數學分析中開展課程思政教學的實踐
——以高階導數的教學為例

鄧宇龍，張建國

（長沙師范學院 數學科學學院，湖南 長沙 410100）

現代數學是以微積分理論為基礎的分析數學，而數學分析研究的主要內容是微積分.數學分析課時長、教學內容多，是數學專業解決“為誰培養人”問題的第一基礎課程，是很多后續專業課程的先導課程.因此，高校數學教師要用好數學分析課堂教學這個主渠道，把立德樹人作為教育的根本任務，真正做到課程與思政同向同行.這必然要求在數學分析的課程建設中突出課程思政理念.

高階導數是微分理論的重要組成部分，在函數的極值、凹凸性和拐點以及Taylor 公式等問題的研究中有舉足輕重的作用.因此，高階導數在數學分析中意義重大.高階導數中蘊含有豐富的課程思政元素，高校教師可以在高階導數的概念教學中培養學生的數學發散思維、演繹邏輯推理思維、歸納概括思維、應用思維和轉化思維等基本數學思維；在高階導數的計算和幾個常用的高階導數公式教學中引領學生健康的世界觀和人生價值觀；在高階導數的Leibniz 公式教學中融入數學文化以及蘊藏的人文素養，激發學生學習數學的興趣.本文以高階導數的教學實踐為例，論述高校教師如何在數學分析課程教學中開展課程思政.

1 在高階導數的概念教學中培養數學思維

數學的重要性不僅在于它具有強大的工具性，還在于它具有強大的育人功能.數學知識承載著數學思維，是極好的思維訓練手段，它的育人功能首先體現在人的思維能力培養方面[1].數學思維至少有2種：一種是邏輯思維，它保證了數學的嚴密性；另一種是應用思維，它把數學理論應用到實際生活中.人們通過數學思維的培養和訓練，在遇到問題時，能夠抽象概括并提煉出問題的實質，多方位開辟思維點，再根據條件的變化改變問題的思考方向，創新性地解決問題.

培養數學思維能力的過程是一個循序漸進的過程，在高階導數概念的教學中可以逐步培養學生的數學發散思維、演繹邏輯推理思維、歸納概括思維、應用思維和轉化思維等基本數學思維能力.按照數學分析課程內容的編排，學生在學習高階導數時，已經完成了導數的概念和計算的學習以及對導數幾何意義的理解[2].因此，在高階導數課前10 min，可以利用學習通、云課堂等在線學習平臺，精選發布5 個左右的選擇、填空或者判斷題，要求學生在規定的時間內完成.考慮到接下來的教學內容，課前練習的組題既要承接舊知，又要啟發新知.例如：求某些函數的導數；求已知曲線的切線方程或斜率；利用導數的定義求一些未知的參數；導數定義的變形；求一些簡單函數的高階導數等.

這些組題既復習了導數的計算性質和幾何意義，又回顧了導數的概念

和導數定義公式的變形，加深了函數在點x0的導數是一個數的認識，且學生應用所學知識解決實際問題的能力得到了較好的鍛煉.由于選擇、判斷、填空題完成的時間較短，教師可以利用學習通、云課堂等在線學習平臺即時反饋學生習題完成情況，還可以讓完成速度快且質量好的學生分享解題的經驗和心得.課前練習的反饋激發了學生學習數學分析課程的興趣，訓練了思維的敏捷性，體會到數學對實際問題解決的作用.這種寓教于樂的作業形式得到了學生的喜愛，學生在課前練習中得到了充分的展示機會，相互之間形成了良性的競爭，學風煥然一新.

為了啟發學生對高階導數概念的探索，可引導學生思考：如果一階導函數f′(x) 還可以繼續求導數，應如何給出這個定義.學生通過導數概念的復習，運用發散思維后可以很快地給出回答：若函數f(x) 的導函數f′(x) 在點x0可導，則有導函數的導數

依此類推，可以引導學生給出二階導數的定義，并層層演繹出三階導數等概念，歸納總結出高階導數概念.

由此可見，高階導數的定義是一個循序漸進的過程，通過對這個概念的層層解讀，不僅培養了學生的數學發散思維、演繹邏輯推理思維、類比思維和歸納概括思維等基本的思維能力，同時，也讓學生體會到了數學定義的嚴密、細致和邏輯推理的嚴謹性.

2 在高階導數的計算過程中引領人生情感

“師者，傳道、授業、解惑也”，這句話生動地概括了教師的2大職責——教書和育人.教師，在傳授學生知識的同時，還要兼顧教導學生做人的道理.高階導數概念晦澀難懂，給人“高大上”的錯覺，但在高階導數的計算和表達公式中也蘊含了一些人生哲理和為人處世之道.通過對高階導數的計算和表達公式中隱含的人生哲理和為人處世之道的解讀，不僅能活躍課堂氣氛，提高學生學習興趣，還能幫助學生明白做人做事的基本道理，實現教師教書和育人的宗旨.

