彰顯知識的成與用：培養學生數學抽象素養的教學

鄧皓月 仲秀英

[摘 ?要] 數學抽象是在具體情境中從數量關系與空間形式的角度抽象出數學對象.數學抽象的結果反映出不同水平的數學抽象素養. 彰顯數學知識的形成與應用全過程，有助于培養學生的數學抽象素養.

[關鍵詞] 數學抽象;數學應用;數學抽象素養

數學抽象素養在人的數學學習、理性思考、智力發展、科學探究和實踐應用中具有重要的作用，培養學生的數學抽象素養是基礎教育數學教學的重要任務. 了解數學抽象的基本過程，明晰數學抽象的結果與數學抽象素養的水平，能為培養學生數學抽象素養的教學提供參考依據.

數學抽象的基本過程

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的學科，數學知識是由表達空間形式和數量關系及其特點的數學概念、公式、法則、性質與思想方法組成的.哲學家康德認為人類的一切知識都從直觀開始[1]，數學知識的形成亦如此，始于直觀，成于抽象. 通過觀察直觀事物或現象，發現其規律、特點、屬性，得到符號化、形式化對象，建構出數學概念、公式、法則等數學知識，這是一種“直觀化”的數學抽象. 例如，畢達哥拉斯在參加宴會時，偶然發現地磚之間的數量關系，從而得到所有的直角三角形斜邊的平方都等于兩直角邊平方之和，形成勾股定理，這就是建立在直觀經驗基礎之上的抽象，可以稱之為“直觀化”抽象.通過對已經抽象出的數學符號、公式與法則等進行拓展與延伸得到更形式化的對象，是一種“形式化”抽象. 例如，將勾股定理進一步延伸可以得勾股數組及其性質、不定方程x2+y2=z2，xn+yn=zn等數學模型，這是建立在對對象表達形式化、符號化基礎之上的抽象.兩種形態的數學抽象的基本過程都包括了感知對象、探索發現、概括共性與形成數學模型等四個基本環節.數學抽象是形成理性思維的重要基礎，直觀化抽象基于經驗直觀，形式化抽象基于一定的邏輯推理，但兩者都是從形和量及其關系的角度抽取研究對象的本質屬性以建構數學知識的過程，數學知識是數學抽象的結果，反映了數學的本質特征.

數學抽象的基本結果

通過對研究對象的形和量及其關系的抽象，其結果在數學上主要表現為數學概念、數學命題、數學思想方法、問題解決模型等基本形式.

數學概念是對事物或現象的規律、性質和特點的高度概括，具有高度抽象性、邏輯性與系統性[2]. 它的產生和形成有兩種基本途徑：其一是基于對現實事物或者現象的觀察、分析，概括出本質屬性，形成概念;其二是對已有的概念進一步限制或者拓展，得到新概念. 形成數學概念一般包括感知情境、發現共性、概括本質屬性、給概念下定義等四個基本環節.

與數學概念類似，數學命題也是數學抽象的結果. 數學命題是數學定理、公式、法則的統稱. 數學命題的形成也表現為兩種基本途徑：一是在具體情境中，通過對問題的探索與發現，抽象出關于某個研究對象的性質或判斷，形成命題;二是在已有命題基礎之上，對這些命題進行分析和演繹，提出一個新的命題.形成數學命題的過程可以概括為問題情境、提出猜想、驗證猜想、形成命題等四個基本環節.

在運用數學概念和數學命題的過程中，蘊含了豐富的數學思想方法，形成了諸多的數學模型，例如數學中的化歸思想、轉化思想、方程思想、函數思想以及具體的問題解決模型等. 這些方法、思想和數學模型反過來又在數學抽象的過程中發揮著作用，影響著人們的思維與決斷.

