數(shù)學(xué)模型：建構(gòu)生活與數(shù)學(xué)融合的育人場域

陳世美（福建省莆田市秀嶼區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

所謂數(shù)學(xué)模型，通俗講就是老師引導(dǎo)學(xué)生為解決生活中的問題，不斷猜想、實(shí)驗(yàn)并驗(yàn)證而建立起來的數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式、定義等。本文結(jié)合數(shù)學(xué)廣角《植樹問題》，淺談在數(shù)學(xué)課堂中怎樣做到生活問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題模型化化。

一、基于生活原型，感悟數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)問題藏在我們生活的每個角落里，在數(shù)學(xué)課堂上用生活中常見的具體事例進(jìn)行教學(xué)，既可以大大降低學(xué)生害怕抽象性知識的程度，又剛好為建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供了極好的便利。如《植樹問題》感知模型教學(xué)片斷：

師：孩子們，用數(shù)學(xué)的眼光看看老師伸出的這一只手（張開），你會想到哪個數(shù)字？生：數(shù)字5。

師：能說一說，這數(shù)字5指的是什么？生：指的是5個手指頭。

師：可是老師想到卻是數(shù)字4，這數(shù)字4藏在老師手上哪里？生：是手上4個間隔。

師：那么3個手指之間有幾個間隔？生：3個手指之間有2個間隔。

師：那么這手指上的間隔是啥意思？生：指的是每兩個相鄰手指頭之間的縫隙。

師：沒錯，這樣的“手指縫”在數(shù)學(xué)上可以稱作間隔，瞧瞧老師張開的這只手藏著幾個間隔。（老師伸手張開隨意變化手指頭個數(shù)，學(xué)生一一說出對應(yīng)的間隔數(shù)）今天的數(shù)學(xué)秘密就藏在這只張開的手，誰知道？

生：間隔數(shù)比手指數(shù)少1，手指數(shù)比間隔數(shù)多1。

師：像這存在間隔的問題，稱為“植樹問題”。

在課堂上讓學(xué)生體驗(yàn)生活，如手指間隔這樣的常見的生活原型，每個人身上都有，而且這樣的生活原型處處可見，形象生動，使得學(xué)生一下子發(fā)現(xiàn)生活原型里面隱藏的規(guī)律，進(jìn)而感知數(shù)學(xué)知識的形成過程。

二、經(jīng)歷知識形成過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

小學(xué)數(shù)學(xué)模型的建模點(diǎn)主要由“數(shù)量關(guān)系”和“變化規(guī)律”兩個方面梳理建模點(diǎn)。在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型時要引導(dǎo)學(xué)生有針對性地進(jìn)行猜想，然后讓學(xué)生動手操作進(jìn)行驗(yàn)證。

畫簡單的示意圖是進(jìn)入高年級的學(xué)生常用的探究操作活動，從畫簡單示意圖到依據(jù)簡單示意圖進(jìn)行推理，再到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成了解決問題的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生也就經(jīng)歷了實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”和解決問題“模型化”的過程。

如《植樹問題》建構(gòu)模型教學(xué)片斷：

課件出示《植樹問題》例題1，并讓學(xué)生讀題獲取數(shù)學(xué)信息后，

師問：這題中你覺得特別注意哪些信息？（學(xué)生匯報(bào)關(guān)鍵信息后師把一張紙條貼在黑板上）

師：假如把這張紙條當(dāng)作一條路，“一側(cè)”是在哪里？兩端在又是紙條的哪里？（生上板指出一側(cè)，又指著紙條的兩端）

師：猜一猜看需要栽樹多少棵？生猜：19棵、20棵、21棵。

師：孩子們是怎樣算的？生匯報(bào)師板書算式（略）

師：發(fā)現(xiàn)了三種思路都有“100÷5”，它是求什么呢？生：是求這條路有幾個間隔，就是求間隔數(shù)。

師：三種思路都有求間隔數(shù)，意味著想求棵樹是離不開間隔數(shù)，接下來咱們就一起研究驗(yàn)證下，100這數(shù)稍大些，可選用小點(diǎn)的數(shù)進(jìn)行研究，比如10米、15米、20米……然后畫線段示意圖進(jìn)行驗(yàn)證。

