推倒一堵墻所需要的力和功

邵云，陶強

（1.南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171；2.南京市上元中學，江蘇 南京 211100）

用力推倒一堵墻在生活中是一個十分常見的事件，但若認真思考，就會發現其中蘊含著不少物理知識.本文將就“力”和“功”2 個方面對其進行一定的解析.

1 推倒均質實心豎墻所需要的力和功

設某一堵均質實心豎墻的厚度為a（見圖1），高為H，長為l（圖中未顯示），密度為ρ，質心在中心C點，右側的水平推力F距離地面h高度，同時設該豎墻為剛體，它與地面之間的附著應力不構成抵抗因素（實際情況常常如此，見下文），可以忽略，而只有壓力，則該堵墻的重力大小為

圖1 力推均質實心墻截面示意圖

以A點（邊）為支點，根據力矩平衡知識有

則推倒該豎墻所需要的起始外力為

將式（1）代入式（3）得

可見，這個起始外力F與墻高H、墻長l成正比，而與墻厚a的平方成正比，與力臂h成反比.當h一定時，隨著墻高H的增加，推倒墻所需的外力F也將同比增加，直至∞.

那么，推倒豎墻所需要做的功W是否會隨墻高H的增加而趨于∞？

由圖1 可知，要想推倒該堵墻，就必須克服墻的重力做功，使得墻的重心C能夠到達支點A的正上方，因此，推倒這堵墻所需要做的功至少為

根據圖1 有H=atanθ，將它代入式（5）得

可見，隨著墻高H的增加，θ將增加，推倒墻所需要做的功W也將增加.但是W卻有個極限值，即當H→∞也即時有

這就是說，推倒無限高的墻所需要做的功并不是無窮大，而是有限值[1].

若墻體是由普通實心磚塊建成，其密度ρ=2 ×103kg/m3，設墻長l=10 m，厚度a=0.3 m，則由式（7）可算得推倒無限高此墻所需要的極限功Wlim=1 323 J.這個功其實十分有限，僅相當于把一個67.5 kg的物體舉高2 m 而已.

事實上，由式（6）結合圖1 即可看出，墻體不用多高，θ角便能接近90°，式（7）所表達的極限功就幾乎達到.根據式（5）及墻體參數作出W～H圖（見圖2），從圖2 中可以看出，墻高只需2 m，推倒它所需做的功就幾乎等于推倒無限高墻所需做的功.

圖2 推倒某面墻所需做的功W 與墻高H 的關系

2 原理分析及思考

從式（4）和式（6）得到了2 個截然不同的結論：當墻的高度H→∞時，推倒墻所需的外力F→∞，但所需的功W卻趨于一個定值.該結論出乎意料，通常的直覺是墻越高，推倒它所需要的功“一定同比增加”.究其原因在于，隨著墻高H的增加，重力G確實也同比增加，但是推倒墻所需其重心上升的高度卻越小（從圖1 中的幾何關系很容易看出），兩者的乘積則趨于一個常量.

由此聯想到建高大建筑必須深筑地基且用鋼筋澆筑，使地面上、下建筑融為一體，像電線桿一樣不易傾倒，同時采用整體的框架結構來擴大建筑的水平有效寬度（相當于本文墻厚a），極大地提升了式（6）（7）中的極限功Wlim（∝a3）值，從而顯著地提升了建筑抵抗水平推力的能力.然而，公路旁的圍墻通常都是用磚塊由平地簡單建起（見圖3），并未使用鋼筋混凝土貫穿地面上下澆筑.由上文可知，它實際上并不太安全，較容易傾倒.因此，當人們經過它時，有必要加以小心，尤其在刮風下雨的天氣.

圖3 人行道旁的危墻

3 吹倒一面墻所需要的風速

在上文中已經將水平推力F距離地面的高度h視作常量，故而得到所需推力F隨墻高H同比增加的結論.實際上，從式（4）可以看出，若F的作用點（即h）隨墻高H同比升高，那么所需推力F將保持不變.墻面受到的水平風力便近似屬于這種情況，它的作用點近似在墻面中心.

根據空氣動力學知識[2-4]，墻長l不很大的平面墻面的風阻系數可以近似視為1，因此墻面受到的風力大小為

式中：ρ空為空氣的密度；墻面面積S=lH；v為風速.設ρ空=1.29 kg/m3，風力12 級即風速v=35 m/s，墻高H=5 m，墻長l=10 m，則得

可見該風力十分巨大.

推導吹倒一面墻所需要的風速，將h=H/2代入式（4）即得吹倒一面墻所需要的風力大小

它與H無關.聯立式（8）（10）并化簡可得

可見，墻越高，吹倒它所需要的風速就越小；反之墻越厚，吹倒它所需要的風速就越大.不難理解，這里的v與墻長l無關.

