數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作指導(dǎo)的教學(xué)心得

許釗泉

（暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 廣州)

眾所周知，數(shù)學(xué)一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科，與其他學(xué)科不同的是，其有著更強(qiáng)的邏輯性，而數(shù)學(xué)論文的寫(xiě)作一方面既要有新成果，另一方面又要能精確地把數(shù)學(xué)的研究成果轉(zhuǎn)化成文字，進(jìn)而撰寫(xiě)成文發(fā)表。這些對(duì)于剛接觸數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作的學(xué)生來(lái)說(shuō)，特別是平時(shí)缺乏數(shù)學(xué)寫(xiě)作訓(xùn)練的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都不是容易的事。由于目前國(guó)內(nèi)大部分高等院校考試都偏重于記憶，局限于書(shū)本知識(shí)的一般理解，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生掌握理解知識(shí)的深度和實(shí)際運(yùn)用能力難以全面理解。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)教材時(shí)往往把重點(diǎn)放在內(nèi)容理解和記憶上，而對(duì)書(shū)本章節(jié)內(nèi)容的寫(xiě)作技巧關(guān)注不夠，也沒(méi)思考這樣書(shū)寫(xiě)的合理性以及改進(jìn)的可能性，甚至有些學(xué)生平時(shí)在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)時(shí)死記硬背，缺少動(dòng)手動(dòng)筆和實(shí)際操作練習(xí)，課堂上也很少做筆記和讀書(shū)札記，對(duì)寫(xiě)作知識(shí)了解不多，也很少進(jìn)行寫(xiě)作訓(xùn)練，甚至對(duì)論文的基本格式都不甚了解。因而，很多學(xué)生在論文寫(xiě)作上感到力不從心，在課題的選擇，設(shè)計(jì)，結(jié)果的推理陳述，論文的撰寫(xiě)與修改等過(guò)程中總會(huì)犯一些錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作有其自身的規(guī)律和技巧，要達(dá)到專業(yè)的水平需要長(zhǎng)期的訓(xùn)練。對(duì)于初步接觸研究工作的數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，在大學(xué)階段學(xué)過(guò)很多數(shù)學(xué)專業(yè)課程，但往往把重心放在內(nèi)容的理解上，而沒(méi)有重視內(nèi)容的書(shū)寫(xiě)結(jié)構(gòu)和安排，這主要體現(xiàn)在閱讀教材時(shí)，只是為了力求理解和掌握課本知識(shí)，而沒(méi)有留意觀察和學(xué)習(xí)每一定理、引理、例題是怎么書(shū)寫(xiě)證明的。這樣導(dǎo)致大部分學(xué)生在做題時(shí)，心里面大概知道用什么知識(shí)解題，但就是不能把解題步驟精確地?cái)⑹龀鰜?lái)。由于大學(xué)期間缺少系統(tǒng)的數(shù)學(xué)寫(xiě)作訓(xùn)練，很多剛接觸數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作的研究生對(duì)論文寫(xiě)作的基本要領(lǐng)不甚了解。此外，大部分學(xué)生平時(shí)很少閱讀英文數(shù)學(xué)論文，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)英語(yǔ)不熟悉，專業(yè)詞匯量不夠[2]。由于專業(yè)英語(yǔ)詞匯缺乏，學(xué)生在運(yùn)用專業(yè)英語(yǔ)組織語(yǔ)言時(shí)感到非常困難，往往在描述科學(xué)問(wèn)題時(shí)用詞不夠精確，甚至詞不達(dá)意。同時(shí)學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)專業(yè)英語(yǔ)特有的語(yǔ)法不熟悉，也導(dǎo)致寫(xiě)作思路不夠清晰，條理混亂，語(yǔ)句表達(dá)不夠流暢。其實(shí)很多學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)論文難寫(xiě)，都是因?yàn)閷?duì)于論文不夠了解，對(duì)論文的寫(xiě)作方法、論文結(jié)構(gòu)缺乏認(rèn)識(shí)，以及專業(yè)英語(yǔ)水平低下。

基于上述考慮，本文將談?wù)劰P者近年來(lái)在《數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作與指導(dǎo)》教學(xué)上的一些心得體會(huì)。希望對(duì)學(xué)生如何有效查找文獻(xiàn)、確立課題，如何精確地書(shū)寫(xiě)科研論文的各個(gè)部分，包括論文的標(biāo)題、摘要、主體部分，以及討論總結(jié)起到一些指示性作用，從而少走彎路，提高數(shù)學(xué)論文的寫(xiě)作能力。

