核心素養(yǎng)下數(shù)學史融入高中等差數(shù)列的教學策略研究

摘 要：等差數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，蘊含豐富的數(shù)學核心素養(yǎng)。而數(shù)學史作為數(shù)學文化的一個重要組成部分和具體表現(xiàn)形式，蘊含豐富的數(shù)學思想，在培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要作用。因此，本文首先將分析出等差數(shù)列的教學內(nèi)容側重培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng);其次分析等差數(shù)列中存在的數(shù)學史內(nèi)容及其教育價值;最后基于以上兩個方面的分析，提出高中數(shù)學等差數(shù)列這一課時融入數(shù)學史的教學策略。

關鍵詞：數(shù)學史 等差數(shù)列 核心素養(yǎng)

1 引言

高中階段是學生發(fā)展的一個重要的階段，在這個階段的教學中加強對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對于促進學生全面發(fā)展具有重要作用。同時在《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（簡稱《標準》）明確了數(shù)學核心素養(yǎng)之后，數(shù)學教育研究者們更加關注對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而數(shù)學史注重數(shù)學知識產(chǎn)生與發(fā)展的歷程，蘊含了豐富數(shù)學思想，以數(shù)學史材料為素材，在進行具體的教學時將這些數(shù)學史素材與數(shù)學知識相結合，可以有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

朱立明在《核心素養(yǎng)視角下數(shù)學史教育的價值與策略》中認為數(shù)學史具有教育價值，并從三個方面提出實施策略[1];高山在《探討數(shù)學史對提高高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的價值和策略》結合高中數(shù)學教學的情況，探討數(shù)學史對提高高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的價值和策略[2];趙虎在《淺談數(shù)學學史對提高高中學生核心素養(yǎng)的價值》主要人格形成、數(shù)學能力強化、增長知識見識三個方面，談數(shù)學史對培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的價值，最后提出教學策略[3]。以上文獻分析了數(shù)學史對于培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)方面具有的教育價值并提出相應的教學策略。但是在具體的課程內(nèi)容方面研究較少，尤其是關于高中等差數(shù)列這一方面的研究還不夠全面。

由此，本文將分析等差數(shù)列側重培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)以及等差數(shù)列中存在的數(shù)學史內(nèi)容及其教育價值，最后結合以上兩個部分的內(nèi)容提出高中數(shù)學等差數(shù)列這一課時融入數(shù)學史的教學策略。為該領域的研究在理論和實踐方面提供參考。

2 核心概念的界定

對于核心素養(yǎng)和數(shù)學史的研究已經(jīng)有一定的歷史。在數(shù)學史方面，從19世紀中葉開始，教育研究者們就已經(jīng)開始關注數(shù)學史和數(shù)學教育之間的關系。而在核心素養(yǎng)方面，《標準》中提出數(shù)學核心素養(yǎng)的概念。

2.1 數(shù)學核心素養(yǎng)

對于數(shù)學核心素養(yǎng)的概念的研究有很多，不同的專家學者有不同的理解，而且都有它們的合理性。而《標準》經(jīng)過專家多年的研討，并且在征求了廣泛的意見之后編訂的。其關于數(shù)學核心素養(yǎng)概念的界定具有一定的權威性。由此本文采用《標準》中對于數(shù)學核心素養(yǎng)概念的界定：數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的[4]。

2.2 數(shù)學史

數(shù)學史是研究數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學。它研究數(shù)學內(nèi)容、思想和方法的發(fā)生、發(fā)展過程，也研究可能影響這種過程的因素，以及數(shù)學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。

3 核心素養(yǎng)下高中數(shù)列內(nèi)容分析

上面已經(jīng)對數(shù)學核心素養(yǎng)的概念做了介紹，本節(jié)將以《標準》中六大數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵為基礎，結合高中等差數(shù)列的具體教學內(nèi)容，分析高中等差數(shù)列的具體教學內(nèi)容側重培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)。

