隨機過程理論中的三個基本概念錯誤

摘? 要：隨機過程是揭示和探討客觀世界動態隨機現象數量關系及其變化規律的應用數學理論。文章分析隨機過程理論在研究質點隨機運動時，將質點位移與時間之間的數量關系抽象為隨機變量，并用描述大量重復試驗中隨機事件發生可能性的概率來度量隨機游走每一步向右或向左的可能性大小，以及將隨機過程樣本函數當作隨機變量等基本概念錯誤。隨機過程理論中出現的基本概念錯誤不僅導致隨機過程樣本軌道研究對象發生錯位，而且也為自然科學、工程技術和社會科學提供錯誤的理論、方法及工具。

關鍵詞：隨機過程;樣本軌道;隨機變量

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）06-0096-04

Abstract： Stochastic process is an applied mathematical theory that reveals and discusses the quantitative relationship and changing laws of dynamic random phenomena in the objective world. This paper analyzes the random process theory when studying the random movement of the particle， abstracting the relationship between the displacement of the particle and time as a random variable， and measuring the possibility of right or left in each step of random walk by the probability of a random event occurring in a large number of repeated trials， and treats the sample function of random process as a random variable. The basic conceptual errors in the stochastic process not only lead to the dislocation of the research object of random process sample path， but also provide wrong theories， methods and tools for natural sciences， engineering technology and social sciences.

Keywords： stochastic processes; sample path; random variable

數學概念是人腦對客觀事物的數量關系和空間形式的思維反映。數學概念雖然遠離了直觀的經驗世界，但卻能更深刻地反映客觀世界的本質。數學學科通常運用定義的形式來明確數學概念的內涵——對象“質”的特征，及其外延——對象“量”的范圍。數學概念是建立數學理論和其他科學理論的基石，如果對數學概念所表達的內涵和外延出現誤解和誤用，則建立的科學理論就像基礎不牢的高樓大廈一樣，遲早會發生地動山搖般的坍塌。

一、函數基本概念

函數定義：在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，則稱變量y為變量x的函數，記作：

y=f（x），? ? （1）

其中：變量x稱為自變量，變量y稱為函數。

函數f（x）通常有三種表示方法：解析法、列表法和圖像法。

觀察質點位移x（t）隨時間t的變化過程（圖1），無論質點做確定性運動還是隨機性運動，在每一個確定的時刻，都有唯一一個確定的質點位置與時間“一一對應”，因此，質點位移x（t）與時間t之間的數量關系為確定性的函數關系。

牛頓在研究質點運動時，將質點位移與時間之間的數量關系抽象為時間函數x（t），而隨機過程理論在研究質點位移與時間之間的數量關系時，竟將質點在t時刻的位置x抽象為t時刻的隨機變量X（t），而隨機變量X（t）和樣本軌道x（t）是兩個具有不同內涵和外延的單值函數。

隨機過程理論將質點位移與時間之間的數量關系抽象為隨機變量，得出了一系列與事實明顯不符的結論。例如，隨機過程理論將一個布朗粒子的位移x（t）當作隨機變量X（t）[1]，得出了布朗粒子位移服從正態分布的結論（圖2）。

假設布朗粒子的位移服從正態分布，則布朗粒子的位移曲線應具有如下兩個特點。

（1）對稱性。位移曲線關于原點對稱。

（2）集中性。布朗粒子在原點附近出現的次數最多。

但從圖2的布朗粒子位移曲線可以看出，布朗粒子位移曲線具有明顯的線性趨勢不符合正態分布的“對稱性”和“集中性”。

事實上，愛因斯坦布朗運動理論關于“布朗運動服從正態分布”的結論指的是大量布朗粒子在某一時刻的空間位置分布（圖3），而不是具體某一個布朗粒子的位移性質，大量布朗粒子在t時刻的位移x1（t），x2（t），…，xi（t），…是隨機變量X（t）在t時刻的狀態。

質點位移是時間的函數，但是隨機過程理論卻將質點位移錯誤地抽象為隨機變量，導致研究對象從一個質點改變為大量質點，必然會得出一系列與事實不符的結論。

二、概率基本概念

概率定義：在相同條件下重復進行n次試驗，其中事件A發生的次數為nA，如果隨著試驗次數n的增多，事件A發生的頻率nA/n會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率。

從概率定義可以看出，概率p是描述試驗次數n足夠大時隨機事件發生可能性大小的數量指標，概率p不能用來描述試驗次數n較小，特別是n=1時的隨機事件發生可能性。但是隨機過程理論恰恰就用概率p來度量n=1時的隨機事件發生可能性大小[2-3]。

以一維隨機游走為例，隨機過程理論是這樣定義隨機游走的：設想一個質點在直線的整數點上運動，假設質點從原點出發，每隔Δt時間以概率p向右移動一步，或以概率q=1-p向左移動一步，則定義質點在第n步時的位置x（n）為從原點出發的隨機游走。

