開關磁阻電機的分數階終端滑模控制

高潔， 王華宇， 徐萌

(中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津 300300)

0 引 言

開關磁阻電機(switched reluctance motor， SRM)具有結構簡單，能適應惡劣環境，容錯率強等顯著優勢。但是由于SRM自身的強非線性，很難建立精確的數學模型，當電機的內部參數變化時，傳統的PID算法難以滿足系統對高性能指標的要求。隨著控制理論的發展，迭代學習控制、內模控制、滑模控制等諸多算法相繼應用于SRM調速系統，其中滑模控制具有較強的魯棒性、對模型精確度要求不高，能夠很好地適應SRM轉速控制系統，然而常規滑模控制中系統的快速性和抖振程度是相互矛盾的，并且只能得到系統狀態的漸近收斂特性。

針對滑模控制的抖振問題，許多學者給出了解決方案，例如將模糊控制[1-2]、神經網絡算法[3-4]、邊界層[5-6]與滑模控制結合。文獻[7]針對一類非線性欠驅動系統設計了一種改進的二階滑模控制方法，該方法可以保證控制輸入及其導數的平滑性，進而成功避免了抖振問題，將該方法應用于橋式起重機系統，得到了很好的控制效果。文獻[8]首次提出了分數階魯棒控制的概念并將其應用在汽車工業中，可以看成分數階微積分里程碑式的應用成果。文獻[9]采用分數階積分滑模面和自適應趨近律，即使系統存在不確定項，也能獲得較高的收斂精確度，仿真結果表明分數階滑模面的抖振情況確實優于整數階滑模面，該控制方法具有較高的跟蹤精確度和魯棒性。文獻[10]針對高速直線運動球型機器人的模型設計了一種分數階積分遞階滑模控制器，仿真結果說明該控制方法的收斂速度、穩定性、魯棒性和抖振情況均優于普通的滑模控制器。文獻[11]將自適應分數階微積分滑模面應用于永磁同步電機調速系統，利用李雅普諾夫定理證明了系統的穩定性，對比了整數階控制器與分數階控制器的控制性能，證明了分數階控制器具有更優越的動態特性和抗干擾能力。

在收斂時間方面，傳統的線性滑模面只能得到系統狀態的漸近收斂特性，終端滑模控制將非線性函數引入滑模面，來實現系統的有限時間收斂。文獻[12]認為傳統的滑模控制只關注系統的最終狀態，并沒有對系統的瞬態做約束，針對該問題提出了一種有限時間有界性的滑模控制，引入系統分段策略，對到達階段和滑模階段的有限時間有界性分別進行了分析，通過對制導系統仿真，驗證了所提方法的有效性。文獻[13]針對不確定非線性系統的有限時間控制問題，提出了一種自適應滑模擾動觀測器與連續非奇異終端滑模控制率結合的控制方案，并且證明了觀測器誤差和系統狀態都是有限時間收斂的，仿真實驗說明該方法提高了系統的綜合控制性能。文獻[14]探討了終端滑模控制在SRM調速系統中的應用，該控制器可以使系統保持線性滑模面的收斂速度和在有限時間內收斂到平衡點，通過與PID控制器對比說明其具有更快的收斂速度。

針對目前SRM滑模控制中的抖振問題和漸近收斂問題，基于上述文獻的思想，本文提出一種改進分數階終端滑模面，保證系統的狀態到達滑模面后，始終具有較快的收斂速度并可以有效改善系統的抖振。然后說明該分數階滑模面是Mittag-Leffler穩定的，基于李雅普諾夫穩定性理論分析整個系統的穩定性和有限時間收斂特性。將該改進分數階終端滑模控制器應用于SRM轉速控制中，通過與常規滑模控制器進行對比，證明該方法的有效性。

1 分數階微積分與有限時間收斂特性分析的預備知識

定義1：函數f(t)的Riemann-Liouville型分數階積分的定義為[15]

(1)

式中：i>0是分數階積分階次；Γ(i)是Gamma函數。

給定函數的RL分數階微分定義為

(2)

定理1：若存在連續正定V(x):Rn→R滿足[16]

(3)

(4)

式中參數η>0，0

(5)

引理1：冪函數f(t)=tμ，且μ>-1，則[15]

