以“辯”促“思”，助推深度理解
——以《分?jǐn)?shù)乘除法解決問題》練習(xí)課教學(xué)為例

文|朱 燕

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施“辯證式”教學(xué)，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì), 促進(jìn)學(xué)生的深度理解。下面筆者以《分?jǐn)?shù)乘除法解決問題》練習(xí)課教學(xué)為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^“辯證教學(xué)”促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，助推學(xué)生深度理解。

一、分析學(xué)生：在錯(cuò)題研究中發(fā)現(xiàn)“辯證需求”

作為“解決問題”教學(xué)中的重要組成部分——“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

1.學(xué)生錯(cuò)題的問診。

通過分析研究學(xué)生作業(yè)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在學(xué)完《分?jǐn)?shù)乘除法解決問題》之后，進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)，錯(cuò)誤率較高的主要原因是：

數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜。例如，“學(xué)校科技組有60 人，比書法組少，書法組有多少人？”這題的錯(cuò)誤率比較高。其中“比書法組少”是學(xué)生理解的難點(diǎn)，很多學(xué)生不理解關(guān)鍵句中的數(shù)量關(guān)系（單位“1”的辨認(rèn)錯(cuò)誤；比較量對(duì)應(yīng)的分率辨認(rèn)錯(cuò)誤；單位“1”與比較量的關(guān)系分析錯(cuò)誤），導(dǎo)致無法正確解決問題。

相關(guān)題目類型多樣。在同一情境中，“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”可以變換出多種不同類型的題目，且題目的難易程度也不同。從解題方法看：有些題目用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算，有些用分?jǐn)?shù)除法計(jì)算，還有些用乘加乘減計(jì)算，也有用列方程來計(jì)算；從題目難度分，可以分為簡(jiǎn)單、稍復(fù)雜和復(fù)雜三類。這對(duì)于概念不清的學(xué)生來說，理解起來確實(shí)有困難。

同一題型方法多樣。即使是同一道題，也會(huì)出現(xiàn)用多種方法來解決。解題方法多樣化拓寬了學(xué)生的解題思路，但也正是因?yàn)榻忸}方法的多樣化，使得部分學(xué)生被此所迷惑，個(gè)別學(xué)生原本就對(duì)數(shù)量關(guān)系分析有困難，再遇到多樣化的解題方法，就又增加了學(xué)習(xí)的難度。

2.辯證思維的需求。

這些對(duì)立、多樣的因素導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”理解不到位，出現(xiàn)了易混淆出錯(cuò)的情況。但復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系間存在聯(lián)系，多樣化的題型中具有共性，多樣化的方法里本質(zhì)相同，這說明“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”存在“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。如果能夠借助這一辯證關(guān)系，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化、多樣的問題題型模型化、多樣的解題方法溝通化，那么就能大大降低學(xué)習(xí)難度，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，提高學(xué)生的解題能力。

為此，筆者將從“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”所蘊(yùn)含的“對(duì)立統(tǒng)一”辯證關(guān)系入手，深入研究問題，以“辯”促“思”設(shè)計(jì)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生以“辯”悟“聯(lián)”，發(fā)展學(xué)生的“辯證思維”，助推學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

二、追本溯源：在教學(xué)內(nèi)容中尋找“辯證方法”

為了幫助學(xué)生更好地理解“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”，提升學(xué)生的解題能力，筆者縱觀“分?jǐn)?shù)乘法”與“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)內(nèi)容，尋找能夠使“復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化、多樣的問題類型模型化、多樣的解題方法溝通化”的教學(xué)方法，力圖構(gòu)建“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系，幫助學(xué)生正確理清數(shù)量關(guān)系，形成解決問題的解題模型，溝通多樣化算法之間的聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生的深度理解。

1.“觀”問題關(guān)鍵句，“探”辯證式的數(shù)量關(guān)系。

題型多樣的“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”中，關(guān)鍵句具有相似性，可將其分類歸納成兩類典型的關(guān)鍵句，分別是：一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾；一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾。

這兩類關(guān)鍵句雖然形式不同，但表示的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)意義相同，存在“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。其中第二類的數(shù)量關(guān)系比第一類更復(fù)雜，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