數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)[4]。而在等差數(shù)列的教學中，如在向學生講解等差數(shù)列的概念時，教師可以利用生活或其他方面設計問題情境，引導學生對問題情境中涉及到的數(shù)列進行分析，歸納規(guī)律，從中抽象出等差數(shù)列的概念，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。此外等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用、等差數(shù)列前n項和公式，同樣可以培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[4]。很多性質(zhì)、法則、公式、定理的推導，都是建立在定義或命題上，并通過邏輯推理得出的。而在等差數(shù)列的教學中，如向學生講解等差數(shù)列通項公式的推導時，教師可以向學生提出這樣一個思考：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？引導學生利用等差數(shù)列的定義推導其通項公式。除此之外，還可以引導學生尋找其他的方法推導出等差公式的通項公式。在這個過程中學生仔細觀察，利用已有定義，通過嚴密的推理得出結論，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。此外等差數(shù)列的性質(zhì)的推導及其前n項和公式的推導，同樣可以培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)[4]。而在等差數(shù)列的教學中，如向學生講解等差數(shù)列的應用時，教師可以設置相關的典型例題，引導學生在解決問題的過程中，首先明確問題考查的對象，其次選擇等差數(shù)列的相關知識，最后按照運算的基本程序解決問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。此外等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，同樣可以培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)[4]。而在等差數(shù)列的教學中，如利用等差數(shù)列解決實際問題，可以使等差數(shù)列從教材中的理論知識轉化成為實際生活中的可操作計算方法，以此來培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想。

通過以上的分析，得到高中等差數(shù)列的具體教學內(nèi)容側重培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)，具體情況如表1：

表1詳細地展示了等差數(shù)列的具體教學內(nèi)容側重培養(yǎng)的四個數(shù)學核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模。而對于以上的具體教學內(nèi)容中未提及的數(shù)學核心素養(yǎng)，并不是指這部分的具體教學內(nèi)容一定不能培養(yǎng)該數(shù)學核心素養(yǎng)，而是指這部分的教學的具體內(nèi)容也可能培養(yǎng)該數(shù)學核心素養(yǎng)，只是相對于對其它的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來說較弱，因此沒有提及。

4 高中等差數(shù)列數(shù)學史內(nèi)容分析

在等差數(shù)列的教學上，一定程度地介紹等差數(shù)列發(fā)展的歷史有助于幫助學生樹立健全的數(shù)學觀和培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。因此以下部分將分析等差數(shù)列涉及到的數(shù)學史內(nèi)容，并分析其在數(shù)學教學方面發(fā)揮的作用。

4.1 數(shù)學故事

在等差數(shù)列發(fā)展的每一個時期都充滿了眾多精彩的數(shù)學故事，有許多典型的數(shù)學故事值得向學生介紹。例如，高斯、丟番圖、楊輝等數(shù)學家的生平軼事。本節(jié)主要列舉“高斯求和”的故事：高斯是德國著名數(shù)學家，在他10歲時，他當時的數(shù)學老師布特納出了一道算術題“求1+2+3+…100的和”，布特納剛敘述完題目，高斯就很快算出了正確答案。在教學過程中適當?shù)南驅W生講授數(shù)學故事，一方面可以吸引學生的注意力，增強學生的學習興趣;另一方面可以拉近學生與數(shù)學家的距離，更真切地感受數(shù)學家們對數(shù)學熱情，培養(yǎng)學生對數(shù)學的熱愛。

4.2 數(shù)學家的思想方法

在等差數(shù)列發(fā)展中產(chǎn)生了無數(shù)的思想方法，它們都是數(shù)學家們智慧的結晶。在等差數(shù)列思想中具有代表性更是舉不勝舉，例如：歐拉“錯位相減”法、列方程求解等差數(shù)列問題、阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》中有關等差數(shù)列求和問題的解法等。本節(jié)主要列舉阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》中有關等差數(shù)列求和問題的解法：書中記載1+2+3+…+n=，阿爾·卡克希用倒序相加法證明了上述命題，并且把這種方法用于一般的等差數(shù)列求和。在教學過程中通過介紹數(shù)學家的思想，讓學生了解它、認識它，一方面可以開闊學生的思維;另一方面還能讓學生近距離地了解它們，以此來貼近數(shù)學家的思想，看到他們?yōu)檎胬硭冻龅钠D辛，以此為榜樣給學生前行的力量。

