平行四邊形的存在性

何曉明

真題呈現

例 如圖1，在平面直角坐標系中，直線[y=-34x+3]與x軸、y軸分別交于點A，B，點C的坐標為（0，-2），若點D在直線AB上運動，點E在直線AC上運動，如果以點O，A，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.

破解策略

A，O兩點是確定的，D，E兩點是不確定的，可以先在直線AB上任取一點D，再將點D看作定點，這樣就轉化為三個定點了，然后以對角線為標準分類：①AO為對角線;②OD為對角線;③AD為對角線. 再分別畫出符合題意的圖形求解.

模型構建

第一步，分別以OA為對角線、OD為對角線、AD為對角線分類;第二步，畫出標準圖形;第三步，準確進行計算.

（1）OA為對角線.

畫出標準圖形：先在直線AB上任取一點D，作出平行四邊形，如圖2，當然這個圖形并不符合題意，其目的是借助圖形幫助思考，雖然此時點E不在直線AC上，但利用此圖可以更直觀地發現各條邊的關系，如OE[?]DA，因為點D在直線AB上運動，所以當點D運動時，點E在過點O且平行于AB的直線上運動，如圖3，這樣可以確定點E，再畫出標準圖形，確定點D，如圖4.

方法一：聯立直線OD與直線AB的解析式.

∵A（4，0），C（0，-2），易得[yAC=12x-2]，∵OD[?]AC，[∴yOD=12x]，將直線OD與直線AB的解析式聯立可得方程[12x=-34x+3]，得[x=125]，[∴D125 ， 65].

方法二：利用中心對稱計算.

∵直線AB的解析式是[y=-34x+3]，直線AC的解析式是[y=12x-2]，可設[D ][m， -34m+3]，[E] [n， 12n-2]，當AO為對角線時，可得[xO+xA=xD+xE，yO+yA=yD+yE， ]

即[0+4=m+n，0+0=-34m+3+12n-2， ]解得[m=125，n=85， ]

再將[m=125]代入[y=-34m+3]，得[y=65]，[∴D125 ，65].

（2）OD為對角線.

方法與第一種情況相同，畫出標準圖形：先在直線AB上任取一點D，作出平行四邊形，如圖5;借助圖形幫助思考，發現OE∥AB，可以確定點E軌跡，如圖6;確定了點E，再畫出標準圖形，確定點D，如圖7.

方法一：聯立直線OE與直線AC的解析式，求出點E的坐標，再利用坐標平移求出點D的坐標.

易得[yAC=12x-2]，∵直線AB的解析式是[y=-34x+3]，且OE[?]AB，∴[yOE=-34x]，解方程[12x-2=-34x]，可得點E的橫坐標為[85]，∴點D的橫坐標為[xD=85+4=285]，進而可得[D285 ，-65].

方法二：利用中心對稱計算.

設[D ][m，-34m+3]，[E ][n，12n-2]，當OD為對角線時，可得[xO+xD=xA+xE，yO+yD=yA+yE. ]請同學們自己完成計算過程.

（3）AD為對角線.

畫出標準圖形：先在直線AB上任取一點D，作出平行四邊形，如圖8;借助圖形幫助思考，發現DE[?]OA 且DE = OA ，可以確定點E軌跡，如圖9;確定了點E，就可以確定點D，如圖10. 經計算可得[D125 ，65].

問題變式

如圖11，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，頂點A，C分別在x軸、y軸上，頂點B的坐標為（3，4），點E在OC邊上運動，點F的坐標為（2，4）.? 將矩形OABC沿直線EF折疊，使點C落在AB邊上的點G處.

（1）直接寫出點G的坐標和直線EF的解析式;

（2）若點N在x軸上，點M在直線EF上，如果以點M，N，F，G為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.

解析：（1）（3，4 - [3]），[y=3x+4-23].

（2）點F和點G是定點，點M和點N是動點，所以此問可轉化為圖12，然后按照之前的辦法求解.不妨將x軸上的點N看作定點. 第一步，確定分類標準（類比上題的經驗，以對角線為標準分類：①FG為對角線;②GN為對角線;③FN為對角線）;第二步，畫出標準圖形，三種圖形的具體情況如圖13.

第三步：準確進行計算，過程略.

答案：[（1+433，8-3）]，[（1-433，-3）]，[（3-433，3）].

（作者單位：遼寧省沈陽市渾南區教育研究中心）