畫圓求解　簡單快捷

劉冰

解決綜合性、技巧性比較強的平面幾何問題，若能根據(jù)題目的特征，聯(lián)想到圓的有關(guān)知識，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助圓，往往可化繁為簡，化難為易，找到簡捷的解題途徑.下面舉例說明.

一、已知圓心和半徑作圓

例1 如圖1，已知AB = AC = AD，∠CBD = 2∠BDC，∠BAC = 44°，則∠CAD的度數(shù)為 .

分析： 由AB = AC = AD可聯(lián)想到圓的定義，構(gòu)造以點A為圓心、AB為半徑的圓，借助同弧所對的圓周角相等來求解.

解： 如圖2，以點A為圓心，AB為半徑作⊙A.

∵∠CBD = 2∠BDC，∠CAD = 2∠CBD，∠BAC = 2∠BDC，

∴∠CAD = 2∠BAC.

∵∠BAC = 44°，∴∠CAD = 88°. 故填88°.

點評： 共端點的等線段問題，常作以公共端點為圓心、等長線段為半徑的圓，然后利用圓的有關(guān)性質(zhì)使問題迅速獲解.

二、作三角形外接圓

例2 如圖3，在銳角三角形ABC中，已知∠ABC = 2∠C，∠ABC的平分線BE與AD垂直，垂足為D. 若BD = 4 cm，求AC的長.

分析： 根據(jù)∠ABC = 2∠C，可構(gòu)造△ABC的外接圓，借助圓周角定理及弦、弧之間的關(guān)系求解.

解：如圖4，過A，B，C三點作⊙O，延長BE，交圓于F，連接AF和CF. ∵∠ABC = 2∠ACB， BE平分∠ABC，∴∠ACB = ∠ABF，∵∠AFB = ∠ACB，∴∠ABF = ∠AFB， ∴AF = AB. 又∵AD⊥BF， ∴BD = FD = 4 cm， ∴BF = 8 cm. ∵∠CBF = [12]∠ABC = ∠C. ∴[⌒][CF] = [⌒][AB]，∴[⌒][CFA] = [⌒][BAF]， ∴AC = BF = 8 cm.

點評： 共頂點的等角問題，常作以公共頂點為一個頂點的三角形的外接圓，從而使等角與輔助圓中有關(guān)角的性質(zhì)建立起聯(lián)系，使問題得以簡捷解決.

（作者單位：山東省棗莊市第四十一中學(xué)）