成五自由度混聯(lián)機床。在滿足剛度大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等前提下，極大地提高了刀頭擺動角度，刀具擺角可以達到(0°～90°)，具有較大工作的空間，可用于部分水輪機、汽輪機、航空航天發(fā)動機的渦輪葉片加工和復(fù)雜曲面零件的加工。

1 混聯(lián)機床模型分析

本文提出的混聯(lián)機床的三維模型如圖1所示。該機床主要包含動平臺、并聯(lián)模塊、移動導(dǎo)軌、旋轉(zhuǎn)平臺和末端刀具等部分。并聯(lián)模塊依托于定平臺包括立柱1、立柱2、立柱3、支鏈1、支鏈2、支鏈3和動平臺，各部分通過運動副連接起來。

支鏈1為PUU型支鏈，包含移動副、虎克鉸，記桿長為L1;支鏈2和支鏈3相同，為PSR型支鏈，由移動副、球副和轉(zhuǎn)動副組成，記桿長為L2、L3。定平臺A1A2A3和動平臺C1C2C3均為正三角形，記其外接圓半徑分別為R和r，刀桿長度為Lt。以定平臺A1A2A3所在三角形外接圓圓心建立慣性坐標系O1-x1y1z1，記為{A}。動平臺C1C2C3的外接圓心中心建立動坐標系O2-x2y2z2,記為{C}，如圖2所示。

2 并聯(lián)模塊的自由度分析

該混聯(lián)機床由并聯(lián)模塊和機床下方的旋轉(zhuǎn)工作臺以及移動導(dǎo)軌組成。移動工作臺可以沿y軸移動以及繞z軸轉(zhuǎn)動，具有2個自由度。分析3個支鏈的自由度進而確定整個并聯(lián)機床的自由度。由于支鏈2和支鏈3構(gòu)型相同故只分析其中1個支鏈即可。運用螺旋理論[12]對支鏈1和支鏈2進行分析，得支鏈1的運動螺旋如圖3所示，支鏈2的運動螺旋如圖4所示。

支鏈1的運動螺旋及反螺旋可表示如下：

(1)

(2)

支鏈2的運動螺旋及其約束螺旋為：

(3)

(4)

由螺旋理論可得并聯(lián)機構(gòu)模塊可實現(xiàn)繞x軸轉(zhuǎn)動，x軸移動和z軸的移動，為三自由度并聯(lián)模塊。

接著使用修正的K-G公式驗證：

(5)

其中：d表示機構(gòu)的階數(shù)，n表示包括機架的構(gòu)件數(shù)目，g表示運動副數(shù)目，fi表示第i個運動副的自由度數(shù)目，v為冗余約束數(shù)目，ξ為機構(gòu)中存在的局部自由度數(shù)目。由K-G公式得到本文并聯(lián)機構(gòu)的自由度數(shù)目為：

M=6×(8-9-1)+15=3

(6)

綜上可知，用螺旋理論和修正的K-G公式證明了此并聯(lián)機構(gòu)的自由度為3，配合可實現(xiàn)y軸移動和繞z軸轉(zhuǎn)動的工作臺，整個機床具有5個自由度。

3 混聯(lián)機床位置逆解

并聯(lián)機床的位置逆解為已知動平臺中心處長為l的刀具末端點的位姿參數(shù)和機構(gòu)的各支鏈尺寸參數(shù)，求解各支鏈的驅(qū)動器的輸入?yún)?shù)。其中(x2,y2,z2)為動坐標系的原點在慣性坐標系中的位置，(α,β,γ)為動坐標系在慣性坐標系中姿態(tài)的歐拉角。由于動坐標系中的位姿參數(shù)都需要轉(zhuǎn)化到慣性坐標系中，這里我們運用Z—Y—X型歐拉角來描述：即在起始時動坐標系的3個軸和慣性坐標系的3個軸分別重合，第一次轉(zhuǎn)動為動平臺繞z2軸旋轉(zhuǎn)α角。再繞y2軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞x2軸旋轉(zhuǎn)γ角達到最終位置。其旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

(7)

式中：s=sin，c=cos。

本機構(gòu)沒有繞y、z軸轉(zhuǎn)動，故由動坐到慣性坐標系的變換矩陣為：

(8)

求解該機構(gòu)的位置逆解為已知刀尖的位姿參數(shù)求解Bi(i=1～3)到平面A1A2A3的距離，記此距離為Si(i=1～3)。B點在慣性坐標系中的坐標為：