一 確立課題

對(duì)于初步接觸數(shù)學(xué)寫(xiě)作的學(xué)生來(lái)說(shuō)，尋找課題的靈感從何而來(lái)？通常確立研究課題，首先要查找相關(guān)文獻(xiàn)，可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜尋（資料庫(kù)、搜索引擎）、通過(guò)實(shí)體空間（圖書(shū)館、書(shū)店、檔案室等）查找、請(qǐng)教相關(guān)專家等方法途徑；也可以聽(tīng)相關(guān)課程或演講、閱讀圖書(shū)館內(nèi)近期的重要期刊論文、查詢論文后面的參考書(shū)目、看參考論文后面的未來(lái)研究建議，或者與同學(xué)及老師討論。總的來(lái)說(shuō)，確立研究課題，首先需要了解在某方面的研究，別人發(fā)表了什么觀點(diǎn)，這就是說(shuō)，需要站在當(dāng)前研究領(lǐng)域的最前沿，對(duì)當(dāng)前的研究進(jìn)展和成果非常熟悉。這就要求學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)各種途徑搜索文獻(xiàn)資料，只有熟悉掌握搜索資料，才能準(zhǔn)確了解當(dāng)前的研究現(xiàn)狀，進(jìn)而確立研究課題。既然是研究論文，那么選題范圍就不要太大了，太大太寬泛的論文一個(gè)是容易落入俗套，另外就是如果沒(méi)有深入研究的話，不容易闡述得清晰透徹，給人言之無(wú)物的感覺(jué)，不如選小一點(diǎn)的課題深入地說(shuō)明，這樣效果會(huì)更好。數(shù)學(xué)研究作為一項(xiàng)基礎(chǔ)性研究，應(yīng)反映作者本人所提供的新的事實(shí)，新的方法，新的見(jiàn)解。論文選題不新穎，實(shí)驗(yàn)沒(méi)有新發(fā)現(xiàn)，即使有高超寫(xiě)作技巧，也不可能妙筆生花，寫(xiě)出新東西來(lái)吸引讀者[1]。因此，研究課題內(nèi)容切忌低水平重復(fù)，如受試對(duì)象，處理因素，觀測(cè)指標(biāo)，結(jié)果與前人雷同，這樣毫無(wú)新意的論文是很難發(fā)表的。課題選擇得太難可能做不出來(lái)，選得太小太簡(jiǎn)單，學(xué)術(shù)價(jià)值不大或達(dá)不到發(fā)表的要求。因此，所選課題要合適，這樣才可以通過(guò)不懈努力在一段時(shí)間內(nèi)獲得有價(jià)值的新成果。對(duì)于你所選擇的課題你要有自己獨(dú)特的見(jiàn)解，與眾不同的見(jiàn)解是你論文的核心和亮點(diǎn)，如果沒(méi)有這些那么這篇論文的質(zhì)量無(wú)疑是值得質(zhì)疑的，很難引起讀者的注意和評(píng)審的好感。總的來(lái)說(shuō)選題應(yīng)立足于：（1）創(chuàng)新性，即選題應(yīng)是國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有人研究過(guò)或是沒(méi)有充分研究過(guò)的問(wèn)題。(2)科學(xué)性，即選題應(yīng)有最基本的科學(xué)事實(shí)作依據(jù)。(3)可行性，即選題應(yīng)充分考慮從事研究的主客觀條件，研究方案切實(shí)可行。

二 論文寫(xiě)作

數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作已形成一種相對(duì)固定的論文格式，大體上由題目，一般不超過(guò)20字；摘要(應(yīng)用的方法，得到的結(jié)果，具有意義等)；索引關(guān)鍵詞；引言；研究方法，討論，結(jié)果等部分組成。這種規(guī)范化的結(jié)構(gòu)程序有利于數(shù)學(xué)成果的宣傳和推廣。一篇數(shù)學(xué)論文就是一個(gè)創(chuàng)作。在論文成稿之前，最初的工作是確定研究標(biāo)題，以及如何解決問(wèn)題，這是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的范疇。那么在問(wèn)題解決之后如何精確呈現(xiàn)研究成果，做到清晰并正確地?cái)⑹鲅芯砍晒@是論文寫(xiě)作問(wèn)題。寫(xiě)好數(shù)學(xué)論文基本是首先作者要思路清晰，對(duì)自己的研究課題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和它的意義，有清楚的了解。下面談?wù)剶?shù)學(xué)論文的題目、摘要和關(guān)鍵詞；論文正文和參考文獻(xiàn)這三部分寫(xiě)作的一些基本要領(lǐng)和技巧。

