皮亞杰認知發展理論在“圓的面積”教學的應用

陳巧玲

南寧師范大學初等教育學院 （廣西南寧市 530000）

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“課標”）對“圓”這一內容的要求最早出現在第二學段，具體目標為：通過觀察、操作了解圓的特征、會使用圓規畫圓、探索并掌握圓的周長和面積公式。在認識圓的面積之前，學生已經熟悉半徑的定義，也知道如何使用圓規畫圓。根據課標的要求，實際教學活動中要以實踐活動引領學生學習，加強學生動手操作、自主探索的能力，在探求知識的同時，引導學生體會和掌握有關的數學思想方法，同時教師合理用好生活素材，凸顯其教學價值。結合課標要求和李曉梅對圓的教學建議，本文總結出“圓的面積”教學可以分為四個部分：即畫圓環節、表達環節、探索環節和總結環節。從心理學角度來說，這四個教學環節是符合皮亞杰認知發展理論的，通過整理文獻發現，皮亞杰認知發展理論曾被廣泛應用在小學數學不同知識點上，比如金軒竹根據皮亞杰認知發展理論將小學生對小學數學速度概念的理解與認知階段進行劃分，又比如章勤瓊認為小學生對分數不同意義的理解是符合皮亞杰認知發展規律的。但是皮亞杰認知發展理論在對小學數學“圓的面積”教學研究的理論審視較少。鑒于此，本文將在認知理論的基礎上，提出針對小學數學“圓的面積”教學的有效策略。

1 皮亞杰認知發展理論的主要觀點

根據皮亞杰認知發展理論，皮亞杰將兒童的認知發展劃分為四個階段：感覺運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。皮亞杰認知發展理論對各個年齡階段兒童的認知發展能力做了一個階段性的劃分，得出不同年齡階段兒童的認知發展水平現狀，在這里可以將其看作是一個學習者能獨立達到的水平。人教版關于“圓”的內容安排在六年級上冊，根據皮亞杰認知發展理論，這一時段的兒童處于具體運算階段向形式運算階段的過渡，布魯納的結構主義理論認為，在這一階段，如果我們向兒童提供具有挑戰性且合適的機會，也可以引導學生智力發展，激勵他向下一階段發展，因此在實際教學中，教師可以把皮亞杰認知發展過程特點與教學過程進行對應，本文以“圓的面積”教學為例，根據皮亞杰認知發展理論將教學過程劃分為四個階段：感知階段（畫圓環節）-語言表達階段（表達環節）-具體操作階段（探索環節）-總結驗證階段（總結環節）。

2 “圓的面積”認知發展階段的劃分

2.1 感知階段——感知半徑與圓面積之間的關系

感知運動階段對應的兒童年齡為0～2 歲，該階段的嬰兒靠感覺與動作認識周圍的世界。即使學生的認知發展到了具體運算階段感知，不可否認的是在實際教學和學生學習中，感知對學生知識的建構是必不可少的，而這一特征正是對應了我們教學中導入環節的感知階段，在這一環節里教師需要聯系學生的生活或實踐提供一定的條件，為學生學習新知識提供一定的感知性材料，幫助學生更好地溝通新知與圖式中已有的觀念，促進學生對新知的理解。

比如在“圓的面積”這一課中，我們需要提供一定的材料讓學生感知半徑與圓的面積之間的關系，雖然很多教材在“圓的面積”這一子單元前會傳授學生關于半徑的關系，但是在學生正式學習圓的面積公式之前，教師卻鮮少提供機會讓學生感知圓的面積和半徑之間的關系，因此，本文認為在教授“圓的面積“這一課時，教師需要通過一定的手段讓學生理解半徑與圓的面積之間的關系，比如教師可以讓學生用圓規在紙上想辦法畫出不同大小的圓，并探討圓規該如何調整才能劃出更大的圓等問題，一步步地引導學生直觀地感受半徑與圓的面積之間的關系。

2.2 語言表達階段——引導學生表達出半徑與圓之間的關系

皮亞杰的認知發展理論認為處于前運算階段的兒童經歷了通過感知運動階段后，能熟練地運用符號表征事物，并用符號從事簡單的思考活動。同樣的，課堂教學在導入階段讓學生感知了半徑和圓的面積關系后，下一個階段即表達階段就要引導學生用語言或者符號等方式表達出半徑與圓之間的關系。

