基于時間-沖擊的噴膠機器人軌跡優化算法

胡俊輝， 孫 博， 孟 婥， 張 豪， 孫以澤

(東華大學 機械工程學院， 上海 201620)

目前在運動鞋底噴膠過程中大多數企業采用人工涂膠，不僅無法保證噴膠質量，影響鞋的美觀，還會造成脫膠，同時膠水揮發出的有害氣體對人體危害很大。針對這種狀況，企業在運動鞋鞋底噴膠作業中開始引進噴膠機器人，雖然解決了人工涂膠的問題，但存在噴膠精度和效率低的缺點。為在提高噴膠精度的同時保證機器人噴膠的作業效率，需要對噴膠機器人進行軌跡規劃及優化。

在機器人插值軌跡研究方面，朱世強等[1]用7次B樣條曲線插值方法將運動學約束轉化為B樣條曲線的控制點約束，優化了機器人的運動時間并保證了脈動(加加速度)的連續，但高次插值曲線計算較為復雜。趙川等[2]通過分析3次多項式插值和5次多項式插值的優缺點，進而提出了3-5-3多項式插值算法，彌補前兩者多項式插值各自的缺點，提高軌跡的穩定性。鄭濤等[3]采用5次B樣條和5次多項式相結合的B-5-B插值軌跡，將其與3-5-3多項式插值算法進行比較，發現B-5-B插值軌跡更有效地降低機械沖擊，但采用的兩自由度噴膠機器人適應面不廣。在軌跡規劃優化方面，秦律等[4]將遺傳算法進行改進并用于機器人軌跡規劃優化，能有效縮短機器人的運動時間，但采用3次樣條插值會出現機器人脈動的突變。陸佳皓等[5]利用改進的非劣分類遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II)對機器人時間-沖擊進行優化，采用5次B樣條函數進行關節空間的軌跡插值，提高機器人運行效率和減小沖擊。Wichapong等[6]采用4階多項式進行插值，通過建立多個帶約束的元啟發式(meta-heuristic，MH)算法來求解機器人軌跡規劃優化，在此研究的基礎上找到機器人軌跡規劃的最佳MH算法。Huang等[7]采用5次B樣條在關節空間進行插值，通過精英非支配排序遺傳算法(elitist non-dominated sorting genetic algorithm II，ENSGA-II)對軌跡進行優化，實現時間和沖擊最優的軌跡優化。Liu等[8]基于5次多項式的運動軌跡，采用具有避免奇異性的自適應精英遺傳算法(adaptive elite genetic algorithm with singularity avoidance，AEGA-SA)進行時間最優的軌跡規劃，通過與具有避免奇異性的遺傳算法(genetic algorithm combining with singularity avoidance，GA-SA)和自適應精英遺傳算法(adaptive elite genetic algorithm，AEGA)比較可知，AEGA-SA能夠獲得更優解。雖然上述文獻所做的工作解決了速度和加速度的連續性以及運行時間的優化，但是沒有針對多自由度機械臂對象的時間和沖擊進行軌跡優化。

針對上述研究的不足之處，本文以6自由度噴膠機器人為研究對象，在關節角度、速度、加速度和加加速度的約束下，以時間-沖擊最優為目標函數，提取鞋頭部分的噴膠軌跡點，采用多目標粒子群優化(multi-objectives particle swarm optimization，MOPSO)算法和4-5-6多項式插值軌跡在關節空間下進行軌跡規劃優化，通過MATLAB軟件仿真驗證算法的有效性。

1 噴膠機器人關節空間軌跡規劃

機器人的軌跡通常是在關節空間中運行，將操作空間中的點轉化為關節空間中的連續點，再根據實際工作中各軌跡點的速度、加速度和加加速度約束進行軌跡規劃。機器人實際運動中的傳動誤差和摩擦等非線性因素，使機器人實際操作空間軌跡對關節空間軌跡規劃有很大影響。本文僅考慮機器人運動學上的軌跡規劃，并在此基礎上進行仿真驗證。