根據高階導數的定義可知，要求得函數的高階導數，就需要對比它低一階的導函數再求一次導數.因此，利用高階導數概念來求解函數的高階導數是最基本的方法.

例1求冪函數f(x)=xn（n為正整數）的各階導數.

解由冪函數的求導公式可知，f′(x)=nxn-1，f′ (x)=n(n-1)xn-2，…，f(n)(x)=n!，f(n+1)(x)=0，….

顯然，利用高階導數的定義求函數的高階導數是一個循序漸進、連續求函數一階導數的過程.因此只需要利用一階導數的求導法則，對函數逐階求導即可.換句話說，要求函數的高階導數，只能先求一階導數，再求二階導數、三階導數等，依次類推，逐步地往上求解，才能得到函數的高階導數，達到最終目標.這正如我們的學習、生活以及工作，無論做什么事情，都需要按部就班、腳踏實地地去做，沒有捷徑可尋，“三天打魚，兩天曬網”行不通，一蹴而就更不可能.

例2求函數f(x)=sin（x）的各階導數.

這是基本初等函數求任意階導數的問題.為找出其中的規律性，可以先具體求出若干階導數.對于函數f(x)=sin（x），由三角函數的求導公式可知

不難發現，sin（x）的高階導數具有一種循環性，一方面涉及 sin（x）和cos（x）之間的互相轉化，另一方面涉及符號交互轉化.

還應注意到，當求解一個問題比較繁瑣時，可以考慮轉換一種思維方式.事實上，在求函數f(x)=sin（x）的各階導數時，由(u+v)(n)=u(n)+v(n)，(Cu)(n)=Cu(n)可知

在教學中，經常用xn,ex,sin（x）,ln(1+x)作為求函數高階導數的實例進行講解分析.對于正整數冪函數xn，每一次求導，都能把冪次降低1.顯然，第n次求導可得一個常數，而求導次數大于n時的導數都等于0；指數函數ex的各階導數仍是ex；三角函數（x）sin 的高階導數循環出現；對數函數的高階導數卻發生了改變.這正如人生的4 種態度，即消逝不見、始終不變、周期循環、改變目標.如果把每一次求導當成一次挫折，那么，到底是被挫折磨滅了意志，還是始終堅持初心，或者原地踏步徘徊不前，或者改變最初的理想，在經歷幾次磨礪后就面目全非亦或蕩然無存.我們不禁會問，有沒有像函數ex那樣，雖歷經磨難，但始終不忘初心、堅定信念、百折不撓、勇敢面對的一種誓言[3].

3 在求高階導數的Leibniz 公式中滲透數學文化

在人們認識世界和改造世界的過程中，數學發揮了關鍵的作用.它不僅具有深邃的科學精神，還蘊藏著豐富的人文精神.縱觀我國古今在數學上取得的豐碩成就，強烈的民族自豪感油然而生.在人類文明的發展進程中，數學是堅實的基礎和重要的支柱.人們只有接受數學文化的熏陶和洗禮，才能真正地走近數學、了解數學、領悟數學和熱愛數學.教師在教學過程中，應該挖掘數學分析課程蘊含的數學人文精神，幫助學生了解人類文明發展中數學分析知識所起的重要作用，形成正確的數學觀.

高階導數的Leibniz 公式不僅留下了數學家Leibniz 和Lagrange 奮斗拼搏的軼事，還蘊藏著豐富的數學思想方法.

Leibniz 公式用于求2個函數的乘積的高階導數[4].由乘積求導法則可知

觀察(uv)′,(uv)′ ′,(uv)′′′展開式中各項的系數公式，容易發現這是二項式系數.于是，人們通過類比，歸納總結出了Leibniz 公式.

Leibniz 公式若函數u,v有任意階導數，則

Leibniz 公式在形式上與我國古代數學的杰出成果之一，即二項式(u+v)n展開式系數的楊輝三角相似.楊輝三角把二項式系數的表示圖形化，直觀地體現出了組合數內在的一些代數性質[5].通過這樣的比較關聯，既能讓學生體會到數學的統一，又能激發學生的文化自信.

此外，教師在教學中還可以穿插數學家Leibniz 和Lagrange 的故事.Leibniz 在數學史和哲學史上都占有重要的地位，他所創立的微積分數學符號被廣泛地使用，他的數學成果很多都是在往返于各大城鎮的顛簸的馬車上完成的.我們有整潔的教室和教學樓，窗明幾凈，因此更應該珍惜現在求學的好時光.

18 歲的Lagrange 曾獨立地推出了Leibniz 公式，他興奮地把論文寄給大數學家Euler.然而，Euler 卻告之Leibniz 在半世紀前就已經得到了這個結果，這個“不幸”的消息非但沒有使Lagrange 泄氣，反而激發了他鉆研數學的信心，給出了著名的Lagrange 中值定理.因此，在面對挫折時，更應該堅定信念，把挫折化作前進的動力.