心理學家霍華德·加德納認為個體具有八種不同的智力，分別是：音樂智力、身體運動智力、邏輯數學智力、語言智力、空間視覺智力、人際交往智力、自我認知智力，其中語言智力指的是個體生成和使用語言的技能，而邏輯數學智力代表了學生進行問題解決和科學思考時的技能，每種智力相對獨立但一起發揮作用，也就是說在培養學生問題解決問題、發展學生智力的同時，不能只關注學生邏輯數學智力的發展，也應該結合語言智力等能力的作用。因此，我們在進行“圓的面積”教學時，不能僅僅通過教師的講授或者學生的操作幫助學生理解圓的半徑和圓的面積之間的關系，教師應該采用“適中的問題”對學生進行提問，引導學生說出半徑與圓的面積之間的關系：半徑越大，圓的面積越大。這一結論就是從上一個環節中畫圓的步驟中得出來的，這個結論不能只是由教師直接告訴學生，而是應該讓學生通過實實在在的操作總結出來的。關于什么是“適中的問題”，布魯納認為“適中的問題”就是既能符合學生當下的認知，但是又能促進學生前進的難易適當的問題。

2.3 操作環節——運用“轉化”的策略推導面積公式

皮亞杰認為處于具體運算階段（7-12 歲）的兒童思維特征是主動且恰當地使用邏輯，這一階段的兒童不再只是受事物的表象影響，他們會運用認知和邏輯過程去回答，但是，要幫助他們理解還是需要具體事物的支撐。人教版教材“圓的面積”在教授學生如何計算圓的面積時，就是采用了具體的“轉化”策略，溝通學生圖式中相關知識與新知識之間的聯系，將學生認知結構中已有的相關知識遷移到新知識的學習上，通過具體操作幫助學生計算圓的面積。因此，在引導學生運用“轉化”策略完成計算，并推導出公式的過程對應具體運算階段的特點，即具體操作階段。

首先要確定“轉化”策略，提取學生認知中關于圖形轉化的認知—平行四邊形、三角形“轉化”成其它圖形的方法來推導出它們的面積計算公式。接著引導學生探討該如何把圓進行轉化，這個步驟對于大部分學生來說是比較有難度的，教師可以通過課件演示或者讓學生進行剪裁，引導學生通過對比觀察體會到圓被分割的扇形面積越小，拼出的底邊就會越接近于直線，這一步的處理至關重要，為進一步做出數理上的邏輯分析和合情推理做出鋪墊，只有學生理解了這個概念，學生才能更深入地理解“無限分割，化曲為直”的數學思想。然后通過課件把轉化好的圖形展示給學生看，引導學生說出自己的觀察，最后得出結論：隨著剪拼的份數不斷增加，拼出的圖形逐漸變成長方形。在這個過程中，我們使用了直觀的教學方式，將圓的轉化過程具象地呈現在學生面前，為學生提供了一條邏輯清晰的認知路徑，發展學生的抽象思維能力和空間想象能力，由此也可以看到，信息技術手段的運用對學生抽象認知的發展的貢獻不可忽視。

2.4 總結環節——推導公式，并用公式解決問題

當一個學生進入了形式運算階段，就代表他已經發展出抽象思維能力，皮亞杰認為大約在12 歲左右學生就進入了形式運算階段，通過采用邏輯的形式原則，學生能夠抽象地思考問題，而不再局限于具體的術語，他們可以通過進行簡單的實驗和觀察實驗結果來系統化地檢驗自己對問題的理解，在“圓的面積”最后一個總結推導的環節，對應的就是學生發展抽象思維能力的過程，即總結環節。

在總結環節里分為三個重要的步驟。第一步教師要聯系前面學生得出的結論：半徑越大，得到的面積就越大，并同時對學生提出論題：那圓的面積可以用圓的半徑表示出來嗎？第二步教師需要引導學生簡單地總結我們把圓的面積轉化成長方形的面積的過程，這一步也對應了進行實驗驗證的過程，第三步教師應該引導學生通過對實驗結果的觀察，對學生提出“適中的問題”引導學生發現圓的半徑與圓的面積的關系，在這一步學生通過觀察實驗結果得出結論，并學會用數學符號將結論通過數學的形式表達出來，即圓的面積公式，教授學生學會用面積公式解決有關的圓的面積問題，提高學生解決問題的能力。綜上所述，學生推導圓的面積公式的過程，就是學生通過進行簡單的實驗和觀察實驗結果，驗證“圓的半徑與圓的面積存在實質性的聯系”論題的過程，之后還需要通過適當的練習幫助學生系統化地檢驗自己對問題的理解。在最后的總結環節里，學生不再是簡單感知和表達問題，也不是通過動手將知識具象化，而是進行了更復雜，認知程度更高的概括活動，并將知識反復驗證得出結論的過程，在這個環節里培養了學生邏輯推理的能力，使學生學會初步使用形式運算來解決問題。

