淺談初中數學總復習策略

趙佳棋

新授和復習雖然都是信息加工和認知形成的過程,但是兩者間有著本質的不同。新授是知識的首次接觸和初加工,但復習則是認知重構和知識脈絡的形成性活動。初中數學總復習具有重復性、綜合性和思想性三個特點。重復性是指所接觸的信息是重復的,沒有新知識的呈現,但是其中不乏新認識和新結構的生成。古語講:“溫故而知新。”復習是通過舊知識再現,完善已有的個人認知,克服細節遺忘,發現知識脈絡,發現新的解題方法,形成新的數學思想。綜合性是指復習中的思維過程非單一的知識復現,還包含新結構的生成和完善、舊能力的提升和促進等更為復雜的過程。思想性則是指通過復習可以形成更為成熟的數學思想方法,培養良好的數學思維習慣,形成以理性思維、批判質疑和勇于探索為基本內容的科學精神。

在初中數學總復習中普遍采用的策略有三種,他們分別是以知識系統的整理、遷移應用、結構抽象為中心的基礎復習;以數學方法的抽象、遷移應用為核心的專題復習;以數學思想抽象、目標導向、數學研究和問題解決教學為核心的問題解決復習。以下我們分別予以探討。

一、基礎復習法

基礎復習法,也可以稱為教材復習法,是教師普遍應用的復習方式。它主要以教材知識點回顧和各種題型操練為主要形式。這種復習雖然以教材為基礎,但是并非原來教學內容的重復,而是以篇章或單元為復習模塊。雖然對于細節知識依然十分重視,譬如概念的內容及形成過程、基本公式及變形、基本思維方法的運用與變通,但是以章、單元為基礎的復習,必然十分注重知識系統的抽象和完善,從而促進學生對于篇章、板塊的知識結構的總結和概括,形成整體思維,站在全局的角度去思考局部的細節問題,思路更廣,方法更多,這也有助于學生數學思想方法的形成和解放。

在整體結構構建任務完成后,還要謀求基本能力的提高和思想方法的運用,這需要大量的練習作為支撐。所以基礎復習也是大量操作性訓練和簡單的遷移性練習的過程。例如,在復習實數與運算這一章節時,在知識架構的呈現后,教師則要補充大量的相關練習,如選擇題、填空題、解答題等來鞏固和訓練學生對于此內容的理解。比如在一次函數與反比例函數的復習中,就可以給出一道選擇題。這道題幫助學生鞏固反比例函數的重要特征,是比較基礎的。

A.經過點(1,-1)

B. 在第二象限內,y隨x的增大而增大

C. 是軸對稱圖形,且對稱軸是y軸

D. 是中心對稱圖形,且對稱中心是坐標原點

以練為學是這個階段復習的一大特征。但練習的增加,也會加重學生的學習負擔。譬如簡單題目的大量操練,雖然會形成思維定勢,形成自動化能力,但是也容易讓學生對學習感到枯燥乏味,討厭學習。科學研究表明,重復的練習增加了大腦的血流量,也弱化了神經回路的連接,所以隨著練習次數的增加,后期效果卻往往是遞減的。面對陌生的題目,學生往往不知道從何處遷移應用,會增加思考的價值性;挑戰性的問題會激發學生的斗志,激發他們的創造性思維。在簡單操練的基礎上,也要增加一些新穎的、具有挑戰性的題目,因為應對新挑戰有助于大腦神經連接的形成,可以促進學生知識遷移和認知水平的提升。在復習中完善學生的認知重構,首先要在整體建構的基礎上,形成對知識、思想方法和活動經驗的全新理解,再通過適時的適當的練習實現鞏固和遷移,提升學生的問題分析和解決能力[1]。

依然是一次函數與反比例函數的復習,我們可以設計這樣的一道拔高題,以此來提升學生的數學思維高度和深度。

在平面直角坐標系xOy中,一次函數y=-的圖像分別交x軸、y軸與C、A兩點,將射線AM繞著點A順時針旋轉45°,得到射線AN。點D為AM上的動點,點B為AN上的動點,點C在∠MAN的內部。

(1)求線段AC的長:

