二維蜂窩五模材料的能帶特性與品質(zhì)因子分析*

巫繼航 韓邦熠

（海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院 武漢 430030）

1 引言

五模超材料是一種退化的固體彈性介質(zhì)，由美國猶他大學(xué)的Milton與Cherkaev［1］最早提出。傳統(tǒng)固體材料的彈性矩陣對(duì)應(yīng)有6個(gè)特征值和相應(yīng)的6個(gè)特征向量，分別對(duì)應(yīng)材料的每一種形變模態(tài)。如果某個(gè)特征值表達(dá)為零，則這個(gè)模式下的應(yīng)力將使材料發(fā)生類似液體的流動(dòng)。五模材料就是一種僅保留一個(gè)非零特征值的特殊固體材料，它包含5個(gè)易變形模態(tài)，只能承受與非零特征值對(duì)應(yīng)的特征應(yīng)力成比例的應(yīng)力模式，從而解除了剪切與形變的耦合，呈現(xiàn)出“固體水”的特性。通過微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，五模材料的模量與密度可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行調(diào)節(jié)，在艦艇的聲吶透聲窗與吸聲隔振器件的選材具有長足的應(yīng)用前景。

2008 年，Norris［2］率先將變換聲學(xué)理論引入超材料的概念，提出了借助模量與密度各向異性材料實(shí)現(xiàn)聲波調(diào)控的構(gòu)想。Kadic［3～5］設(shè)計(jì)并制作了經(jīng)典雙錐構(gòu)型的三維五模結(jié)構(gòu)，并對(duì)其彈性模量進(jìn)行了測(cè)定。Layman［6］等對(duì)雙錐構(gòu)型的幾何參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在細(xì)桿連接處增加球型配重以提升結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，同時(shí)設(shè)定傾斜角，以期定制地產(chǎn)生各向異性。Schuittny［7］等在此基礎(chǔ)上利用侵入式激光微刻技術(shù)制備了小尺寸三維雙錐型五模結(jié)構(gòu)，并分析了連結(jié)直徑和晶格常數(shù)的組合，指出滿足聲學(xué)性能的最佳設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)體積模量與剪切模量之比應(yīng)為1000以上。在綜合考慮三維結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與加工難度等缺陷之后，Hladky-Hennion［8］等設(shè)計(jì)了金屬基的二維蜂窩狀五模結(jié)構(gòu)，其宏觀等效密度、體積模量與水十分近似。Cai［9］等研究了附加星形配重的蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，Chen［10］等對(duì)二維五模材料進(jìn)行了理論分析，提出了基于二維結(jié)構(gòu)的聲隱身斗篷。Zhao［11］等采用電火花慢速線切割工藝制備了鋁基二維五模結(jié)構(gòu)塊體，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型與水具有良好的聲學(xué)匹配性。

上述研究表明，二維蜂窩狀五模材料具有機(jī)械性能好、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)。然而，現(xiàn)有的二維結(jié)構(gòu)大多基于均質(zhì)蜂窩構(gòu)型［12～14］，通過改變薄壁結(jié)構(gòu)的邊長、厚度以及配重大小來模擬近似流體的模量和密度，對(duì)于周期結(jié)構(gòu)固有的各向異性研究還較少。本文基于有限元仿真方法，針對(duì)現(xiàn)有的二維蜂窩狀均質(zhì)五模材料進(jìn)行非對(duì)稱性設(shè)計(jì)，分析各向異性對(duì)其能帶特性與品質(zhì)因子的影響，考察各向異性對(duì)于五模材料聲學(xué)性能的優(yōu)化效果。

2 二維蜂窩狀五模材料的各向異性設(shè)計(jì)