數學抽象素養的水平

數學抽象的類型不同，抽象的結果也不盡相同.不同的結果反映出不同水平的數學抽象素養. 例如，從運動變化的觀點出發，在直觀的情境中抽象出函數概念：“在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數.”這是用變量的觀點定義函數，反映出借助直觀情境建構數學知識的數學抽象素養.從集合與映射的觀點出發，運用對應的觀點定義函數：“設A，B是兩個非空集合，按照確定的對應關系f，如果對于集合A中任意一個x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，則稱f是從集合A到B集合的函數”，這是在多個概念之間建構出內在的數學關系，能反映出相關概念之間的邏輯聯系，是一種形式化抽象.顯然，后者的抽象程度更高，所體現的數學抽象素養也更高.數學抽象程度的高低，反映出數學抽象素養的高低.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》[3]中對數學抽象素養從情境、知識、技能和應用”四個方面進行了水平劃分（見表1），成為目前我國數學教育工作者評判學生數學抽象素養發展的重要依據.

培養數學抽象素養的教學舉措

數學抽象素養是指在具體情境中能夠從數量關系與空間形式的角度抽象出數學對象，并能應用數學知識與數學技能進行解釋與應用的關鍵能力.

表1中數學抽象素養呈現出的不同水平表明，數學抽象素養是在不同情境中抽象、解釋與應用數學知識和數學技能時加以體現并逐步養成的. 數學抽象素養的養成依托于情境，是一個不斷經歷抽象、反省抽象的過程，是個體在數學建構、數學理解、數學應用、數學思維、數學發現的過程中反復修煉、自主生成數學經驗，形成數學知識的過程，也是對數學知識不斷積累、自我反省、反復練習的過程[4]. 因此，彰顯數學知識的形成與應用全過程，遵循數學抽象產生與應用的內在機制，按照感知情境、數學探究、適度形式化、數學應用的環節進行教學，讓學生經歷數學知識發生、形成與應用的全過程，有助于培養學生的數學抽象素養.

1. 感知情境：創設適于數學抽象的環境

數學知識是數學研究者在特定的環境下數學抽象的結果，其存在的形式往往已經剝離了原有的具體情境而顯現出符號化、形式化的特征. 如果直接呈現這些知識，學生不僅難以理解與接受，也缺失了抽象素養養成的環境基礎. 創設一個有利于學生進行數學抽象和運用數學抽象的情境，是培養學生數學抽象素養的基本前提.

從數學知識的形成過程可以發現，數學抽象的情境主要有現實情境、數學情境、文化情境三種基本類型. 能夠促進學生進行數學抽象的現實情境往往是學生熟悉的、感興趣的、有意義的生活情境. 例如在初中黃金分割教學中，可以學生熟悉的斷臂維納斯圖片為例，固定維納斯的身高，創設一個通過幾何畫板不斷改變維納斯上半身長與下半身長變化的情境，讓學生在感知情境的變化中抽象出“比”“黃金分割比”“黃金分割數”等概念. 教師教學中，假定肚臍點以上為上半身，肚臍點以下為下半身，運用幾何畫板，上下拖動維納斯的肚臍點，維納斯的上半身與下半身的長度隨著點的拖動不斷變化. 學生在這樣動態的情境中感受維納斯美感的變化，認識到維納斯從美到不美的原因是上下身長的“比”值在變化，抽象出從“比”的角度去刻畫維納斯美的變化，進而認識到當比值在某一固定值時，維納斯才具有美感，從而抽象出黃金分割比和黃金分割數的概念. 當學生知道黃金分割數之后，又可以創設具有現實意義的情境讓學生進行解釋與應用，例如創設在一棟30層樓高的大廈買一套理想樓層的房子，應該選擇多少層的問題情境，或者創設在某景點的一座塔上修建一個觀光臺，請學生建議如何確定觀光臺位置的情境，引導學生將情境中的問題抽象為求線段的黃金分割點的問題. 學生主動探究并對新學概念加以解釋與應用的過程，有助于數學抽象素養的培養.

