巧用求根公式解幾何題

胡錦秀

一元二次方程的求根公式是代數中的一個重要公式，巧妙運用該公式可解一些平面幾何題. 現舉四例，供同學們參考.

例1 如圖1，已知銳角三角形ABC中，AD⊥BC于D，AD = BC，H為△ABC的垂心，P為線段BC的中點. 求證：[PH+HD=12BC.]

證明：如圖1，連接BH并延長交AC于E.

由題意得[∠BDH] = [∠AEH] = 90°，∴[∠DBH] = [∠CAD]，∴△[BDH] [∽] △[ADC]，

∴[BDDH=ADDC=BCDC]. ∴[BD]·[DC] = [BC]·[DH].

又∵[BP=PC=12BC，∴12BC+PD12BC-PD=] [BC]·[DH].

整理得[14BC2] - [DH]·[BC-PD2=0].

可將其看作以BC為未知數的一元二次方程，

由求根公式有[BC] = [DH+DH2+PD212]（負值舍去），

∵DH2 + PD2 = PH2，∴[BC=DH+PH12]，

∴[DH+PH=12BC.]

例2 如圖2，已知梯形ABCD的面積為S，AD[?]BC（AD < BC），AC，BD相交于O，[S△AOB=] [29S]，求[ADBC]的值.

解：[∵AD?BC，∴S△DOC=S△AOB=29S.]

設[S△AOD=S1， S△BOC=S2，則S1+S2=59S.]

又∵[S△AOBS2=S1S△DOC]，∴[S1]·[S2=29S2.]

因此[S1，S2]是方程[x2-59S]·[x+29S2=0]的兩根.

由求根公式有[x] = [59S±59S2-4×29S22] = [59S±39S2]，∴[x1=49S]，[x2=19S].

[∴S1=19S， S2=49S.∴S1S2=14.]

∴[ADBC=S1S2=12.]

例3 如圖3，已知：△ABC中，[AB=AC， ∠A=36°， BD]是∠ABC的平分線. 求證：[BC=5-12AB].

證明：∵[∠A=36°]，[AB=AC]，∴[∠C=∠ABC=72°].

又∵BD平分∠ABC，∴∠1 = 36°，∠2 = 72°，∴AD = BD = BC，

∴△ABC∽△BCD，[∴BCAC=DCBC]，

即[BC2] = [AC]·[DC] = [AB]（[AB] - [BC]），∴BC2 + BC·AB - AB2 = 0，

可將其看作以BC為未知數的一元二次方程，

利用求根公式得[BC=-1+52AB]（負值舍去）.

例4 如圖4，△ABC為☉O的外切三角形，切點為D，E，F，且[AC]·[BC] = 2[AD]·[DB]，求證：△ABC為直角三角形.

證明：由題設易得[AD=AF]，[BD=BE]，[CE=CF]，

∵[AC]·[BC] = [2AD]·[DB]，

∴（[AD+CE]）（[CE+DB]） = [2AD]·[DB].

整理得[CE2] + [AB]·[CE] - [AD]·[DB] = 0.

可將其看作以CE為未知數的一元二次方程，利用求根公式得[CE=-AB+AB2+4AD·DB2]（負值舍去），即CE [=-AB+AB2+2AC·BC2]①.

又∵AB + BC + CA = 2AB + 2CE②，由①②整理可得[BC2+CA2=AB2.]

∴△ABC是直角三角形，且∠C = 90°.

由以上例題可以看出，利用求根公式不僅能夠解答與一元二次方程有關的代數問題，也可以巧妙解答幾何問題，同學們在學習中要多總結、勤運用.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）