1.1 機器人運動學

本文的控制對象為新松SR7CL型6自由度機器人，如圖1所示。該機器人由6個轉動關節、連桿和底座組成，機器人運動的位置和姿態都通過6個轉動軸來完成。第6軸(J6)的末端安裝適配接口，可根據不同的工作任務安裝不同的執行器，本文的機器人末端安裝膠槍。

圖1 6自由度噴膠機器人模型

機器人運動學求解主要研究機器人在不考慮力和力矩情況下空間的運動情況。對于機器人正逆運動學[9]來說，正向運動學是指在已知連桿參數和各關節角度的前提下，求解末端位姿A0,6。通過機器人的D-H參數求出A0,1,A1,2,A2,3,A3,4,A4,5,A5,6等6個齊次變換矩陣，推導出噴膠機器人末端膠槍位姿如式(1)所示。

A0,6=A0,1·A1,2·A2,3·A3,4·A4,5·A5,6

(1)

式中：A0,6為坐標系0到坐標系6的位姿變換矩陣，A0,1,A1,2,A2,3,A3,4,A4,5,A5,6同理。

逆向運動學是在已知連桿參數和膠槍末端位置和方向的前提下，確定機器人各個關節的角度變量。但逆解求出噴膠機器人的位姿往往不止一組解，因此需要根據實際應用中的結構約束和角度約束，選取一組最優解作為噴膠機器人在此位置處的逆解。

綜上可知，正向運動學的結果唯一且容易獲取，而逆向運動學的結果往往不是唯一且求解過程復雜。機器人逆運動學求解具有重要意義，其目的是將分配給末端膠槍在操作空間的運動變換為相應關節空間的運動。本文采用給定目標路徑點，通過運動學逆解求得各個關節的運動。

1.2 4-5-6多項式插值曲線

針對SR7CL型機器人，在同樣的關節數據和約束條件下，分別采用3次多項式插值、3-5-3多項式插值和4-5-6多項式插值算法對關節1進行軌跡規劃，得到的關節角度、角速度和角加速度曲線如圖2所示。

圖2 不同算法獲得關節1的角度、角速度、角加速度曲線

由圖2可知：3次多項式插值使機器人運動出現加速度突變;3-5-3多項式插值在加速度曲線的拐點處出現尖角，表明加速度變化過快出現運動沖擊，使機器人運動不平穩或不連續；4-5-6多項式插值的角度、角速度和角加速度曲線起伏小且十分光滑。由此表明，相較于3次多項式插值和3-5-3多項式插值，4-5-6多項式插值在軌跡規劃方面更具優勢。因此，本文采用4-5-6多項式插值，其可保證機器人在初始位置和最終位置的速度和加速度都為零以及運動過程中不產生速度和加速度突變。

根據4-5-6分段多項式插值將軌跡分為3段路徑，分別為從初始點位置(ps)到第一個中間點位置(pi)，從第一個中間點位置(pi)到第二個中間點位置(pi+1)，從第二個中間點位置(pi+1)到目標點位置(pf)。從初始點位置到第一個中間點位置的4階軌跡方程如式(2)所示。

ps,i(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

(2)

式中：a0,a1, …,a4為多項式常數系數，可根據式(3)確定。

(3)

式中：t1為從初始點位置運動到第一個中間點位置的時間。

在確定第一段軌跡時間函數后，第二段軌跡從第一個中間點位置到第二個中間點位置，其時間函數采用5階軌跡方程表示，如式(4)所示。

pi,i+1(t)=b0+b1t+b2t2+b3t3+b4t4+b5t5

(4)

式中：b0,b1, …,b5為多項式常數系數，可根據式(5)確定。

(5)

式中：t2為從初始點位置運動到第二個中間點位置的時間。

同樣在確定第二段軌跡的時間函數后，第三段軌跡從第二個中間點位置到目標點位置，其時間函數采用6階軌跡方程表示，如式(6)所示。

pi+1,f(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+

c4t4+c5t5+c6t6

(6)

式中：c0,c1, …,c6為多項式常數系數，可根據式(7)確定。

(7)