（一） 題目、摘要和關(guān)鍵詞

題目就是一篇文章的標(biāo)題，是文章最重要的一句話，它須簡(jiǎn)要地表達(dá)出文章的內(nèi)容。一個(gè)新穎的題目可以給人耳目一新的感覺(jué)，而且容易給讀者留下深刻的印象，因此在題目的選擇和設(shè)定上要多花些心思。總的來(lái)說(shuō)，論文題目須抓住整篇論文的精髓，不能過(guò)度推廣，也不能太狹隘，盡量準(zhǔn)確地反映出論文的研究主題。另外要設(shè)想別人透過(guò)網(wǎng)絡(luò)查詢論文題目時(shí)，可以在你的題目里找到關(guān)鍵字。其次，題目盡量做到簡(jiǎn)潔，其長(zhǎng)短要適中，用詞要簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確。當(dāng)然，也要避免過(guò)分籠統(tǒng)或嘩眾取寵的所謂簡(jiǎn)潔，缺乏可檢索性，以至于名實(shí)不符或無(wú)法反映出每篇文章應(yīng)有的特色。

摘要相當(dāng)于論文的簡(jiǎn)本，濃縮了論文最重要的部分，能讓審稿人和讀者在不讀全文的情況下了解作者的科研成果，來(lái)判斷是否有必要閱讀全文。因此，摘要要反映出論文的主要內(nèi)容，包括課題背景，要解決的問(wèn)題和主要結(jié)論。一篇論文的摘要書(shū)寫(xiě)須包含對(duì)論文的主要結(jié)果與方法準(zhǔn)確的概述，也要包括對(duì)研究結(jié)果意義等進(jìn)行簡(jiǎn)要描述。摘要應(yīng)該以直接客觀的文字?jǐn)⑹鰹橹鳎M量避免出現(xiàn)復(fù)雜的公式以及敏感的注釋和評(píng)論。此外，摘要一般不必要寫(xiě)太長(zhǎng)，控制在100-200詞為宜，力求簡(jiǎn)潔明了，言簡(jiǎn)意賅。

關(guān)鍵詞是表征論文信息的詞匯。對(duì)于日后閱讀你的論文的讀者，大部分是具有明確的目的性，如為了跟蹤研究領(lǐng)域科研動(dòng)向，或者為了查新，或?yàn)榱藢ふ易约核璧难芯糠椒ê统晒Ｒ虼藶榱吮阌谧x者從浩如煙海的書(shū)刊中尋找文獻(xiàn)，特別是適應(yīng)計(jì)算機(jī)自動(dòng)檢索的需要，應(yīng)在書(shū)寫(xiě)摘要后給出3-5個(gè)關(guān)鍵詞。關(guān)鍵詞一般選能反映文獻(xiàn)特征內(nèi)容，通用性比較強(qiáng)的關(guān)鍵詞。

（二） 正文

論文正文是整篇論文的主體，這部分主要陳述論文的研究背景、研究動(dòng)機(jī)，研究結(jié)果及其證明。論文的主體框架通常由引言介紹，預(yù)備知識(shí)，主要結(jié)果證明，討論總結(jié)構(gòu)成。

1.引言。前言的目的是向讀者說(shuō)明本研究的龍去脈，吸引讀者對(duì)本篇論產(chǎn)生興趣。 在寫(xiě)前言之前首先應(yīng)明確幾個(gè)基本問(wèn)題：你想通過(guò)引言說(shuō)明什么問(wèn)題？有哪些新的發(fā)現(xiàn)，是否有學(xué)術(shù)價(jià)值？一般讀者讀了前言以后，可清楚地知道作者為什么選擇該題目進(jìn)行研究。 因此，引言的寫(xiě)作非常關(guān)鍵，需要介紹整個(gè)研究的背景，讓讀者有興趣繼續(xù)閱讀下去，做到給讀者一個(gè)印象：這是一篇有趣、有意義和有新意的論文。引言應(yīng)該包括以下幾個(gè)方面：①簡(jiǎn)潔地陳述論文的研究背景、研究動(dòng)機(jī)，以及研究課題的重要性，即其理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義；②介紹有關(guān)的歷史背景、研究進(jìn)展和現(xiàn)狀，包括研究現(xiàn)狀，即別人已經(jīng)研究到怎樣的地步，相關(guān)研究已經(jīng)解決了哪些問(wèn)題，有哪些已知方法和結(jié)果，從而加以評(píng)析，并引出你將要研究的問(wèn)題。③描述論文所獲得的主要結(jié)果，并陳述這些結(jié)果是通過(guò)利用或發(fā)展什么方法用到的，進(jìn)一步以及所得主要結(jié)果的價(jià)值和用途； ④簡(jiǎn)述論文內(nèi)容安排和中心思想，即每一節(jié)要研究和解決什么問(wèn)題，解決這些問(wèn)題需要用到什么思想方法。此外，引言必須要有自己的觀點(diǎn)，要對(duì)現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行評(píng)析，從而突出自己研究課題的必要性。

