艦船備件利用率的概率模型及適用性分析*

翟亞利 張志華 邵松世

（1.海軍工程大學基礎部 武漢 430033）（2.海軍工程大學艦船與海洋學院 武漢 430033）

1 引言

備件是艦船裝備維修保障的重要物質資源，為實現備件的精確化保障，一方面需要準確掌握備件需求規律，科學配置隨艦備件和周轉備件，以提高備件保障的滿足程度；另一方面需要有效控制備件配置規模，有效降低艦船裝備維修保障成本。因此，在艦船裝備備件保障過程中，以備件利用率作為精確化保障的重要度量指標，通過有效評估備件利用率，可以優化備件的種類和數量，對提高裝備維修保障效益具有重要意義。

近年來，備件保障能力評估［1～2］與備件配置優化［3～4］作為備件保障研究的重要內容，受到人們的極大重視，取得了大量研究成果［5～6］。尤其是在備件保障能力度量方面，針對備件保障的計劃制定、籌措、儲備和供應等不同保障環節建立起了備件保障能力度量指標體系，如常用的使用可用度［7～8］，備件保障概率［9～10］、備件滿足率［11］、備件利用率［12］等；同時針對不同備件所能夠收集到的信息特點，學者們給出相應的備件保障指標評估方法，并在備件配置優化等方面進行了有益的探討［8，11］。在備件保障指標的眾多研究中，人們對備件保障概率等度量指標關注較多，對備件利用率的研究較少，能夠收集到的文獻也很少［12～15］。目前，在對備件利用率的理論研究方面，主要是定性分析備件利用率的影響因素，而較少涉及研究備件利用率與其他備件保障指標（如備件滿足率、備件保障概率等）之間的數學關系。如文獻［12］給出備件利用率的積分計算公式，并結合實例分析了備件利用率與備件滿足率之間的數量關系及變化趨勢，但并沒有給出方便工程使用的數學模型。文獻［13］基于工程實際給出了備件利用率的估算方法，但該估算結果和仿真結果之間存在較大誤差。文獻［14］利用單項法和系統法分析了備件利用率的影響因素，指出了提高備件利用率的相關措施建議。文獻［15］通過分析備件故障后的修復運轉過程，將可修復備件處于完好狀態與修復狀態的時間占比作為利用率，建立了可修復備件的利用率預計模型，用于維修站點的設計與優化。總體上來看，目前還沒有建立備件利用率與備件保障概率之間的數學關系。因此，有必要對艦船裝備備件利用率進行分析，深入探討備件利用率與備件保障概率之間的關系，這對艦船備件配置優化具有重要指導意義。

本文在備件壽命服從指數分布的假設下，對艦船裝備備件利用率的概率模型及其工程估計方法進行研究。首先，依據備件利用率的統計定義，建立了備件利用率的概率模型，該模型在備件配置數量給定的條件下，給出了備件利用率與備件保障概率之間的定量關系；其次，分析了備件利用率的性質及其變化規律，從理論上解釋了艦船裝備隨艦備件利用率不高的原因，研究了艦船備件利用率的適用性及其工程意義；進而，給出了基于備件保障概率的利用率工程估計方法，通過數值計算的方法分析了工程估計方法的近似精度，為工程使用提供依據；最后，通過實例分析說明工程估計方法的應用場景及工程意義。

2 備件利用率的概率模型及性質

2.1 備件利用率概率模型

由國軍標GJB1909A-2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》可知，備件利用率就是在規定的級別上和規定時間內，實際使用的備件數與該級別實際擁有的備件數之比。設艦船備件均為不可修件，其壽命服從故障率為λ的指數分布。當該艦船備件配置有m(≥1)個時，在規定保障任務時間T內的備件利用率Y為

其中X為保障任務時間T內實際需要的備件數，即備件的實際需求個數。這里假定m≥1，這是因為當m=0表示不配置備件，此時并不需要研究備件的利用率。

顯然，式（1）是從統計的角度給出的備件利用率定義，適合于裝備維修保障活動的統計分析工作。但在實際艦船備件供應保障規劃和隨艦攜行配置方案制定時，由于此時備件保障活動尚未實施，給備件供應保障規劃或隨艦攜行方案制定帶來很大不便。