式中：t3為從初始點位置運動到目標點位置的時間。

根據機器人各關節角度及其在各點的約束，求解出各關節角度多項式插值曲線的系數，即得到每段軌跡中各關節角度的插值函數。

鞋底噴膠軌跡由多段4-5-6多項式插值軌跡構成，每段4-5-6插值軌跡間均光滑連接，但會存在第一段4-5-6插值軌跡和最后一段4-5-6插值軌跡之間多出一個插值點的情況。由于4-5-6分段多項式插值的不對稱性，為保證兩段軌跡光滑過渡，根據最后一段4-5-6插值軌跡的最后一個點向第一段插值軌跡的第一個點推導，即由式(3)(5)或式(5)(7)求解。式(3)和(5)對應4-5-6多項式插值軌跡的4-5多項式段，式(5)和(7)對應4-5-6多項式插值軌跡的5-6多項式段，由圖2可知，4-5-6多項式角度、角速度和角加速度曲線的光滑性和連續性都較好，但4次多項式相比6次多項式計算更簡單，因此采用式(3)(5)對應的4-5多項式作為過渡插值軌跡。

2 噴膠機器人軌跡優化算法

2.1 確定目標函數

本文的研究對象為6自由度工業噴膠機器人，已知操作空間中的一系列點，通過運動學逆解，將空間中的系列點轉化為關節空間中的系列點。基于關節空間的系列點，對運行時間和沖擊進行多目標軌跡規劃。可以預期，如果軌跡足夠平滑，能夠避免過大的機械振動，并盡可能減少運行時間，以在約束的情況下提高生產率。約束方面主要考慮運動學約束，包括角速度、角加速度和角加加速度的約束。

以時間和沖擊作為優化目標，建立的目標函數分別如式(8)和(9)所示。

S1=min(Tf)

(8)

(9)

運動學約束為

(10)

這兩個目標函數的目的是相反的。如果減少運行時間會導致較大的沖擊波動和噴膠機器人不平滑的運動；如果減小噴膠機器人的沖擊會導致噴膠機器人完成任務的運行時間增加，降低噴膠機器人的工作效率。

2.2 MOPSO算法軌跡優化

粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)算法[10]最基礎的概念來源于對鳥類捕食行為的模仿，粒子群中的每一個粒子都代表一個問題的可能解，通過粒子個體的簡單行為，群體內的信息得到共享從而實現問題的智能化求解。PSO算法操作簡單、收斂速度快、控制參數少，在眾多領域得到了廣泛應用。MOPSO[11-12]將只能用在單目標優化中的PSO應用在多目標優化上，利用帶慣性因子的MOPSO算法解決多目標優化問題。

設第i(i=1,2,…,N)個粒子在d維搜索空間中的初始化位置和速度分別為Xi=(x1,x2,…,xd)和Vi=(v1,v2,…,vd)，則在第t代時，第i個粒子位置和速度的更新分別如式(11)和(12)所示。

Vid(t+1)=ωVid(t)+C1r1(pb,i(t)-Xid(t))+

C2r2(gb,i(t)-Xid(t))

(11)

Xid(t+1)=Xid(t)+Vid(t+1)

(12)

式中：pb,i為粒子i的個體極值，即粒子i到過的最佳位置；gb,i為粒子的群體極值，即粒子群到過的最佳位置；ω為權重因子，通過ω對算法的全局尋優性能和局部尋優性能進行調節；C1、C2分別為粒子的個體學習因子和社會學習因子；r1、r2為區間(0,1)上的隨機數。

實現多目標的機器人軌跡規劃優化算法的流程圖如圖3所示。

圖3 MOPSO算法流程圖

3 軌跡優化算法仿真與結果分析

3.1 機器人模型建立

在6自由度SR7CL型噴膠機器人上驗證采用第2節中的MOPSO算法進行軌跡規劃的可行性，構建機器人各關節的D-H坐標系，其參數如表1所示。

在MATLAB軟件中通過robotics toolbox工具箱對機器人建模，將表1中的D-H參數導入程序中，定義連桿屬性和關節屬性，建立的噴膠機器人模型如圖4所示。