借助乘法分配律，我們可以把稍復(fù)雜的“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的數(shù)量關(guān)系，這樣就把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化了，可以大大提高學(xué)生的分析能力和解題能力。

歸納這兩類關(guān)鍵句中的所有數(shù)量關(guān)系，可整理成以下三種：一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾；一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾；一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾。這些數(shù)量關(guān)系本質(zhì)上都在研究“比較量”與單位“1”的“倍數(shù)問題”。只是第一個(gè)關(guān)鍵句中的分?jǐn)?shù)表示“比較量”對(duì)應(yīng)的直接分率，因此可以直接與單位“1”相乘；第二、三個(gè)關(guān)鍵句中的分?jǐn)?shù)表示“比較量”對(duì)應(yīng)的間接分率，所以先要把間接分率轉(zhuǎn)化成直接分率后再乘單位“1”進(jìn)行計(jì)算。

可見，只要把復(fù)雜的“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”轉(zhuǎn)化成“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，再分析其數(shù)量關(guān)系就非常容易了。辯證研究數(shù)量關(guān)系降低了學(xué)生分析關(guān)鍵句列數(shù)量關(guān)系的難度，而正確列出數(shù)量關(guān)系又是正確解答“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的保障。

2.“析”多樣化題型，“構(gòu)”辯證式的解題模型。

根據(jù)關(guān)鍵句中單位“1”的已知和未知，可以構(gòu)建“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的解題模型。因?yàn)閱挝弧?”×比較量對(duì)應(yīng)的分率=比較量，所以當(dāng)已知單位“1”時(shí)，用“分?jǐn)?shù)乘法解決問題”；當(dāng)未知單位“1”時(shí)，用“分?jǐn)?shù)除法解決問題”。

利用兩類典型關(guān)鍵句中“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系，可以把稍復(fù)雜的“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”。

把稍復(fù)雜的關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的關(guān)鍵句，這就把稍復(fù)雜的“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”，兩者之間“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系是建立“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”解題模型的關(guān)鍵。

3.“品”多樣化算法，“創(chuàng)”辯證式的解題方法。

在多種“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的題型中，“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法解決問題”錯(cuò)誤率最高，因?yàn)檫@類題型的解題方法最多。方法多樣化是一把雙刃劍，方法越多，越需要學(xué)生理解它們的區(qū)別與聯(lián)系，要求學(xué)生能夠透過多樣化方法的表象，抓住解決問題的本質(zhì)，從而游刃有余地利用多樣化方法正確解決實(shí)際問題。

“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法解決問題”有三種解題方法，分別是一種“分?jǐn)?shù)除法解決問題”和兩種“列乘法方程解決問題”。其中兩種方法的解題過程不同，但其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系是一樣的。第三種方法的數(shù)量關(guān)系與前兩種略有不同，不過根據(jù)乘法分配律可以相互轉(zhuǎn)化，由此得出，這三種方法存在著“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。

通過對(duì)比溝通這三種不同方法之間的聯(lián)系，構(gòu)建辯證關(guān)系，能幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除法解決問題”可以用“列乘法方程”解決的原因，感受到三種方法的區(qū)別與聯(lián)系，掌握多樣化的解題方法。

4.“思”乘除法意義，“明”辯證式的計(jì)算原理。

“分?jǐn)?shù)乘除法的意義”是“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的基礎(chǔ)與核心，學(xué)生只有理解意義，體會(huì)兩者“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系，才能在解決問題中合理地選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法解決問題，并能實(shí)現(xiàn)解決問題的方法多樣化。

“分?jǐn)?shù)乘法意義”與“分?jǐn)?shù)除法意義”既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，兩者存在兩層“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。

關(guān)系1：分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算。這是由除法的概念決定的。除法的意義表示已知兩數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。這個(gè)概念就是在乘法概念的基礎(chǔ)上衍生而成的，所以乘除法之間存在“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。

關(guān)系2：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這是由分?jǐn)?shù)的意義決定的。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義是把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。而平均分又是除法的內(nèi)在含義，由此就有了“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的計(jì)算方法，也就讓分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法有了另一層“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。