2.預(yù)備知識(shí)。預(yù)備知識(shí)主要敘述一些在主要結(jié)果證明用到的定義、命題、引理等。預(yù)備知識(shí)的大概由兩部分內(nèi)容構(gòu)成：一部分內(nèi)容是參考了前人公開(kāi)發(fā)表的結(jié)果，通常以引理或定理的形式直接給出，省略詳細(xì)證明（有時(shí)為了理論的系統(tǒng)性，也可以給出證明，或者給出一個(gè)新的證明）。對(duì)這部分內(nèi)容需要注意的是，對(duì)所引用的每個(gè)結(jié)果（引理、定理或定義等）都應(yīng)該注明出處。另一部分內(nèi)容是建立若干新的結(jié)論，一般是以引理或命題的形式寫(xiě)出來(lái)，并給出詳細(xì)證明。在列出主要結(jié)果之前，先羅列或證明一些引理，這樣便于后面引用，顯得依據(jù)充分，條理清楚，其中個(gè)別引理還可能將來(lái)在他文中用到。

3.主要結(jié)果與證明。主要結(jié)果及其證明部分是整個(gè)論文最核心的部分。是體現(xiàn)當(dāng)前研究新穎性和重要意義的地方，從中應(yīng)能體現(xiàn)論文對(duì)當(dāng)前研究領(lǐng)域的貢獻(xiàn)。因此在寫(xiě)作伊始，就應(yīng)該盡可能清楚地知道如何呈現(xiàn)你的研究成果。數(shù)學(xué)是一門(mén)以邏輯推理為主的學(xué)科，因此對(duì)結(jié)果的論述要有很好的系統(tǒng)性，從前到后一步步進(jìn)行推理，每一步都有依有據(jù)，這樣的論文即使在文采方面并不出眾，也是容易因其邏輯性和系統(tǒng)性而成為一篇好的論文的。因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)以邏輯推理為主的學(xué)科，因此文章的論述要有很好的系統(tǒng)性，從前到后一步步進(jìn)行推理，這樣的論文即使在文采方面并不出眾，也是容易因其邏輯性和系統(tǒng)性而成為一篇好的論文的。除了結(jié)果的呈現(xiàn)外，應(yīng)進(jìn)行分析證明，說(shuō)清楚研究結(jié)果和既有理論的關(guān)系。通常主要結(jié)果應(yīng)該以定理的形式出現(xiàn)，其證明一般是給出定理之后就給出，也有論文的個(gè)別定理的證明放在定理之前或放在論文末尾作為補(bǔ)充給出。一篇論文的主要結(jié)果可以以一個(gè)定理給出，也可以分多個(gè)定理給出。在證明定理結(jié)論時(shí)，務(wù)必要做到思路清晰，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)。如果有必要，數(shù)學(xué)論文中對(duì)于自己要闡述的問(wèn)題可以通過(guò)插圖、列表展示，但務(wù)必求排版合理。在敘述定理的證明時(shí)，要講清楚每一步的根據(jù)是什么，是定義，還是公理和定理，決不能含糊，更不能想當(dāng)然[3-4]。論文成稿之后還需要按照三個(gè)基本原則①結(jié)構(gòu)合理、條理清楚；②推導(dǎo)無(wú)誤、論證嚴(yán)密；③敘述嚴(yán)謹(jǐn)、語(yǔ)句通順，進(jìn)行反復(fù)修改。事實(shí)上，人的認(rèn)識(shí)不是一次完成的，很難一次就達(dá)到完善恰當(dāng)?shù)某潭取Ｗ屑?xì)檢查，反復(fù)修改，總會(huì)發(fā)現(xiàn)還有不恰當(dāng)、不完善之處，大致問(wèn)題是否提得鮮明中肯，論點(diǎn)和事例有無(wú)說(shuō)服力，結(jié)構(gòu)層次是否嚴(yán)謹(jǐn)，小至文字的修飾加工，有無(wú)廢話，語(yǔ)言是否準(zhǔn)確、鮮明、生動(dòng)等等。經(jīng)過(guò)檢查，總會(huì)發(fā)現(xiàn)尚需修改的地方，發(fā)現(xiàn)很多在提綱中看不出的毛病和原先估計(jì)不到的問(wèn)題。因此，寫(xiě)成初稿后反復(fù)審查和修改，是十分必要的。做到每一部分內(nèi)容都層次清晰、條理清楚、表述準(zhǔn)確、語(yǔ)義連貫、銜接自然。文章涉及的公式的編排要整齊美觀，其中出現(xiàn)的較復(fù)雜的表達(dá)式可以引入新的記號(hào)來(lái)代替，從而簡(jiǎn)化式子。此外， 段落之間的安排、語(yǔ)句邏輯順序以及標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的使用等都要仔細(xì)琢磨檢查。每一步的推導(dǎo)都要反復(fù)檢查驗(yàn)算，直至確信正確無(wú)誤[5-6]。