4.3 數(shù)學著作

在等差數(shù)列發(fā)展的歷程中產(chǎn)生了無數(shù)數(shù)學著作，它們是數(shù)學史的重要組成部分之一。《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孔子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》等著作中都包含了等差數(shù)列的相關運用和計算方法，其中以《九章算術》中等差數(shù)列的運算記載最為系統(tǒng)。例如，《九章算術》中《盈不足》第19題、《衰分》第1題、《均輸》第17題、第18題都是很好的教學資料，經(jīng)過一定的改編可以應用到具體的教學過程中。這些著作中豐富的資料，一方面可以讓學生更進一步的了解等差數(shù)列概念產(chǎn)生的背景，形成感性認識;另一方面，可以吸引學生的注意力，增強學生的學習興趣。

5 核心素養(yǎng)下數(shù)學史融入高中數(shù)列的教學策略

數(shù)學史在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)方面發(fā)揮了重要的作用，因此教師在教學過程中可以將數(shù)學史料充分地融進課堂中。下面將在等差數(shù)列的數(shù)學史內(nèi)容的基礎上，結合核心素養(yǎng)下高中等差數(shù)列的教學內(nèi)容，具體論述如何將數(shù)學史融入到教學過程。

5.1 利用數(shù)學故事創(chuàng)設教學情境，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象思維

在等差數(shù)列發(fā)展的歷史中，數(shù)學家在探索真知的過程中發(fā)生了許多奇妙的經(jīng)歷，產(chǎn)生了非常多的數(shù)學故事。而這些數(shù)學故事可以根據(jù)具體的教學內(nèi)容和教學目標進行挑選，選擇最為恰當內(nèi)容，之后使用恰當?shù)姆绞饺谌氲秸n堂教學中。在具體的教學過程中，如果我們可以將這些數(shù)學故事與具體的教學內(nèi)容相結合，并以此為基礎進行實踐教學，便可以使學生通過在數(shù)學故事中抽象出數(shù)學概念、命題、方法等來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維。所以，在“等差數(shù)列”的教學中，我們完全可以通過利用數(shù)學故事創(chuàng)設情境的方法將學生們引入到具體的教學情境當中，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。

例如，在講“等差數(shù)列的前n項和”時，教師可以利用“高斯求和”的數(shù)學故事創(chuàng)設教學情境。具體的教學過程如下：向學生提出這樣一個問題：“數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了問題：1+2+3+4+5+…+100=？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？”隨后在學生討論后，向學生展示高斯的求和過程。最后可以布置課外作業(yè)，以學習小組的方式請同學們查找高斯的生平事跡以及他在數(shù)學中的貢獻，在下一次的課堂向班級中其他學生分享。通過此教學情境可以引起學生的疑問，激發(fā)學生的學習興趣，同時使學生結合具體的教學情境感受等差數(shù)列求和公式的推導過程，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，達到高效教學的目的。

5.2 借鑒數(shù)學家的思想方法進行公式推導，增強學生邏輯推理能力

在等差數(shù)列發(fā)展的歷史中存在數(shù)學家們寶貴的思想方法，它們都是智慧的結晶。而這些寶貴的思想方法應該根據(jù)教學內(nèi)容和教學目標進行挑選，選擇符合學生身心發(fā)展水平的內(nèi)容，之后使用恰當?shù)姆绞饺谌氲秸n堂中。在等差數(shù)列通項公式和等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中，教師可以向學生將數(shù)學家們的思想方法與公式的推導過程相結合，通過介紹數(shù)學家們關于公式推導的思想方法，使學生掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題。并且在這個過程中積極引導學生深入探究公式的推導過程，使學生充分參與探究活動，實現(xiàn)知識遷移，強化學生的理性思維，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)。