結論1：假設備件壽命服從故障率為λ的指數分布，在保障任務時間T內配置m個備件，則在保障任務時間T內備件利用率Y的數學期望L(m ，T)為

證明：由于備件壽命服從參數為λ的指數分布，因此，其在保障任務時間T內的故障次數X服從Poisson分布，即

由此可得式（1）的數學期望為

結論1表明，備件利用率的大小由備件平均故障數（λT）和備件配置數量m共同決定。其中平均故障數實際上是備件在保障任務時間內的故障次數的數學期望，即備件的故障率與工作強度的乘積 λT 。

2.2 備件利用率的性質

結論2：在給定備件配置數量m(m≥1)的情況下，備件利用率L(m，T)是平均故障數 λT的增函數。在固定平均故障數λT的情況下，備件利用率L(m，T)是備件配置數量的減函數，即

首先證明在給定備件配置數量m(m≥1)的情況下備件利用率是平均故障數的增函數。事實上，由于，則式（2）可改寫為如下形式：

式（6）對 λT 求導，得到：

由此可見，在給定備件配置數量m(m≥1)的情況下備件利用率L(m，T)是平均故障數的增函數。

對于不等式（5），由于

即，在固定平均故障數λT的情況下，備件利用率L(m，T)是備件配置數量的減函數。

需要說明的是，利用式（7）還可以得到備件利用率的積分表達式：

該表達式正是文獻［12］給出的結論。

3 備件利用率的工程分析

利用備件利用率的概率模型及其性質，可以方便地分析備件利用率的取值范圍，并用于分析備件利用率的工程意義及其適用范圍。

3.1 備件利用率的上限及工程意義

結論3：在給定備件配置數量m時，其備件利用率L(m，T)滿足如下不等式：

進一步，為方便估計備件利用率，上述不等式可簡化為

事實上，由于備件保障概率 P(m-1，T)＜P(m，T)，由式（2）可方便得到不等式（9）。對于不等式（10），考察式（6），取該式右邊的前三項得到不等式（10）。顯然，在備件的平均故障數給定的條件下，利用不等式（10）可方便地估計出備件利用率的上限。

結論3表示的工程意義是：在給定的保障任務時間內，當保障對象的平均故障數λT較小時，其對應的備件利用率也較小（如表1所示）。

表1 不同備件配置數與不同平均故障數下對應的備件利用率上限值

利用結論3可以較好地解釋隨艦備件利用率低下的原因。對于隨艦備件而言，根據裝備可靠性的相關統計結果［17］來看，在大多數裝備所配備的備件中，半數以上備件在一年內的平均故障數λT小于0.1，因此，對于半數以上裝備的隨艦備件而言，其備件利用率將低于9.52%。這說明目前隨艦備件利用率統計結果偏低的現象不是偶然現象。隨著裝備可靠性水平的不斷提高，其隨艦備件利用率將會越來越低。

通過上述分析可以看出，在制定隨艦備件配置方案時，應優先配置對裝備戰備完好性有較大影響的備件，在有多個隨艦配置方案的情況下，備件利用率可作為輔助指標用來比較不同方案的優劣。

3.2 備件利用率的下限及其工程意義

由式（5）可知，在給定備件平均故障數 λT的情況下，隨著備件數量的增加，備件利用率將隨之下降。即當備件數量為m時，L(m+1，T)是備件利用率L(m，T)的一個下限，同時有如下不等式：