當p=q=0.5時，可用拋擲一枚均勻硬幣來模擬隨機游走，若每次拋擲硬幣的結果為正面向上，則質點向右移動一步;如果為反面向上，則質點向左移動一步。

對于拋硬幣試驗，實際頻率與概率0.5之差與試驗次數n的平方根成反比[4]，試驗次數n較小時，實際頻率變化劇烈，即使在n=100時，實際頻率也在0.35～0.65波動，頻率沒有穩定性。只有當試驗次數n充分大時，頻率才會逐漸穩定于概率0.5。表1為歷史上一些著名數學家的拋硬幣試驗結果。

概率0.5是描述拋硬幣試驗次數n充分大時的統計參數，不能用來描述一次拋硬幣結果出現正面或反面可能性的大小。這就如同物理學中的溫度是用來度量分子集體熱運動平均動能的統計參數，不能用來度量一個分子的動能。

對于從原點出發的一維簡單隨機游走，當步數n充分大時，質點向左與向右的步數大致相等，各占步數n的比例（頻率）會逐漸穩定于概率0.5。當步數n=1時，頻率不是0就是1，不存在穩定的頻率值，因此，隨機過程理論用概率0.5來描述n=1時質點向左或向右的可能性，是對概率定義的內涵及外延出現了根本性的理解錯誤和應用錯誤。

隨機過程理論用概率p和q來描述每一次拋硬幣出現正面和反面的可能性，或用概率p和q描述隨機游走每一步向右或向左的可能性，如同用溫度來度量一個分子的動能一樣荒謬，由此推導出的隨機游走性質及結論必然與事實不符。

隨機游走第n步時的位置x（n）是步數n或時間nΔt的函數，用概率描述每一步向右和向左的可能性，意味著隨機過程理論將質點位移x（n）當作隨機變量X（n），無形中導致研究對象從一個質點變為大量質點。

三、隨機過程基本概念

隨機過程定義：依賴參數t∈T的一族隨機變量X={X（t），t∈T}稱為隨機過程。

事實上，X（t）是定義在Ω×T上的二元函數X（ω，t）。對于固定的時間t，X（ω，t）是狀態ω的函數，稱為隨機變量，記為X（t）;對于固定的狀態ω，X（ω，t）是時間t的函數，稱為樣本函數或樣本軌道，記為x（t）。

一個樣本函數x（t）對應著隨機試驗中的一次“測量結果”，即人們實際觀察到的隨機現象隨時間演變過程，因此x（t）也被稱為隨機過程的一個“實現”，圖5為隨機過程X（ω，t）、隨機變量X（t）和樣本函數x（t）三者之間的關系示意圖。

圖中的三條樣本函數曲線x1（t），x2（t）和x3（t）可分別看成是三個隨機運動質點的位移曲線，所有質點在t時刻的位置（圖中灰點）就是隨機變量X（t）在t時刻的狀態。

隨機過程X（ω，t）既可看成是所有樣本軌道x（t）的集合，也可看成是所有隨機變量X（t）的集合。

從圖5可以看出，隨機變量X（t）和樣本函數x（t）具有完全不同的物理意義。隨機變量X（t）用來描述大量質點的空間統計特性，樣本函數x（t）則用來描述一個質點的時間運動規律。

根據隨機過程的定義，隨機變量X（t）和樣本軌道x（t）是兩個具有完全不同內涵與外延的單值函數，但是，隨機過程理論在研究隨機游走和布朗運動樣本軌道的性質時，卻將樣本軌道x（t）當作隨機變量X（t）[5]，因而出現了一系列與事實不符的謬誤。

圖6為1 000個布朗粒子的樣本軌道，所有樣本軌道x（t）在t時刻的函數值服從（0，tσ2）正態分布，但是對于其中的任何一條樣本軌道，都隨時間向遠離原點的方向擴散，顯然不具有正態分布的“對稱性”和“集中性”。

隨機過程理論混淆了樣本軌道與隨機變量之間的區別，無形中使研究對象從一條樣本軌道改變為所有樣本軌道的集合，并將隨機變量的統計特性當作樣本函數隨時間的演變規律，因而出現了“布朗運動樣本軌道服從正態分布”和“布朗運動樣本軌道處處不可導”的謬誤。

四、典型錯誤分析

維納根據愛因斯坦布朗運動理論“大量布朗粒子在某一時刻的位置分布服從正態分布”的結論，從隨機變量的角度對布朗運動進行了定義。

維納過程定義：設{X（t），t≥0}為隨機過程，如果

（1）{X（t），t≥0}為平穩獨立增量過程;

（2）X（0）=0;