同一個(gè)數(shù)量關(guān)系之所以能寫出三種解題方法，正是因?yàn)椤俺ㄅc乘法”意義中的辯證關(guān)系。因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，所以可以借助方程把逆向思維的“分?jǐn)?shù)除法解決問題”轉(zhuǎn)化成順向思維的“列分?jǐn)?shù)乘法方程解決問題”。這有助于學(xué)生理解算理，掌握算法。而“分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法”獨(dú)有的辯證關(guān)系是正確計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的保障，只有掌握這層辯證關(guān)系，學(xué)生才能正確計(jì)算“分?jǐn)?shù)除法解決問題”。

三、實(shí)踐研究：在教學(xué)環(huán)節(jié)中培養(yǎng)“辯證思維”

1.轉(zhuǎn)化“問題關(guān)鍵句”，構(gòu)建辯證關(guān)系，降低學(xué)習(xí)難度。

【環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)】在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了找單位“1”、列數(shù)量關(guān)系的任務(wù)。讓學(xué)生根據(jù)這三個(gè)數(shù)量關(guān)系說一說：

（1）誰是單位“1”？

（2）你知道它所表示的數(shù)量關(guān)系嗎？畫圖驗(yàn)證。

（3）對(duì)比觀察，你能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量關(guān)系之間有什么聯(lián)系？

通過對(duì)比觀察，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同事物之間可能存在一定聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用“對(duì)立統(tǒng)一”的觀點(diǎn)去分析問題和解決問題，學(xué)會(huì)把復(fù)雜的關(guān)鍵句簡(jiǎn)單化，降低學(xué)習(xí)難度，為接下來的解題建模做鋪墊。

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比分析數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。】

2.研究“多樣化題型”，孕育辯證思維，建立解題模型。

多樣化題型能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生產(chǎn)生差異與對(duì)立的想法，當(dāng)見解產(chǎn)生差異與對(duì)立時(shí)，會(huì)激發(fā)爭(zhēng)辯與討論，由此產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)與見解就是“辯證思維”形成的過程。

（1）自主編題，形成素材。

教師出示研究問題，學(xué)生自主編題解答。

根據(jù)關(guān)鍵句，你能自己設(shè)計(jì)條件和問題，編寫一道解決問題并自己解決嗎？

（2）分類辨析，總結(jié)題型。

每位學(xué)生設(shè)計(jì)的條件和問題不可能完全相同，但由于題目中的關(guān)鍵句相同，使得學(xué)生設(shè)計(jì)的題目既有差異性又有相似性，形成具有研究?jī)r(jià)值的辯證素材。辯證素材具有思辨性，分類辨析這些素材有利于激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑和討論，孕育學(xué)生的辯證思維。通過分析對(duì)比學(xué)生的作品，就能把全班同學(xué)編制的題目按題目類型進(jìn)行分類。

根據(jù)關(guān)鍵句中單位“1”的已知和未知，可以構(gòu)建“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的題型。利用關(guān)鍵句中辯證關(guān)系，可以把“女生比男生少”轉(zhuǎn)化成“女生是男生的”是正確分析其數(shù)量關(guān)系解決問題的關(guān)鍵。

（3）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，構(gòu)建模型。

通過分類辨析，我們已經(jīng)把開放性的問題總結(jié)成四種題型。其實(shí)，借助辯證關(guān)系，我們還可以把這四種題型統(tǒng)一成一種解題模型：找單位“1”——男生人數(shù)；數(shù)量關(guān)系——男生人數(shù)×（1-）=女生人數(shù)；根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列算式或方程計(jì)算；反思檢驗(yàn)并寫出結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖：從現(xiàn)象到本質(zhì)，從對(duì)立到統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光尋找不同題型共性的解題模型，是強(qiáng)化學(xué)生辯證意識(shí)的有效途徑。】

3.聚焦“算法多樣化”，強(qiáng)化辯證意識(shí)，優(yōu)化解題方法。

其中，題型3 和題型4 是學(xué)生的易錯(cuò)題，也是部分學(xué)生理解的難點(diǎn)。例如，男生有250 人，女生比男生少，女生比男生少幾人？正確的解題方法有兩種：