總之，數學分析中的定理、公式，甚至于一個表達符號的背后都蘊含了動人的故事，包藏了滿滿的人文精神.教師在教學中融會貫通，挖掘隱藏在Leibniz 公式中的數學思維方法和數學家的故事，不僅能鞏固學生對高階導數知識點的掌握，還活躍了課堂氣氛，提升學生學習高階導數的興趣.學生在不自覺中接受數學文化的熏陶，不但學習到數學家的奮斗精神，更容易理解和領悟Leibniz 公式在求解高階導數中的作用.

4 在數學分析課程教學實踐中融入課程思政元素的關鍵

從課程思政融入到高階導數的教學實踐來看，把課程思政滲透到數學分析的教學中，不僅有利于克服傳統教學中概念、定理、計算公式羅列堆積的不足，還有利于培養學生應用數學思想分析問題、解決問題的能力，提升數學學習的趣味性，增強數學課堂引領作用.在數學分析課程的教學實踐中融入課程思政元素，以數學知識吸引學習興趣，以數學素養影響良好人格，以數學文化浸潤美好心靈.

4.1 注重培養學生的數學精神和數學思維能力

高校數學教師要注重培養學生的數學精神和數學思想方法.數學思維能力是人腦按一定思維規律認識數學對象的數學內容的內在理性活動，是人們運用數學觀點思考問題、解決問題的能力.它包括抽象概括能力、推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力、數據處理能力、應用意識和創新意識等7個方面.

培養數學思維能力是數學教育的根本目的，也是最重要的課程思政.因此，數學教學改革的一個重要課題在于如何錘煉學生的數學思維能力，形成良好的數學品質.培養數學思維要遵循數學學科的特點，如果只講知識，不講精神；只講技巧，不講思想，學生就不能掌握數學的精髓，真正地領悟數學[6].數學基本概念、定理是進行數學論證的理論基礎，因此，高校教師既要注重基本概念和定理的教學，又要理解蘊含其中的數學精神；既要注重數學的基本運算和應用技能的教學，又要引導學生思考蘊含其中的數學思維方法.

4.2 教師既要當“經師”又要當“人師”

高校數學教師既要當“經師”，又要當“人師”.為師之道，自古就有“經師”和“人師”之說.經師把教師職業當作謀生的手段，他們認真鉆研業務，扎實掌握基本技能，嚴肅、嚴謹、嚴格對待教育和教學工作，對教育事業有著積極的推動.

然而，經師只是作為教師的起碼要求，人師才堪稱人類靈魂的工程師.人師把教師職業當作事業的追求和精神的享受，他們有高深的學問以及偉大的人格和高尚的修養，陶冶著學生的人格.中國教育的傳統觀念，要求教師除了有經師之范外，還要有人師的境界，以自身的人格魅力、德才情操潛移默化地感化和塑造學生人格.著名的無產階級教育家徐特立老先生就提出過“經人合一”的教育思想.“經師”和“人師”正是教師職業傳播知識和真理以及塑造靈魂和人格的職業定位，二者的統一就是專業知識和課程思政的有機融合.

4.3 注重用數學文化浸潤學生的心靈

高校數學教師要注重用數學文化浸潤學生的心靈.狹義的數學文化指數學思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展；廣義的數學文化在狹義的數學文化內涵基礎上，還兼顧了數學家、數學史、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系等[7].數學文化作為數學知識的載體，是連接感性認識和理性認識的橋梁，有深厚的數學教育內涵.數學文化由數學精神、數學思想和數學史組成.數學精神主要有數學理性精神、數學求真精神、數學創新精神、數學合作與獨立思考精神等[8].數學中大膽的猜測、奇特的構思以及縝密的推理構成了數學思想的特質[9].數學精神和數學思維體現了對真理的探索精神.數學史蘊含了數學的思想、方法、精神及其發生和演進過程，揭示了數學家的文化活動以及數學在人類文明進步中的巨大作用[10].數學史揭示了數學知識的起源、產生和發展過程.可見，如果不了解承載了數學知識的數學文化，分裂地看待數學與現實世界，學生就會缺乏學習數學的積極性.在數學教學中融入數學文化，開展有效的課程思政，能最大限度地提升學生學習的主動性和積極性.

5 結語

值得注意的是，數學分析課程主要講授的還是數學的經典知識，即以極限概念為基礎的微積分知識.高階導數作為數學分析課程的一個細微而重要的部分，課程思政元素在其中的滲透應該是相向而行、潤物無聲，而不能喧賓奪主，淡化了學生對高階導數概念的理解和掌握，沖淡了學生對數學經典知識的學習.