（3）對任意的t≥0，X（t）～N（0，σ2），其中σ>0為常數。則稱X（t）是參數為σ2的布朗運動，或維納過程。

維納過程僅從空間維度定義了布朗運動隨機變量X（t）的統計特性，并沒有在時間維度上對布朗運動樣本軌道x（t）進行定義，因此，維納過程不能直接用來描述布朗粒子隨時間演變的過程。但是在隨機過程理論中，人們將X（t）當作布朗運動樣本軌道x（t）的定義及模型，推導出了與事實嚴重不符的謬誤。

以布朗運動樣本軌道可導性為例，如果布朗運動樣本軌道x（t）可導，則下述時間函數的極限存在

隨機過程理論在求解式（2）的極限時，用隨機變量X（t）取代了x（t）[6-7]，于是有：

式（3）為隨機變量的極限，根據維納過程定義，其方差為

當Δt趨于零時，式（4）趨于無窮大，式（3）的極限不存在，因此隨機過程理論得出了“布朗運動樣本軌道處處不可導”的錯誤結論，與物理學觀察實驗結果嚴重不符。

2010年，美國得克薩斯大學的李統藏成功測量到了直徑為3 μm的單個布朗粒子瞬時速度[8]。李統藏的實驗結果表明：布朗粒子的瞬時速度波形為白噪聲（圖7），布朗粒子的瞬時速度（導數）不僅存在，而且可觀測。

李統藏的布朗粒子瞬時速度測量結果在《科學》雜志上發表后在全球引起了極大反響，《科學》雜志專門為李統藏的論文配發了錄音采訪，《自然》雜志隨后也迅速報道了該實驗，美國明尼蘇達大學等學校的相關課程已經將該實驗作為教學內容。

事實上，根據維納過程定義中“布朗運動為平穩獨立增量過程”的假設，就可以得出單個布朗粒子的瞬時速度v（t）在不同時刻互不相關的結論，因此可直接寫出布朗粒子瞬時速度v（t）的自相關函數：

Rv（τ）=N0δ（τ），? ? ? ? （5）

式中：τ為時間間隔，N0為正實常數，δ（τ）為單位沖擊函數。

根據維納-辛欽定理，可得單個布朗粒子瞬時速度v（t）的功率譜密度：

Sv（ω）=N0， ? ? ? ? ? （6）

即v（t）的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布，表明v（t）為平均功率為N0的白噪聲n（t）。

由于單個布朗粒子的瞬時速度就是維納過程樣本軌道的導數，有

v（t）==n（t） ，? ? ? ? ? （7）

因此，可得維納過程樣本軌道x（t）的數學模型：

x（t）=x（0）+n（t）dt ，? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

即維納過程樣本軌道x（t）為白噪聲n（t）在[0，t]區間上的積分。

式（8）的積分上限隨時間t變化，因此維納過程樣本軌道x（t）為非線性時變數學模型。式（8）不僅能揭示單個布朗粒子的運動規律和大量布朗粒子的統計特性，而且還能預測單個布朗粒子未來的發展趨勢和變化結果[9]。

事實上，將式（8）的樣本軌道x（t）代入式（2），有

式（9）右邊為白噪聲n（t）在Δt區間上的算術平均值，其物理意義為白噪聲n（t）在區間Δt上的直流分量，因此，其極限存在并且有限，表示布朗運動樣本軌道x（t）可導。

五、結論

隨機過程是以數學為工具，研究并解決自然科學、工程技術和社會科學等領域中動態隨機現象及實際問題的應用數學學科，《隨機過程》教科書中出現的函數、概率和隨機過程基本概念錯誤，不僅導致隨機過程自身研究對象發生錯位，而且也為自然科學、工程技術和社會科學提供了錯誤的理論、方法及工具。“與實際結合，問題驅動”是應用數學學科發展的不竭動力和重要特征，因此，隨機過程學科必須要迅速糾正現有《隨機過程》教科書中的基本概念和研究方法錯誤，在全新范式下重建隨機過程樣本軌道理論。隨機過程學科樣本軌道研究方法的變革，將顛覆和改變現有自然科學、工程技術和社會科學對動態隨機現象的認識，引發一場持久廣泛的科學革命，同時也為中國的隨機過程學科進入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發展機遇。

參考文獻：

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[2]錢敏平，龔光魯，陳大岳，等.應用隨機過程[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3]方兆本，繆柏其.隨機過程[M].北京：科學出版社，2014.

[4]拋硬幣試驗誤差模型及分布規律[EB/OL].https：//zhuanlan.zhihu.com/p/344444585.

[5]王梓坤.布朗運動的若干結果[J].數學通報，1993（6）：35-38.

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[7]Gregory F. Lawler.隨機過程導論[M].張景肖，譯.北京：機械工業出版社，2013.

[8]Tongcang Li， S. Kheifets， D. Medellin， et al. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science， 2010（25）：1673-1675.

[9]高宏.公理化方法重建布朗運動理論[J].數學學習與研究，2020（23）：133-134.