理想五模材料要求其體積模量B與剪切模量G之比盡可能的大，從而表現(xiàn)出類似流體的耐壓縮、易變形的特征，現(xiàn)引入無量綱數(shù)品質(zhì)因子I定義二者的比值，以此作為五模材料聲學(xué)性能的考量。目前主流的二維均質(zhì)蜂窩五模材料的單胞結(jié)構(gòu)如圖1所示，由六邊形薄壁框架附加圓形配重構(gòu)成，前者實(shí)現(xiàn)較大的品質(zhì)因子，后者提供與水近似的等效密度。

圖1 二維均質(zhì)蜂窩五模材料單胞結(jié)構(gòu)

六邊形蜂窩單胞的晶格常數(shù)為a，薄壁厚度與圓配重半徑分別為t和r。為了使胞元能在x，y方向自由平移得到周期性結(jié)構(gòu)，取圖2（a）所示的框架結(jié)構(gòu)作為基本平移單元，包括兩個(gè)中心配重、四個(gè)半圓配重、一個(gè)中心薄壁、四個(gè)對(duì)角線薄壁以及四個(gè)半高半寬的邊界薄壁。在此基礎(chǔ)上，以兩個(gè)中心配重P1、P2的位移和變形來構(gòu)造二維各向異性的五模結(jié)構(gòu)，本文采用以下三種較為直觀的構(gòu)造方式：1）令兩個(gè)配重在y軸相對(duì)位移；2）令兩個(gè)配重在x軸相對(duì)位移；3）等比例縮放兩個(gè)配重的大小（假設(shè)對(duì)總密度不產(chǎn)生影響），分別記作模型α、模型β、模型γ，設(shè)計(jì)的原則是在不影響單胞的等效密度與框架基本構(gòu)型的基礎(chǔ)上，改變周期性排列使之產(chǎn)生各向異性，三種構(gòu)造方式所對(duì)應(yīng)的二維結(jié)構(gòu)如圖2（b）～（d）所示。

圖2 基于二維均質(zhì)結(jié)構(gòu)的三種各向異性構(gòu)建方式示意圖

3 能帶結(jié)構(gòu)與品質(zhì)因子

3.1 均質(zhì)結(jié)構(gòu)的等效模量和品質(zhì)因子

研究五模超材料的聲學(xué)性能一般通過分析其周期結(jié)構(gòu)的頻散曲線實(shí)現(xiàn)，不同振型對(duì)應(yīng)的頻散曲線繪制成的圖譜被稱為能帶結(jié)構(gòu)（Band structure）。以圖1的二維均質(zhì)蜂窩狀五模結(jié)構(gòu)為例，基材選取鈦鋁合金Ti-6Al-4V，其材料參數(shù)為密度ρ=4.40×103kg/m3，泊 松 比 ν=0.34，楊 氏 模 量 E=110GPa，Cl=6.10×103m/s，Ct=2.96×103m/s，其中，Cl表示材料的縱波波速，Ct表示材料的橫波波速。蜂窩單胞的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a=0.01m，t=1.54×10-3m，r=2.94×10-3m。借助有限元仿真軟件Comsol Multiphysics對(duì)其胞元附加布洛赫邊界條件，并利用小波矢對(duì)不可約布里淵區(qū)進(jìn)行掃掠，得到能帶結(jié)構(gòu)如圖3所示。

橫坐標(biāo)為不可約布里淵區(qū)的邊界，縱坐標(biāo)為不同模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征頻率，波矢量k取水平方向a/20。圖3中灰色區(qū)域內(nèi)，單胞只傳遞與波矢方向同向的模態(tài)，即只傳輸壓縮波，抑制剪切波對(duì)振型的影響，因此被稱為單模頻帶。其下邊界（fl）與上邊界（fu）的頻率分別為18.43kHz與47.74kHz，記上下邊界頻率的差值與其平均值之比為頻帶的相對(duì)帶寬，則單模頻帶的相對(duì)帶寬為0.89。在這個(gè)頻段內(nèi)，由于固體結(jié)構(gòu)激勵(lì)的剪切波干擾被消除，五模材料表現(xiàn)出良好的水聲匹配性，可用于聲吶透聲窗以及超聲透鏡等器件的選材設(shè)計(jì)。圖3中黑色區(qū)域內(nèi)沒有任何特征頻率表達(dá)，即壓縮波和剪切波均被抑制，聲波無法從結(jié)構(gòu)中傳出，因此被稱為聲子禁帶（phononic forbidden band），該區(qū)域下邊界與上邊界的頻率分別為67.93kHz與91.92kHz，相對(duì)帶寬為0.30。在聲子禁帶頻段內(nèi)，理論上所有聲波都無法通過，因而可以為吸聲器材和聲學(xué)屏蔽等領(lǐng)域提供參考。