（生畫線段示意圖驗(yàn)證后上板貼作品并匯報(bào)，師板書算式）

生1：我選用15米長的路驗(yàn)證（圖略），15÷5求出有3個間隔，兩端都要栽，就要栽3+1=4棵樹，栽21棵樹是對的。生2：我選用35米長的路驗(yàn)證（圖略），35÷5求出有7個間隔，兩端都要栽，就要栽7+1=8棵樹，所以21棵樹是對的。生3：我選用30米長的路驗(yàn)證（圖略），30÷5求出有6個間隔，兩端都要栽，就要栽6+1=7棵樹，與前面兩個想法是一樣的。

師：孩子們都通過驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)100米路需要栽樹21棵，那觀察這些算式你可以發(fā)現(xiàn)什么？生：棵樹比間隔數(shù)多1，間隔數(shù)比棵樹少1。

師：孩子們用靈巧的手畫線段示意圖，用雪亮的眼睛觀察算式、用聰明的心思領(lǐng)會規(guī)律，這100米的小路平均分成幾個間隔？（20個間隔）栽了幾棵樹？（21棵樹）（師板書：100÷5+1=21（棵））

師：為什么要“加1”？孩子們，能不能具體說明一下？生：比如15米的路，看這圖就可以知道，兩端都栽的話，1棵樹對著1個間隔5米，最后1棵樹沒了間隔，這種情況下間隔數(shù)必須加最后1棵才可以。生：比如35米的路，看示意圖便知兩端都栽，每1棵樹對著前面1段5米，第1棵樹沒了5米，必須算上第1棵樹。

師：100米的路可以這樣栽，如果兩端都不栽，需要多少棵樹？生：100÷5－1=19棵樹。

師：那好，根據(jù)剛才兩端都栽的方法說明一下你的想法。生：比如30米的路，看示意圖知道，若頭尾不栽，一段5米對著1棵樹，最后1段5米沒有樹，這樣得減掉1個間隔。

師：如果只栽一端，需要多少棵樹？生：100÷5=20棵樹。

師：具體說明一下你的想法。生：比如35米的路，看示意圖就一目了然，若只栽頭則最后1棵樹不要加，若只栽尾則第1棵樹就不用加，這樣棵樹與間隔數(shù)剛剛好。

在本節(jié)植樹問題課中，通過引導(dǎo)學(xué)生用畫線段示意圖研究知識，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂趣，建構(gòu)了正確的數(shù)學(xué)模型，對新知識掌握更加深刻。

三、變式生活問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生弄懂?dāng)?shù)學(xué)模型，再讓學(xué)生依照所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，這樣學(xué)生就清楚明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用。

如《植樹問題》升華模型教學(xué)片斷：

出示變式習(xí)題：丁丁乘獨(dú)戶電梯上樓，電梯從一層上升到二層約需2秒，照這樣的速度，丁丁家在15層，大約需要多少秒？

師：我們學(xué)習(xí)的植樹問題，是不是只適用于植樹問題？看看剛才的練習(xí)，多少時間呢？用植樹問題的知識能解決嗎？生：可以，這15層可以看作15棵樹。

師：說得真好，那間隔數(shù)怎么看？生：每上一層需要2秒是看作間隔長，15層就有14個間隔長。

師：這乘電梯是植樹問題中的哪種情況？生：兩端都栽。

當(dāng)學(xué)生遇到乘坐電梯、敲鐘等現(xiàn)實(shí)生活情境時，只需稍作引導(dǎo)，學(xué)生就會對應(yīng)植樹問題進(jìn)行升華，就會聯(lián)想到題目中把什么看作樹？又是把什么看作間隔數(shù)？從而判斷是植樹問題的哪種情況，這樣學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)模型不但進(jìn)行了鞏固也得到了升華，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型就要讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，能用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型解決相類似的數(shù)學(xué)問題。