(9)

設(shè)刀具位置為D=(xd,yd,zd)T,刀具軸線方向矢量nd=(0,-sα,cα)，動平臺上的點Ci(i=1～3)在慣性坐標系中的坐標為：

Ci=Rci+P(i=1～3)

(10)

(11)

由桿長的閉環(huán)矢量方程得桿長：

(12)

驅(qū)動桿的位移驅(qū)動參數(shù)可表示如下：

(13)

4 混聯(lián)機床的位置正解

混聯(lián)機床的位置正解為已知3個輸入滑塊的位移，求解動平臺刀尖的位姿參數(shù)問題。本文采用粒子群優(yōu)化算法，粒子群算法是模擬群鳥覓食的過程來進行隨機搜索，通過構(gòu)建最優(yōu)方程進行逐次迭代求解，將混聯(lián)機床的位置正解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解。

4.1 優(yōu)化目標函數(shù)

式(14)為確定的目標優(yōu)化函數(shù)，其中S1、S2、S3,為輸入的機構(gòu)的參數(shù)，R為機構(gòu)定平臺外接圓半徑，r為動平臺外接圓半徑。

4.2 適應(yīng)度函數(shù)

(14)

P=|p1|+|p2|+|p3| 為粒子的適應(yīng)度函數(shù)，當P<10-8時停止迭代。

4.3 速度更新公式及參數(shù)

(15)

式(15)中：各參數(shù)含義見表1，在算法運行開始時設(shè)定如表2所示各項參數(shù)取值。輸入5組不同的參數(shù)，其輸出結(jié)果如表3示。

表1 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)含義

表2 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)取值

表3 位置正解運算結(jié)果

由表3可以看出在給定輸入的情況下，通過粒子群優(yōu)化算法可以直接得到位置正解，通過圖5可以看出在迭代到第25次左右就已經(jīng)取得最優(yōu)值，曲線收斂速度很快，說明此算法能夠很好地用于求解機構(gòu)的正解。

5 混聯(lián)機構(gòu)的工作空間分析

工作空間的大小表征了機構(gòu)可到達的范圍，對我們研究機構(gòu)具有很重要的意義。一般研究工作空間的方法有：離散求解法、幾何求解法和數(shù)值求解法。以上方法在建立約束條件時可能會發(fā)生約束條件建立不全等問題，導(dǎo)致工作空間與實際相符程度不高。

本文采用一種基于SolidWorks軟件的驅(qū)動動靜結(jié)合法來求解工作空間，以滑塊的位移為變量，以機床的構(gòu)型尺寸為約束條件。先將滑塊1移動一個步長然后固定，接著將滑塊2移動一個步長，此時將滑塊3從最小值移動到最大值后再回到最小值，完成后再將滑塊2走兩個步長，滑塊3重復(fù)上述運動，排列組合完成后可求得該機構(gòu)的工作空間，如圖6所示。運動完成后將生成的數(shù)據(jù)點導(dǎo)入MATLAB軟件生成該機構(gòu)的工作空間如圖7所示。并在ADAMS中使刀尖勻速運動得刀具擺角的運動曲線圖如圖8所示。

通過分析圖7中的工作空間圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中的工作空間符合動平臺刀尖點的運 動軌跡，當步長設(shè)置的足夠小，空間將連續(xù)無空洞，說明該機構(gòu)在姿態(tài)工作空間沒有奇異位形。圖8為刀具在給定的勻速運動狀態(tài)下的擺角變化曲線圖，從圖中可以得出刀具的擺角可達(0°～90°)，刀尖可實現(xiàn)較大擺角的運動姿態(tài)，基本符合此機構(gòu)的特性。

6 結(jié)語

(1)提出一種以2PSR+PUU&RP型并聯(lián)機構(gòu)為主體的混聯(lián)機床，運用螺旋理論和修正的K-G公式對其自由度進行研究發(fā)現(xiàn)其具有五自由度，可應(yīng)用于復(fù)雜曲面零件的加工。

(2)運用閉環(huán)矢量法建立其逆解模型，并運用粒子群算法得到其正解，發(fā)現(xiàn)粒子群算法適用于求解機構(gòu)正解，且收斂速度較快。

(3)通過驅(qū)動動靜結(jié)合法結(jié)合SoildWorks軟件繪制出其工作空間發(fā)現(xiàn)其具有較大的工作空間，刀具可實現(xiàn)繞X軸較大的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動范圍為(0°～90°)可實現(xiàn)大擺角加工。