(6)

引理2：設Xeq=0是系統的平衡點，D?Rn是包括原點有界的閉域。如果函數V(t,X(t))∶[0,∞)→R關于t是連續可微的，X滿足局部Lipschitz條件，并且[17]

a1‖X(t)‖a≤V(t,X(t))≤a2‖X(t)‖ab，

(7)

(8)

式中t>0，X∈Ω，ξ∈(0,1)，a1、a2、a3、a和b是給定的任意常數。那么Xeq=0是Mittag-Leffler穩定的，如果假設條件在Rn上全局成立，則Xeq=0是全局Mittag-Leffler穩定的。

2 改進分數階終端滑模控制器的設計

2.1 分數階終端滑模控制器設計

由SRM的轉子機械運動方程

(10)

進一步轉化為狀態空間表達形式

(12)

根據文獻[19]，得到如下的終端滑模面

(12)

式中0<α<1。此時系統的收斂情況如圖1所示，可以看出當系統狀態遠離平衡點時，收斂速度很慢。

圖1 0<α<1時的相平面圖Fig.1 Phase plan of 0<α<1

提出如下改進終端滑模面

(13)

式中β>1>α>0，由圖2可知該滑模面保證了x1在整個相平面都有較快的收斂速度。

圖2 β>1>α>0時的相平面圖Fig.2 Phase plan of β>1>α>0

文獻[20]說明了分數階滑模面減弱系統抖振的基本原理，本文將分數階微分項引入改進終端滑模面，最后選取改進分數階終端滑模面為

s=c1|x1|αsign(x1)+c2|x1|βsign(x1)+Dγx1。

(14)

式中c1>0，c2>0，β>1>α>0，1>γ>0。

對式(14)求一階導數可得

(15)

則可由式(15)得到等效控制率為

(16)

取切換控制率為

usw=-D1-γ[ksign(s)]。

(17)

分數階微積分形式的符號函數的性質與符號函數的性質類似[21]，分數階微分型符號函數和普通符號函數的對比如圖3所示，其中分數階微分的階次為0.1，輸入為正負周期變化的函數，輸出為該函數的符號函數。

由圖3可以看出，分數階微分型符號函數可以降低系統狀態變量在開關面附近的切換幅值，使得系統的狀態更加貼近滑模面，削弱系統抖振。

圖3 兩種符號函數的對比Fig.3 Comparison of two sign function

改進分數階終端滑模控制率為

u=ueq+usw。

(18)

2.2 滑模面穩定性分析

由于在滑模面中引入了非線性項和分數階微分項，常規李雅普諾夫函數無法分析本文提出的滑模面穩定性。下面將系統在狀態空間中分為|x1|<1和|x1|≥1兩部分討論，然后先根據引理2證明所提出的改進分數階終端滑模面的穩定性，再證明其有限時間收斂特性。

取a1=a2=1，ab=2，p為偶數，q為奇數且p、q互質，再取常數λ與p、q滿足以下關系

(19)

當|x1|<1時，首先討論引理2的第1個條件，取函數

(20)

取a、b和λ滿足以下條件

(21)

從而有

a1|x1|a≤V(x1)≤a2|x1|ab。

(22)

即可證明式(7)成立。

再討論引理2的第2個條件，當系統狀態到達滑模面時，有s=0，則由式(14)可得

Dγx1=-c1|x1|αsign(x1)-c2|x1|βsign(x1)。

(23)

對式(20)求γ階導數，由引理1可得

(24)

由式(21)中的參數取值和Γ函數的性質可得

(25)

將式(23)代入式(24)可得

(26)

DγV(x1)≤0。

(27)

再由式(26)得

DγV(x1)=A(-c1|x1|α+2λ-c2|x1|β+2λ)≤

-2minA(c1,c2)|x1|α+2λ。

(28)

只需α+2λ≤2且a3為滿足a3≤2min(c1,c2)的任意正常數即可滿足式(8)；當|x1|≥1時，再取a、b、λ和β滿足以下條件

(29)

利用上述方法，可證明在|x1|≥1時滿足引理2，即改進終端滑模面是Mittag-Leffler穩定的。

假設系統的可達性成立，系統的狀態在切換控制率的作用下可以收斂在|s|≤Δ中。

取c3=2max(x1,x2)，

||x1|δsign(x1)|=max(||x1|αsign(x1)|,

||x1|βsign(x1)|)