同樣以H=5 m，l=10 m墻為例，并設a=0.3 m，ρ=2 ×103kg/m3，將諸數據代入式（11）可得

經查表[5]，式（12）這個風速相當于9 級烈風（屋頂受損，瓦片吹飛）.類似可算出吹倒H=3 m的矮墻所需要的風速則為30.2 m/s，相當于11級暴風（損毀普遍，房屋吹走）.

這里所得結論的根本原因在于式（10）即F風=ρgla2，吹倒不同高度的墻所需要的風力竟然相等.

4 關于墻與地基之間粘結力影響的討論

為簡化處理，可將墻與地基粘結處的拉伸壓縮應力近似看作呈線性分布[6-7]，D為零應力點（見圖4）.

圖4 墻與地基粘結處的拉伸壓縮應力分布

當重力G與推力F關于A點力矩平衡時，可設應力的分布函數為

于是，根據y方向上的受力平衡以及對A點的力矩平衡有

將式（1）（13）代入式（14）（15），經計算整理可得

聯立式（16）（17）解得

再將式（18）（19）代入式（13），即得此時的應力分布函數

右側墻角E點處的拉伸應力則為

通常建筑材料的抗壓性能遠優于抗拉性能，因此圖4 中墻與地基粘結處的斷裂一定是從右側拉斷開始.因此σ(a)即式（22）便成了墻體抵御外界推力的關鍵.根據式（22）并結合相關數據，可作出σ(a)～H的正比例函數曲線（見圖5）.

圖5 右側墻角處的拉伸應力σ（a）隨墻高H 的變化

文獻[8]指出，普通砂漿粘結的粘土磚墻砌體，沿通縫截面彎曲（類似于推墻）的彎曲抗拉強度規范值約為0.48 MPa.但是文獻[9]又指出，若是考慮到實際的施工質量、砂漿質量（包括水泥質量與比例、河砂質量、石屑石灰替代等）、粘結處老化以及裂縫缺陷等因素，整堵墻面的彎曲抗拉強度的設計值大概只能取到規范值的1/3，也即0.16 MPa 左右.于是，對比圖5 即可看出，當墻高H＜4 m時，圖4 中墻與地基粘結處的拉伸應力確實能夠幫助墻面抵御一部分外界推力；但是當墻高H＞4 m時，拉伸應力可能就幫不上忙了——在外力F所產生的力矩尚未與重力矩平衡時，E點處的拉伸應力可能就已經達到了它的設計極限值0.16 MPa.這是由固體內部的應力結構所造成的.

由此可見，本文忽略墻與地基之間粘結力的做法，對于推倒4 m 以下的墻而言，或存在低估，其中對于推力F，從圖5 及式（22）可見，墻越矮低估得越多（具體數值讀者可以按照上文思路自行建模估算，本文在此省略）；但對于推倒墻體所需要做的功W，則因墻根斷裂處的形變極其微小，故而斷裂所需要的額外功微乎其微，低估幾可忽略.對于推倒4 m 以上的高墻而言，則無“低估推力”之憂，本文的討論結果完全適用.

5 總結與說明

綜上可見，推倒一面與地基之間粘結力幾可忽略的老墻、劣質墻或石灰砌墻，所需要的（起始）水平外力F與作用點的位置有關，當作用點的位置固定即圖1 中h固定時，F將隨墻高H的增加同比增加直至∞；而當作用點的位置也即h隨墻高H同比增加時，所需外力F則變成一個常量.水平風力恰好滿足后者要求，因此吹倒上述墻所需要的水平風力墻高墻矮都一樣，見式（10）即F風=ρgla2，這將導致“墻高招風”——單面墻越高越容易被吹倒.

推倒一面豎墻外力所需要做的功將隨墻高H的增加而增加，但是很快就能達到其極限值（見式（6）及圖1）.對于通常30 cm 厚的磚墻，推倒2 m 高與推倒無限高所需要做的功幾乎相等（見圖2）.

推倒一面質量良好的豎墻，對于4 m 以下的墻而言，由于墻根拉伸應力的抵抗作用，所需推力會有所增加，但是所需做的功則幾乎沒有變化（除非墻太矮）；而對于4 m 以上的高墻而言，由于墻根在外力矩與重力矩尚未達到平衡時就已經斷裂，因此墻根處的應力對于推倒高墻不構成任何影響，無論所需外力還是功.

本文作為模型計算，目的并不在于具體的數值，而是在于揭示總體的規律性，為人們的日常生活及教學提供一些參考.從較深入的研究結果看，除了對于4 m 以下質量良好的墻體外，本文開始時“豎墻與地面之間的附著力不構成抵抗因素，可以忽略”的假設基本是合理的.