圖4 噴膠機器人D-H模型

3.2 仿真參數設置

在鞋底噴膠過程中，鞋頭部分曲率較大，耗時較長，導致機器人運行時間長、運動沖擊大等問題，因此選取鞋頭部分(637.4,-133.8,105.5),(329.5,416.9,1 002.2),(193.1,13.6,875.4),(473.5,652.7,435.1)4個點進行軌跡優化，將任務空間中的4個點經過逆運動學求解轉換為關節空間位置如表2所示。表3為各關節的運動學約束，各個關節的軌跡曲線為4-5-6多項式，指定初始位置和目標點的速度和加速度為0。MOPSO算法中個人學習因子和社會學習因子分別設為1和2，權重因子為0.5，最大進化代數為100，檔案庫大小為100。

表2 關節位置序列

表3 關節約束條件

3.3 優化結果及分析

根據目標函數S1和S2，通過MOPSO優化算法得到機器人運動時間和沖擊之間綜合優化的帕累托(Pareto)最優解前沿圖如圖5所示。

圖5 Pareto最優解分布圖

由圖5可知:時間和沖擊兩者的最優性能相互制約，不能同時達到最優性能。越靠近A點，軌跡的時間性能越好；越靠近B點，軌跡的沖擊性能越好；點C為采用加權目標函數的方法求出的最優解。將目標函數進行歸一化權重處理，得歸一化權重函數為

fc=ωtS1/N1+ωjS2/N2

(13)

式中：fc為最小化求得的最優解；ωt、ωj為目標函數的權重因子；N1、N2為調整因子。

根據時間和沖擊對軌跡規劃的影響以及為了調整各目標函數值在同一范圍，取ωt=ωj=0.5，N1=30，N2=50，根據目標權重函數求出最優解S1=15.642 s、S2=6.626(°)/s3，S1、S2分別代表運行鞋頭選取部分所需時間和運動沖擊，S1、S2的值是考慮兩者都達到最優情況下的最優解，如圖5的C點，優化后的時間為15.642 s，其對應時間序列為[5.878, 5.330, 4.434]s，即4-5-6多項插值中各段軌跡運動所需要的時間。根據式(2)、(4)和(6)的軌跡方程和表3的約束條件，通過MOPSO算法進行最優化求解，獲得機器人各關節的角度、角速度、角加速度和角加加速度曲線如圖6所示，圖6的橫坐標即為C點的時間最優解。將機器人6個關節的運行時間和沖擊兩個目標優化前后進行對比,如表4所示。

圖6 關節最優軌跡曲線

表4 多目標優化算法結果

由圖6可知：采用4-5-6插值曲線，機器人關節的角度、角速度、角加速度和角加加速度連續，并且角速度和角加速度在啟停時刻都為0。與文獻[1]中7次非均勻B樣條曲線相比，本文算法保證了機器人運動的連續性和平穩性，還可以指定起始速度和加速度。

針對提出的多目標粒子群優化算法進行仿真驗證，結果表明優化后的運行時間為[5.878, 5.330, 4.434]s，沖擊為6.626(°)/s3，比文獻[13]中的時間優化結果[14.015, 14.317, 13.952]s減少了[8.137, 8.987, 9.518]s，比文獻[14]中的優化結果[9.030, 6.690, 7.210]s減少了[3.152, 1.360, 2.776]s，達到了縮短運動時間和運動平穩的目的，驗證了算法的有效性。

MOPSO算法的優化結果可為圖7所示機器人試驗平臺的二次開發提供依據。

圖7 機器人試驗平臺

4 結 語

以6自由度噴膠機器人為研究對象，采用4-5-6多項式曲線來規劃機器人各關節運動軌跡，保證了機器人關節角加速度和角加加速度的連續性，降低了機器人運動過程中的沖擊。利用MOPSO優化算法，以時間-沖擊為目標進行優化，對得到的最優運動軌跡進行仿真驗證，結果表明，相比改進的遺傳算法，機器人的運行時間得到了縮短且運動平穩，驗證了基于MOPSO算法進行時間-沖擊最優軌跡規劃的可行性。