圖3 波矢掃掠蜂窩單元的頻散曲線及頻帶示意

此外，能帶結(jié)構(gòu)還可以反映出五模材料中不同類型波傳播的相速度，以頻散曲線中經(jīng)過原點(diǎn)Γ解耦后的純橫波與純縱波為例，其在五模材料中傳播的相速度可由原點(diǎn)附近頻散曲線的斜率計(jì)算得到。將之引入彈性動(dòng)力學(xué)方程，即可得到結(jié)構(gòu)的等效模量。對(duì)于五模材料，因?yàn)槔瓑号c剪切的解耦，傳統(tǒng)的彈性張量可退化為3×3的彈性矩陣：

考慮到二維五模材料周期性的特點(diǎn)，可以通過單個(gè)聲子晶體單胞的能帶結(jié)構(gòu)分析其模量，由于單胞不具有實(shí)際的宏觀彈性模量，故將上述矩陣以等效參數(shù)進(jìn)行描述［15］：

其中，等效模量參數(shù)與相應(yīng)方向相速度的關(guān)系為［16］

式中CLx，CLy，CTx即為彈性波波矢在二維五模超材料中激勵(lì)的x，y方向縱波波速以及橫波波速，除主軸方向外，還有正剪應(yīng)變耦合產(chǎn)生的xy斜向極化波CqL，CqT，在本文的主要模量計(jì)算中暫不作考慮。ρeff為五模聲子晶體單胞的等效密度，可以通過單胞質(zhì)量對(duì)六邊形范圍求平均值得到。據(jù)此可以計(jì)算出二維各向同性五模材料的等效模量，以該均質(zhì)蜂窩單胞為例，由式（3）可求得等效彈性模量，等效剪切模量0.03GPa。因此，圖2（a）中二維均質(zhì)蜂窩狀五模材料的品質(zhì)因數(shù)約為76。

3.2 各向異性構(gòu)型的數(shù)值仿真結(jié)果

在均質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究結(jié)果之上，討論上述三種各向異性構(gòu)造方法對(duì)頻帶寬度及品質(zhì)因子的影響。各向異性的引入使得布洛赫邊界相比于均質(zhì)結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)生改變，這是因?yàn)閱伟母叨葘?duì)稱模式失效，波矢掃掠的不可約布里淵區(qū)將從1/12的正六邊形區(qū)域變?yōu)檎麄€(gè)單胞空間。三種構(gòu)型的聲子禁帶、單模帶隙與品質(zhì)因子隨各向異性程度的變化情況如圖4～7所示。

圖4 模型α的單模頻帶與聲子禁帶

圖5 模型β的單模頻帶與聲子禁帶

圖6 模型γ的單模頻帶與聲子禁帶

圖7 三種各向異性構(gòu)造方法對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)品質(zhì)因子的影響

在模型α中，隨著P點(diǎn)在縱向的位移，單模頻帶下界逐步降低，在ΔPY/a=0.15時(shí)達(dá)到最低值16.51kHz，隨后緩慢增加至17.91kHz。單模頻帶上界從47.31kHz增加至49.55kHz，相對(duì)帶寬在0.92～0.97之間變化，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)提升了約8.9%。第一聲子禁帶下界在ΔPY/a=0.1之后明顯降低，最低值達(dá)到58.34kHz，上界則在91.33 kHz～95.22kHz之間變化，相對(duì)帶寬在ΔPY/a=0.2時(shí)達(dá)到0.47，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)提升了56.7%。