例如，在講解“等差數(shù)列前n項和公式”時，可以將阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》中有關等差數(shù)列求和問題的解法滲透到教學過程中。在具體的教學過程中可以向學生介紹阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》中有關等差數(shù)列求和問題的解法。并且在這個過程中教師應引導學生思考解法中蘊含的思想方法，加深對該解法的理解，并借鑒該解法進行公式的推導。通過滲透數(shù)學家的思想方法，可以更加真實地體會到倒序相加法求和的思想，培養(yǎng)學生邏輯推理能力。

5.3 參考數(shù)學著作設計問題，強化學生數(shù)學運算能力

在等差數(shù)列的發(fā)展歷史中存在大量數(shù)學著作。這些數(shù)學著作種類繁多、內(nèi)容量大，教師應該廣泛收集，選擇合適的數(shù)學著作，并根據(jù)具體的教學內(nèi)容進行改編。教師可以參考數(shù)學著作設計問題，一方面數(shù)學問題的解決可以展現(xiàn)出數(shù)學的運算性特征，教師通過引導學生解決數(shù)學問題來強化學生的數(shù)學運算能力;另一方面，利用數(shù)學著作設計問題，可以引發(fā)學生自主思考與探究。在教學過程中，教師首先引導學生對問題進行分析，找出其中考查的等差數(shù)列知識點，然后選擇合適的解題思路和解題的方法，最后解決該問題，從根本上強化了學生的數(shù)學運算能力。

例如，在學生學習等差數(shù)列前n項和公式之后，可以參考《張丘建算經(jīng)》設計問題。問題如下：今有女不善織，日減功遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？在這個過程中，首先引導學生對問題進行分析，然后進行自主探究，學生能夠運用等差數(shù)列前n項和公式進行解答，強化數(shù)學運算能力。

5.4 依據(jù)知識產(chǎn)生的背景設計情境，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力

通過等差數(shù)列發(fā)展的歷史，我們了解到等差數(shù)列的產(chǎn)生實際上來源于人們的現(xiàn)實生活。所以在教學過程中教師可以結合數(shù)學史深入挖掘等差數(shù)列產(chǎn)生的實際背景與現(xiàn)實來源，以此加深學生對等差數(shù)列的理解和記憶，讓學生認識到等差數(shù)列來自人們生產(chǎn)和生活的實踐，最后作用于實際生活，使等差數(shù)列從教材中的理論知識轉化成為實際生活中的可操作計算方法，以此來培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力。

例如，在講解“等差數(shù)列的概念”時，可以向學生介紹概念產(chǎn)生的背景，設計的教學環(huán)節(jié)如下：在課前可以給學生布置作業(yè)，要求按學習小組查找等差數(shù)列產(chǎn)生的背景，在課堂上向班級中其他學生分享。使學生了解到，我國古代的發(fā)展主要依靠畜牧業(yè)和農(nóng)業(yè)，為了能將生產(chǎn)資料按照等級合理進行分配，“等差”思想應運而生。使學生對等差數(shù)列產(chǎn)生了感性的認識。

6 小結

總之，數(shù)學科學是最重要的基礎科學之一，等差數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。而數(shù)學史是一座巨大的寶藏，為教師在課堂上落實數(shù)學核心素養(yǎng)提供了豐富的教學素材和思想養(yǎng)料。本文首先分析核心素養(yǎng)下等差數(shù)列的具體內(nèi)容和等差數(shù)列中的數(shù)學史內(nèi)容，并在此基礎上提出相應的教學措施。但本文的研究有限，對于等差數(shù)列中數(shù)學史的內(nèi)容也不夠全面，還需要多方面查閱文獻，充分挖掘可以與教學內(nèi)容相結合的數(shù)學史內(nèi)容，實現(xiàn)核心素養(yǎng)下數(shù)學史內(nèi)容融入到等差數(shù)列的教學中，作為教育工作者任重而道遠。

參考文獻：

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[3] 趙虎.淺談數(shù)學學史對提高高中學生核心素養(yǎng)的價值[J].家長，2021（21）：171-172.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京∶人民教育出版社，2018.

作者簡介：

魏子薇：（1997.09—），女，漢族，黑龍江省綏化市人，寧夏師范學院碩士在讀。研究方向：學科教學（數(shù)學）。