3 認知發展理論對教學的啟示

根據“最近發展區”理論，學生需要通過與能力更高的同伴合作和教師指導的方式來幫助個體達到潛在發展水平。但由于個體差異性，每個學生的自身能力發展水平與潛在發展水平不盡相同，因而學生得到的發展也不同。教學應該走在學生發展的前面，引領學生的發展，在現行的班級授課制中，筆者針對教學如何適應學生發展差距的不同，結合認知發展理論，提出有利于小學數學教學的幾點啟示。

3.1 提供機會豐富學生感知經驗

皮亞杰認為，人的知識來源于動作，動作時感知的源泉和思維的基礎。嬰兒通過抓取獲取感知經驗，小學生雖然積累了一定的感知經驗，可以在頭腦內進行一定的邏輯性運算和簡單的具體性推理，但是教學面對的是全體學生，學生的感知經驗具有差異性，因此在實際教學中，教師應該在導入環節結合教學目標，提供更多的機會讓學生對教學內容進行感知，適當地拉近學生感知經驗的差距。在“圓的面積”實際教學中，往往教師會跳過感知導入這一環節，有一部分學生因為缺少聯系認知結構中相關知識的自覺和能力，從而造成感知的差異，很難察覺到圓的半徑和圓的面積的關系，即使之后學生學習了圓的面積公式，能用數學公式把圓的面積和圓的半徑之間關系表達出來，也會因為缺少感知階段而無法深入地理解兩者的關系。因此教師應該提供機會豐富學生的感知經驗。

3.2 通過表達強化學生的認知結構

兒童的語言發展與其他認知活動（如思維、記憶）的相互作用是不可忽視的，學生的語言發展受到期認知圖式的影響，同時學生學習構建認知結構的過程也受其語言能力的制約，因此在教學活動中需要重視學生語言表達的過程，突出學生在課堂中的主體性。從建構主義視角出發，學習環境由情境、協作、會話和意義四個要素構成，其中情境時意義構建的基本條件，教師與學生之間、學生與學生之間的協作和會話是意義構建的具體過程，意義構建則是建構主義學習的目的。由此看出，教學中學生需要通過交流或者表達建構知識，發展學生的認知。因此，在實際教學開展階段，教師可以通過師生互動或者團隊合作的方式，鼓勵學生表達自己的意見，通過不同觀點的沖突、碰撞、補充、修正，加深每一個學習者對當前問題的理解。

3.3 展示具象發展學生抽象能力

皮亞杰認為小學階段的兒童處于具體運算階段，雖然這一階段的兒童認知相較于前運算階段的兒童認知有了很大的發展，具有去中心化、可逆性，以及掌握物品守恒等特點，但是在這一階段兒童的運算仍然需要借助具象完成運算。學生在推理圓的面積并運用以符號形式存在的圓的半徑和圓的面積的關系都離不開數學抽象，學生抽象能力的發展需要通過活動不斷積累后天經驗，提高直觀能力。除了可以通過媒體向學生展示拼剪圓的過程，教師也可以組織學生通過合作的方式完成拼剪，再對比拼剪結果幫助學生掌握圓的轉化過程，有利于在兒童大腦中構建圓的轉化的圖式，為學生以后的圖形幾何學習打下堅實的基礎。

3.4 適當練習提高學生應用能力

小學生掌握數學概念不是一蹴而就的，必須通過適當的練習和應用來加深對概念的理解。因此如果學生想要真正地理解學習的知識，只停留在概念的理解層面是不夠的，還要求學生必須學會靈活應用。只有通過實踐與應用，學生才能更好地鞏固與拓展他們所學的知識，數學知識也才能轉化為數學素養。教學中教師可以提供相似情境，讓學生“舉一反三”運用概念，也可以創設新的情境讓學生學會遷移運用，從而實現對概念的鞏固和深化。在學習“圓的面積”后，除了給學生布置適當的書面作業鞏固知識外，教師也可以安排一些實踐性的活動讓學生學會測量圓的面積，或者給出圓的面積讓學生學會剪出對應的圓形。這樣不僅強化了學生對概念的全面理解，而且體會了數學的價值，提高學生解決日常生活中相關問題的能力。