在模型β中，隨著P點(diǎn)橫向位移，單模頻帶的下界有明顯降低的趨勢(shì)，從19.16kHz降低至15.5kHz，考慮到五模材料的縱向框架結(jié)構(gòu)被改變，抗剪性能被進(jìn)一步削減，橫波頻段隨著各向異性的增大而逐步壓縮。單模頻帶上界相較均質(zhì)結(jié)構(gòu)也有較大提升，在ΔPY/a=0.2時(shí)達(dá)到最高值53.05kHz。相對(duì)帶寬在0.88～1.08之間變化，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)提升了約21.3%。聲子禁帶相較于均質(zhì)結(jié)構(gòu)變化不大，下界與上界的最低與最高值分別為68.21kHz和90.12kHz，相對(duì)帶寬在0.26左右浮動(dòng)，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)降低了約13.3%。

在模型γ中，單模頻帶的上下界有明顯貼近的趨勢(shì)，在Δr/r=0.3時(shí)下界達(dá)到了27.97kHz，上界則降低至41.11kHz，單模頻帶被顯著壓縮。這可能是隨著圓配重半徑的增大，對(duì)蜂窩薄壁的加固影響顯著提升，五模材料的固體屬性被增強(qiáng)而近似液流體的屬性被削弱導(dǎo)致的。單模區(qū)域的相對(duì)帶寬從0.82降至0.38，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)降低了約57.3%，并且隨著配重半徑的各向異性變化，單模頻帶還會(huì)進(jìn)一步收窄。聲子禁帶的上下邊界均明顯提升，最高值分別達(dá)到了75.56kHz與95.92kHz，其相對(duì)帶寬在0.24～0.31之間變化，相對(duì)于均質(zhì)結(jié)構(gòu)基本持平。

三種各向異性構(gòu)造方法中，模型α對(duì)均質(zhì)蜂窩構(gòu)型的品質(zhì)因子影響較小，在ΔPY/a=0.25時(shí)達(dá)到接近100，此后逐漸減小；模型γ由于配重半徑的增加顯著加強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的抗剪性能，導(dǎo)致其等效剪切模量隨著各向異性的提升而增大，品質(zhì)因子始終低于均質(zhì)結(jié)構(gòu)；模型β則有效抑制了剪切波，在ΔPX/a=0.25時(shí)，品質(zhì)因子達(dá)到最大值261，相較于二維均質(zhì)蜂窩五模材料提升了3.43倍。

4 結(jié)語

本文針對(duì)二維蜂窩五模材料的各向異性進(jìn)行了調(diào)節(jié)，通過對(duì)基本周期單元內(nèi)配重的x、y軸平移、配重縮放，設(shè)計(jì)了三種各向異性構(gòu)型，并通過有限元仿真計(jì)算給出了不同構(gòu)型中能帶結(jié)構(gòu)特性、品質(zhì)因子與各向異性程度的關(guān)系。研究表明，與二維均質(zhì)蜂窩五模材料相比，各向異性結(jié)構(gòu)的單模頻帶與聲子禁帶的相對(duì)帶寬均得到顯著增加。同時(shí)，引入各向異性也可以提升二維五模材料的品質(zhì)因子，聲波調(diào)控的性能得到改善。但值得一提的是，由于結(jié)構(gòu)剪切模量的減小，其力學(xué)性能與宏觀穩(wěn)定性勢(shì)必受到影響。此外，由于單胞的對(duì)稱性改變，結(jié)構(gòu)加工難度增加，對(duì)制備工藝也提出了更高要求。因此，設(shè)計(jì)兼顧高品質(zhì)因子與一定的力學(xué)性能，滿足不同頻率條件下的聲波調(diào)控，同時(shí)具有良好可加工性的蜂窩結(jié)構(gòu)將是二維五模材料后續(xù)研究的重點(diǎn)內(nèi)容。