對(duì)比兩種方法，第二種方法優(yōu)于第一種。這就是要學(xué)生理清解決問題的關(guān)鍵是理清數(shù)量關(guān)系，正確把握誰是比較量，比較量對(duì)應(yīng)的直接分率到底是多少。

【設(shè)計(jì)意圖：將不同的題目進(jìn)行分類、辨析、總結(jié)、建模、優(yōu)化，不僅提高了學(xué)生的解題能力，還發(fā)展了學(xué)生的辯證思維，促進(jìn)了學(xué)生的深度理解。】

4.研究“乘除法算式”，提升辯證能力，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)。

“乘除法算式”是“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的外在表象，數(shù)量關(guān)系是其內(nèi)在本質(zhì)，但表象與本質(zhì)之間是可以雙向交流、互相轉(zhuǎn)化的。對(duì)此，筆者設(shè)計(jì)了通過“乘除法算式”分析數(shù)量關(guān)系、編寫關(guān)鍵句的練習(xí)，力圖通過逆向思維，提升學(xué)生的辯證能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

（1）類比對(duì)照，遷移與應(yīng)用同推進(jìn)。

【問題設(shè)計(jì)】小明有故事書42 本__________，，漫畫書有多少本？

根據(jù)算式，補(bǔ)充信息。

【設(shè)計(jì)意圖：此題是一道逆向練習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和辯證思維。在類比對(duì)照中，鞏固學(xué)生以單位“1”的已知與未知判斷解決問題的計(jì)算方法，也能反向遷移，憑借算式判斷單位“1”的已知與未知，了解比較量對(duì)應(yīng)的分率，實(shí)現(xiàn)遷移與應(yīng)用的共同發(fā)展，提高學(xué)生的解題能力和辯證思維能力。】

（2）個(gè)性創(chuàng)造，創(chuàng)新與技能共發(fā)展。

【問題設(shè)計(jì)】小明有故事書42 本，__________，漫畫書有多少本？

如果在補(bǔ)充的關(guān)鍵句中要出示分?jǐn)?shù)，你還能想到哪些關(guān)鍵句？你會(huì)自己列式解決嗎？（只列式不計(jì)算）

【設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)解決開放性的解決問題能體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性化，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解題能力。同一情況下的多樣化題型是學(xué)生自主創(chuàng)新的智慧結(jié)晶，靈活解決多樣化題型是學(xué)生技能提升的體現(xiàn)。】

（3）對(duì)比強(qiáng)化，能力與思維雙提升。

分類匯總學(xué)生的作品，如圖：

縱向觀察：已知單位“1”，用分?jǐn)?shù)乘法解決問題，如圖中的①③⑤；未知單位“1”，用分?jǐn)?shù)除法解決問題，如圖中的②④⑥。

橫向觀察：“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）分率=比較量，如①和②；“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）（1+分率）=比較量，如③和④；“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）（1-分率）=比較量，如⑤和⑥。

四、對(duì)比評(píng)價(jià)：在前后測(cè)試中檢驗(yàn)“教學(xué)成效”

筆者采用“范希爾理論”的五個(gè)思維水平，對(duì)學(xué)生練習(xí)前后的思維水平層次進(jìn)行了界定及賦值，以此來檢測(cè)教學(xué)前后學(xué)生思維水平的變化，檢測(cè)教學(xué)的有效性。通過測(cè)試結(jié)果的分析研究，筆者認(rèn)為，上述辯證式的練習(xí)課教學(xué)，以“辯”促“思”，打通了兩個(gè)單元解決問題中的“隔斷墻”，讓學(xué)生在活動(dòng)探究中理解了這兩類問題的辯證關(guān)系，掌握了兩種題型的解題方法，發(fā)展了用“對(duì)立統(tǒng)一”觀點(diǎn)看問題的“辯證思維”。

經(jīng)過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)用分?jǐn)?shù)乘、除法解決的問題類型有了較為深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)兩者的辯證關(guān)系有了體驗(yàn)和認(rèn)知。這種認(rèn)知提升了學(xué)生解決問題的能力，也促進(jìn)了學(xué)生“辯證思維”的發(fā)展。