4.討論總結(jié)。在主要結(jié)果與證明之后，可以對(duì)論文的研究?jī)?nèi)容及結(jié)果進(jìn)行一個(gè)討論總結(jié)。討論部分將進(jìn)一步向讀者展示論文研究的創(chuàng)新性和意義。需要指出的是，討論總結(jié)不是科技論文的必要組成部分。其主要是回答“研究出什么”它應(yīng)該以正文獲得的結(jié)果、數(shù)據(jù)和闡述分析作為依據(jù)，討論所獲得的結(jié)果對(duì)課題研究的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和意義，當(dāng)然也要說(shuō)明結(jié)論的局限性。要注意，總結(jié)并不是把論文各章節(jié)中的結(jié)果又重復(fù)說(shuō)一遍，而是將論文的研究結(jié)果再進(jìn)一步理論化。可以強(qiáng)調(diào)說(shuō)明研究結(jié)果的建立的主要依據(jù)是什么，用的關(guān)鍵技術(shù)條件是什么，當(dāng)這些條件放寬時(shí)，這些結(jié)果是否還成立。也可以討論當(dāng)前的研究課題做完了，進(jìn)一步規(guī)劃未來(lái)研究的方向和意義是什么。一般來(lái)說(shuō)，討論總結(jié)包含：一是由研究對(duì)象進(jìn)行考察或?qū)嶒?yàn)得到的結(jié)果所揭示的原理及其普遍性；二是研究中有無(wú)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前研究的局限性或本論文尚未解釋和解決的問(wèn)題；三是與其他研究結(jié)果的異同；四是本論文在理論上與應(yīng)用上的意義與價(jià)值；五是對(duì)進(jìn)一步深入研究本課題的展望和建議。

三 參考文獻(xiàn)

論文最后就是附上研究相關(guān)的文獻(xiàn)。參考文獻(xiàn)的表明除了要按照規(guī)定的格式之外，還要注意其嚴(yán)謹(jǐn)性，不要出現(xiàn)錯(cuò)誤，報(bào)刊雜志等參考文獻(xiàn)要詳細(xì)到哪一期，甚至要求標(biāo)注哪一頁(yè)，這些都要實(shí)事求是地標(biāo)注，這是做學(xué)問(wèn)起碼的要求和素質(zhì)。參考文獻(xiàn)的用意在于當(dāng)讀者對(duì)于作者引用的文獻(xiàn)有興趣的時(shí)候，可以據(jù)以找到全文來(lái)閱讀，以了解此引文的脈絡(luò)。要注意的是所列的參考文獻(xiàn)務(wù)必與你的研究論文有關(guān)系，比如，你引用了某文獻(xiàn)的結(jié)論，你推廣了某文獻(xiàn)的結(jié)果，你的研究思想源自某文獻(xiàn)等等。確保所列的參考文獻(xiàn)在正文都有引用，與正文中所引用的文獻(xiàn)準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)，做到每一個(gè)正文引用的文獻(xiàn)都可以在參考書(shū)目中找到，同時(shí)每一條參考書(shū)目也都對(duì)應(yīng)到正文中引用的文獻(xiàn)。參考書(shū)目的標(biāo)注格式，一般應(yīng)遵循所投雜志的要求。