當D1-γ|x1|sign(x1)≠0時，式(15)可寫為

(30)

只有下式成立，式(14)才能保持分數階終端滑模面的形式，即

(31)

由式(31)可得

c3-D1-γs[D1-γ|x1|δsign(x1)]-1>0。

(32)

由引理3和式(32)，令p=∞可以得到

(33)

由引理3，令p=∞可以得到

(34)

引入一個時變參數σ≥1，式(33)可寫成

(35)

由式(33)和式(35)可得

(36)

從而得到

(37)

將式(37)代入式(14)得到

c2D1-γ|x1|βsign(x1)|≤

|D1-γs|+|c1D1-γ|x1|αsign(x1)|+

|c2D1-γ|x1|βsign(x1)|≤

K1Δ+|c3|x1|δsign(x1)|≤(K1+1)Δ。

(38)

當D1-γ[|x1|sign(x1)]=0，有

(39)

根據以上分析可以得到，若系統的狀態s可在有限時間內收斂到|s|≤Δ，就能說明x1可在有限時間內收斂到式(37)。

2.3 滑模面可達性分析

為了確保系統的狀態能夠達到并維持在滑模面，設李雅普諾夫函數為

(40)

將式(40)求一階導數，可得

(41)

將式(15)與式(18)代入式(41)可得

(42)

由李雅普諾夫穩定性理論可知所設計的控制率可使系統從狀態空間中的任意初始位置抵達滑模面。

(43)

3 仿真研究與實驗分析

在Ansys中建立SRM的模型，其具體參數值如表1所示。基于Maxwell 2D對SRM的電磁特性進行求解，得到T-i-θ和ψ-i-θ數據，然后在Simulink中利用查表模塊和SRM各變量間的關系，建立SRM的非線性數學模型[22]。本文以四相8/6開關磁阻電機為研究對象，以減小調節時間和轉矩脈動為目標，采用改進分數階終端滑模控制和轉矩分配控制建立轉速轉矩雙閉環控制系統。

表1 電機參數

SRM控制系統的總體框圖如圖4所示，外環是轉速控制環，內環是轉矩控制環。控制系統的轉速信號通過分數階終端滑模控制器產生轉速外環的輸出信號，該輸出信號再作為轉矩內環的預期轉矩。轉矩分配策略以合成輸出轉矩等于預期轉矩為目標，分配每相轉子在不同位置的期望轉矩，使合成瞬時轉矩跟蹤上轉速外環輸出的期望轉矩。由式(10)可以看出，系統的控制變量是電磁轉矩Te。轉矩分配函數為余弦轉矩分配函數[23]，即

圖4 系統框圖Fig.4 Structure of system

Tref(k)=Tref×fk(θ)。

(44)

式中：θon為導通角；θoff為關斷角；θov為重疊角；τr為周期；Tref(k)為第k相參考轉矩；Tref為總參考轉矩。

為了驗證所提分數階終端控制器的有效性，本文將比較常規滑模的控制效果與改進分數階終端滑模的控制效果，從加速和加載兩個方面對系統進行動態仿真，并分析穩定運行時的電流與轉矩。取常規滑模面為

s=cnx1+x2。

(45)

趨近率為

(46)

其中常規滑模控制器的參數為cn=18、kn=800，改進分數階終端滑模控制器的參數為c1=8、c2=15、α=0.4、β=1.5、γ=0.8、k=1 200。

在加速情況下，SRM轉矩為8 N·m，轉速從1 000 r/min突增到1 500 r/min，兩種控制器的仿真波形如圖5所示。其中黑色為常規的滑模控制器，灰色為改進分數階終端滑模控制器。