上述結論表示的工程意義是：在給定的保障任務時間內，當保障對象的平均故障數λT較大時，其對應的備件利用率也應很大。

根據國軍標GJB4355-2002可知，當λT≥5時，對于給定的備件保障概率p，其對應的備件配置數為

其中up為標準正態分布的上分位數。此時，備件配置方案所對應的備件利用率應滿足如下不等式

不同保障概率與不同平均故障數下對應保障方案的利用率下限值見表2所示。

表2 不同保障概率與不同平均故障數下對應保障方案的利用率下限值

通過上述分析可知，當備件的平均故障數較大時，其對應備件配置方案的備件利用率也較大。如對于艦船備件倉庫而言，盡管其單個部件的平均故障數較小，但由于保障對象的數量較多，因此，備件的平均年度故障數很大，即周轉備件的消耗量很大，對應的周轉備件利用率將很大。在此情況下，周轉備件利用率不僅是考察庫存艦船周轉備件是否合理的重要指標，而且還可通過備件保障概率與利用率的綜合權衡，優化艦船周轉備件籌措方案，有效提高艦船備件保障效益。

4 備件利用率的工程估計方法

盡管備件利用率的概率模型（2）計算簡單，但由于涉及到不同備件數量情況下的備件保障概率，給工程使用帶來不便，為此，本節將給出備件利用率的工程估計方法。

4.1 備件利用率的工程估計

取備件利用率的上下限，即式（9）和式（11）的平均值接近備件利用率L( )m，T 。令

在工程實際使用過程中，可以使用保障概率要求 p近似實際保障概率P( )m，T 計算備件利用率，當備件平均故障數λT較大時，可以使用式（12）計算備件配置數，此時工程估計為

4.2 工程估計的數值分析

給定平均故障數和備件保障概率，由式（14）可以得到利用率的工程估計結果，選擇備件的平均故障數分別取5、7、9……等，備件保障概率分別選擇常見的0.7、0.8、0.85、0.9、0.95，具體數值計算結果見表3。在計算備件利用率的精確值和工程估計結果時，選擇的備件配置數量是由式（12）計算后向上取整，誤差數值為利用率精確值與工程估計值數值差的絕對值。

表3 平均故障數大于5時備件利用率的工程估計及其誤差

從表3計算結果可以看出，備件利用率的工程估計的誤差較小，精度較高，適用于實際備件保障活動的需要，尤其在常見的備件保障概率0.8、0.9時，其誤差均不大于0.029，這說明工程估計方法具有較高精度。

利用備件利用率的工程估計式（14），可以容易分析備件的保障概率、利用率和平均故障數之間的相互關系。在給定備件保障概率要求p的情況下，對于不同的平均故障數λT，當備件平均故障數λT＜5時，由式（2）計算備件利用率，當備件平均故障數λT≥5時，由式（14）計算備件利用率。

5 應用分析

設某通用件的MTBF為50000h，裝機數為42個，年度工作強度為6500h，因此，該通用件在1年、2年和3年的平均故障數分別為5.46、10.92、16.38。在給定不同保障概率的情況下，其對應的備件配置數量，以及該配置方案所對應的實際備件保障概率和利用率如表4所示，其中配置數為式（12）向上取整得到，利用率由式（14）計算得到，在配置數量相同的條件下取利用率的最大值。

表4 備件保障概率與利用率之間的均衡分析

在規劃備件供應保障時，應在確保備件保障概率不低于一定程度的基礎上，使得備件配置達到的保障概率要求與利用率的乘積達到最大。按此原則，可以初步確定該通用件的配置方案為1年的配置數為8；2年的配置數為14；3年的配置數為20。此時備件配置方案的保障概率在0.8左右波動，利用率在0.71～0.84之間波動。

6 結語

本文在備件壽命服從指數分布的假設下，對艦船裝備備件利用率的概率模型及其工程估計方法進行研究。首先，從備件利用率的統計定義出發，建立了備件利用率的概率模型，給出了備件利用率與備件保障概率之間的定量關系；其次，對備件利用率的變化規律進行分析，由備件利用率變化上限揭示出隨艦備件利用率低這一事實，由備件利用率變化下限得出平均故障數較大時備件利用率也會較大的結論；進而，將備件利用率與備件保障概率相聯系，給出利用率的工程估計方法，通過數值計算的方法分析了工程估計方法的近似精度，為工程使用提供依據；最后，通過實例分析說明工程估計方法的應用場景及工程意義。