(2)當AMx∥軸,且四邊形ABCD為梯形時,求△BCD的面積:

(3)求△BCD周長的最小值:

(4)當△BCD周長取得最小值,且BD=時,△BCD的面積為______。

二、專題復習法

數學專題復習法是指教師根據教學實際在單位時間內集中對于某個專題進行講解和訓練的方法。常見的有以下兩種方式:

第一種是總復習過程以教學內容砍塊而確立的專題。初中階段,根據數學教學內容,可以分為四大專題,分別為代數、幾何、統計學初步、函數。其中代數又可以分為整式、分解因式、不等式、方程四個專題。幾何可以分為三角形、四邊形兩大專題。統計學初步可以分為數據的收集和整理、公差和方差三個專題。函數又可以分為一次函數、二次函數、反比例函數和銳角三角函數。如果師生認為這些專題還是較大,還可以再細化為一些小專題,深入學習。比如方程專題還可以繼續分為一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組三個專題。三角形專題可以劃分為全等三角形和相似三角形兩個專題。四邊形專題還可以細化為平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形等專題。上述結構如果能通過思維導圖的形式呈現給學生,會給學生留下更加深刻的印象。這種知識專題結構因為和教材的編纂結構類似,所以在基礎復習中教師可以有意識調整教材安排,把教材復習和專題復習結合在一起。

第二種初中數學復習專題則是以學生能力項目分類來劃分的,如運算能力專題、抽象思維專題、創新意識培養專題、學習能力提升專題、數學思維訓練專題、邏輯推理能力培養專題、數據分析專題等。但上述專題并不一定都要開展,用時也不一定要平均分配,完全由學生的能力基礎來決定。比如根據學生數學計算能力弱而開設數字運算專題復習;根據學生應用題分析能力不強的實際情況,確立應用題解決復習專題;根據動點問題相對于學生較難的特點,開設動點專題復習;針對學生閱讀理解能力弱而開設閱讀理解能力專題;針對學生對圖形觀察能力弱而開設的圖標觀察專題等。

數學專題復習的設計可多可少,完全是根據學生的能力缺憾和知識疏漏而確立的。有人會說這是“頭痛醫頭腳疼醫腳”,不成系統,會造成學生思維混亂。但是這種復習方法適合于不同的學情,能較好地解決學生的缺憾,很好地解決因為一塊木板短小而不能讓水桶裝滿水的問題。

專題復習不僅要注意知識結構的構建,也要注重數學方法的抽象,數學思維的遷移應用。科學操作,可以很好地補充基礎復習,提升學生的數學素養。

三、問題解決復習法

數學問題解決復習是指針對學生數學學習中所遇到的典型問題而采取的有針對性的專項復習方式,即通俗意義上講的做題法。其重點是幫助學生積累數學做題經驗,培養學生的數學思維,形成學生的數學思想。學生的數學解題能力是在具體數學問題的解決中形成的,也只有在數學問題的實際解決中才能夠提升學生的分析問題能力、解決問題能力,學會靈活運用一般經驗解決相似問題。

當然教師所提供的或學生所選擇的數學問題往往都是一些難度較大、比較典型的問題。解決這些綜合性和復雜性的問題,能夠幫助學生形成嚴密的數學思想,培養良好的思維習慣,靈活應用這些思想方法和思維習慣到類似的問題解決中去。實踐表明,導致學生不能很好地解決數學問題的深層原因在于學生的數學思想沒能形成、數學思維不夠嚴密、數學問題解決習慣不夠良好,數學問題解決方法不足。要想解決上述問題,教師在教學中就要注意讓學生體會到問題解決的三個思維階段:

(一)定義階段。即通過數學問題的感知,定義該問題屬于哪個模塊的問題、哪種能力范疇的問題。要認真閱讀題目,確定題目的問題要求,明確自己要解決的問題。從目標問題出發,去感知問題中的目標和條件,并根據自己的理解畫出適當的圖示,用自己可理解的語言對問題中的邏輯關系做出清楚的表征。當然這些也可以不用展示在草稿紙上,而是緩存在自己的臨時記憶中,并在自己頭腦中已構建的知識系統中尋找與之對應的項目。