兩種控制器在加速時的具體數據如表2。

表2 加速情況下不同控制方式性能對比

圖5(a)、表2可以說明改進分數階終端滑模控制系統可以更快地跟蹤上給定的轉速，并且系統穩定后轉速的波動更小，改進的分數階終端滑模面提高了系統的動態特性。圖5(b)為轉矩的變化情況，在穩態情況下，轉矩脈動減小了30%左右；當系統的給定轉速發生改變時，轉矩也會相應的變化，因為設置轉速升高，由系統框圖可知給定的轉矩也會增加，轉速穩定后，轉矩重新回到原始值，故轉矩會出現先升高后降低的趨勢。當時間間隔足夠小時，SRM轉矩的變化量與轉速的變化量可以看作成正比。改進分數階滑模控制器優秀的動態特性可以迅速使系統達到給定的轉速，從而減小調速過程中轉矩抖動的時長和幅值。圖5(c)是系統運行過程中滑模面的響應曲線，無論是升速還是穩態階段，改進分數階滑模面的抖動幅值都遠遠小于常規滑模面，說明分數階的切換趨近率改善了系統在到達階段的抖振情況，分數階的滑模面改善了系統在滑動階段的抖振。

圖5 加速情況下的波形對比Fig.5 Waveform comparison under acceleration

在加載情況下，SRM轉速為1 500 r/min，轉矩從開始設定8 N·m，突增到10 N·m，兩種控制器的仿真波形如圖6所示。

圖6 加載情況下的波形對比Fig.6 Waveform comparison under loading

兩種控制器在加載時的具體數據如表3。

從圖6(a)可以看出在轉矩突增后，兩種控制器均有一定的轉速降落，由于滑模控制的魯棒性強，對負載擾動不敏感，因此轉速波動十分有限。通過表3可以發現分數階終端滑模控制器加載時引起的轉速脈動更小，可以抑制轉速波動的影響。從圖6(b)和表3可以說明改進分數階終端滑模控制與常規滑模控制相比，轉矩有較大的瞬時波動，這是由于改進滑模面動態特性更好，使系統迅速做出反應，導致系統有較大的調節幅度。在短時間的波動后，改進分數階終端滑模控制迅速回到初始轉速，普通滑模控制的轉矩雖然沒有發生劇烈的抖動，但是其轉速的調節時間明顯落后。在滑模面的抖動方面，轉矩增加后，從圖6(c)可看出改進分數階終端滑模控制器的滑模面和速度抖動情況基本無變化，常規滑模控制器的抖動情況明顯變得更加嚴重。

表3 加載情況下不同控制方式性能對比

電機轉速為1 500 r/min、負載轉矩為15 N·m的相電流和轉矩的情況如圖7所示，其中圖7(a)為常規滑模控制器的仿真情況，圖7(b)為改進分數階終端滑模控制器的仿真情況。

圖7 電流和轉矩的波形對比Fig.7 Waveform comparison of current and torque

通過觀察圖7可以看出，在單相導通區兩種控制器的轉矩都能達到給定值，且轉矩比較平穩，但二者在換相區域相電流波形與轉矩脈動波形有明顯差異，常規滑模控制策略下相電流的上限在68.83 A，轉矩波動范圍在13.27 N·m到18.31 N·m，轉矩脈動率為33.63%；改進分數階終端滑模控制策略下的相電流的上限在55.14 A，轉矩波動范圍在13.76 N·m到17.19 N·m，轉矩脈動率為22.8%。在換相過程中，常規滑模控制相電流的峰值和轉矩脈動均大于改進分數階終端滑模控制，可見，改進分數階終端滑模控制器在換相過程中也有著更好的控制效果。

圖8為實驗電流波形，圖8(a)為常規滑模控制的相電流波形，圖8(b)為改進分數階終端滑模控制的相電流波形。由圖中可以看出，常規滑模條件下，由于換相過程中電流出現較大的波動。經過滑模優化后，電流在換相過程中較為穩定。

4 結 論

本文針對具有強非線性和模型不確定性的SRM控制系統研究了一種改進分數階終端滑模控制方法：

1)設計了一種在整個狀態空間中都有著較快收斂速度的分數階終端滑模面，給出了SRM控制系統的改進分數階終端滑模控制器的形式；

2)針對本文設計的控制器，對其穩定性、可達性以及有限時間收斂性給出了證明，從理論上說明控制器的合理性；

3)本文提出控制器使SRM系統有較好的動態特性和較小的穩態抖振，將系統的調節時間減小了68.4%，穩態轉矩脈動降低了37.1%，在加速和加載的情況下，使SRM系統保持較好的運行狀態，且在換相過程中改善了轉矩和電流的波動情況。