(二)編碼階段。即為問題的解決確定方式方法。根據上一步閱讀題干所獲取的目標問題信息,搜索相關的已提供信息,并搜索與此有關的知識系統或操作程序;重新編輯所需要的信息,利用自己記憶中形成的數學思想或數學思維模式,確立問題解決的工作流程。但是有些復雜問題很難簡單地確定采取哪些途徑解決,就需要解題者采用相應的轉換手段,把它轉換為多個簡單問題。比如轉換目標問題,把分式問題轉換為整式問題;把應用題轉換為幾何問題;把函數問題轉換為計算問題等。也可以轉換已知信息,把提供的半徑信息轉換為面積信息;把提供的長寬高信息轉換為體積信息;將提供的長度和時間信息轉換可以利用的速度信息。通過已知信息挖掘出隱含的信息,再根據這些信息確定將要使用的定理、公式或可能用到的方法,從而最終制訂問題的解決計劃。

(三)解決階段。也可以稱之為計算階段,根據編碼階段確定的解決思路,運用提供的各種信息,執行所需要的算術運算或推導。通過推理和計算,執行已確定的解題程序,由已知數據推導出未知的目標數據。在問題答案得出后,能夠把方法升華為自己解決問題的一種成熟策略,嘗試在以后的解題過程中遷移應用。答案放回到原題中去檢驗其正確性和合理性。能夠對問題解決過程做科學評估和總結。

數學問題的解決需要做題者要有充分的智慧積累。這些智慧積累通常表現在三方面,分別是知識體系、思維方法和做題經驗。做題者頭腦中要有簡約有序的知識體系。這個體系能夠很快地幫助做題者從中提取信息,或者把遇到的問題快速地放到相應的體系中去思考,減少做題的盲目性。知識體系的形成不僅要求老師要對知識進行系統歸納,也要求學生要有自我整理能力,隨時隨地把自己新接觸的知識放到自己原有的知識結構中,或者在原知識結構基礎上生成新的知識框架。思維導圖的制作是完善知識體系的一個重要方法,教師要教會學生運用并積極推廣這種學習方法。思維方法看似很抽象,但是卻真實存在于學生的思維深處。頭腦中有豐富數學思維方法的同學會很快地把復雜的問題簡單化,把模糊的問題清晰化,把未知的問題已知化,從而快速地確定問題解決方案并成功加以解決。優秀思維方法的形成需要學生認真聽課,學會教師所提供的科學思維方法;需要自己積極總結,形成自己良好的思維習慣;需要經常性地補充和完善自己的數學思想,使之能夠適應更大范圍的問題解決。

做題經驗是更為具體的思維方法,它需要學生在大量的做題、多角度的思考題目中逐漸形成。但是做題經驗又不是千篇一律的,有些做法對這個人適用,對另一個人卻不適用。做題也是有一般套路的,在沒有自己成型經驗可用的時候,學生可以借鑒老師、其他同學的經驗嘗試應用。適合則繼續嘗試并完善,不適合則放棄并嘗試新的經驗。從這個角度看,他人的經驗還是很重要的。在發現問題、提出問題、分析問題、解決問題等方面,教師總會提供一些一般性思考經驗。比如從已知到未知的解題思路、從未知到已知的解題思路、從已知和位置出發,謀求二者相逢的雙向解題思路,這些方法學生都應該嘗試,養成驗證的好習慣,證實所得結論的合理性[2]。學生的做題過程就是嘗試一般套路,尋求適合自己獨特套路的過程。在不斷地嘗試和歸納中,逐漸形成思維自動化、目標指向化、問題模塊化,最終提升思維的遷移能力。

上述三種數學復習方法并不是完全割裂的,也不是完全分步進行的。基礎復習中就有專題復習的影子,基礎復習和專題復習也同樣要去做題鞏固。教師結合具體學情,靈活運用三種方法。根據學生的問題點,把這三個方法有機結合在一起,既注重基礎知識的夯實,又注重專題項目的系統化,同時利用數學問題解決的契機,培養學生科學的思維習慣、形成科學的數學思想、提升學生的數學素養[3]。