能夠促進學生數學抽象的數學情境往往是學生在學過的數學知識的基礎上發現新問題的情境. 這種情境可以是對原有的現實情境進行變式，也可以是純粹從數學知識內部提出問題的情境. 例如，教學“圓”的定義可以創設的現實情境是在一個平面上，固定一根細繩的一個端點，拉直這根細繩，探究另一個端點在這個平面上繞著前一個端點旋轉一周形成的圖形. 將此情境進行變式：在一個平面上有一根細繩，固定這根細繩的兩個端點，用一支鉛筆在這個細繩中間的任一點拉直這根細繩并旋轉一周，探究該點形成的軌跡，這就創設了探究橢圓定義的數學問題情境.學生在探究過程中逐漸抽象出“平面上，一個動點，兩個定點，動點的軌跡，動點到兩個定點距離和為定值，動點到兩個定點距離和與兩個定點之間的距離之間的關系”等數學屬性，從而抽象出橢圓的概念. 當然，也可以直接類比圓的定義創設數學問題情境，在圓錐曲線教學伊始，教師可以提問：如果平面上到一定點的距離為定值的點的軌跡是圓，那么平面上到兩個定點距離的和、差、積、商為定值的點的軌跡分別是什么？這樣就創設了探究橢圓、雙曲線以及其他圖形的數學問題情境，學生可以在這樣的問題情境中直接抽象出變化的量和不變的量及其之間的關系，建構新的數學概念.

數學知識在形成的過程中不乏很多具有教育意義的數學史料和數學故事. 能夠促進學生進行數學抽象的文化情境主要是指將具有啟發意義的數學史、數學故事作為情境，以及以與其他學科相聯系為特征的情境，例如通過講解畢達哥拉斯學派與第一次數學危機產生的背景，創設出“無理數”概念教學的情境;引入李白詩句“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”，創設出“極限”概念教學的情境;引入古語“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，創設出“無窮小”概念教學的情境等等. 這種蘊含了數學關系能夠引起學生情感共鳴的文化情境，有助于激發學生用數學的語言去表達情境，用數學的知識和技能去思考與探究情境.

2. 數學探究：經歷知識形成與抽象的全過程

好的情境能夠有效激發學生的好奇心和求知欲，數學探究便是滿足好奇心與求知欲的主要數學活動.數學探究是學生針對情境中的現象或問題，運用數學符號進行表達、運用數學技能進行思考、計算、作圖、假設、猜想、推理與證明的數學活動. 數學探究并非是一個獨立的教學活動，它是數學教學過程中的一個基本環節，它和情境相銜接. 情境是探究的前提，例如，黃金分割教學設計中，在教師呈現給學生舉世聞名的雕塑——斷臂的維納斯的圖片的情境中，提出“若維納斯的高度不變，將其腿部拉長或縮短，則這幅圖是否還美”的問題，會促使學生產生好奇心并主動去探究. 學生通過觀察、試驗后發現，假設維納斯頭頂用點A表示，腳底用點B表示，維納斯的身高就可用線段AB表示，以圖片中維納斯的肚擠為分割點，記為點C，這樣維納斯被分成了上半身AC和下半身BC，假設AB=1，BC=x（x>0），則AC=1-x，通過探究與對比，發現斷臂維納斯最美時上半身和下半身的比例滿足=，代入未知量，列出等式=，解得x=≈0.618. 由此，在用線段表示維納斯身高、建立等式尋求最美比值的探究活動中，黃金分割點、黃金分割比、黃金分割數等概念呼之欲出.

3. 適度形式化：表征數學抽象的結果

形式化是指將抽象出的結論、規則用數學語言、符號加以表述.形式化是數學抽象中重要的一步，通過探究活動所得到的特征、關系、規律、性質等內容，經過“形式化”處理，轉變成某個數學概念、公式、法則、定理或者某個問題解決模型，從而具有了數學形態. 例如在黃金分割教學過程中，學生探索維納斯上半身與下半身長度的比例關系其實就是線段AB上有一個點C，使得=，這就得到了分割比，設AB長度為1，得到AC∶BC=≈0.618，這就是分割數，線段AB被點C分割，所以點C為分割點.由于此比例下的物體在視覺上給人一種舒適的美感，故這個數被公認為最具審美意義比例的數字，像黃金一樣珍貴. 在此基礎上，世人將滿足=的比稱為黃金分割比，將或0.618稱為黃金分割數，C點稱為線段AB的黃金分割點.

4. 數學應用：數學抽象素養培養的核心載體

經歷知識的形成過程，能在相關情境中抽象出數學概念與數學命題，這僅是數學抽象素養形成與體現的中間層次. 能在綜合的情境中抽象出數學問題，創造性地使用數學方法解決問題，并能用數學語言解釋社會和自然現象，這是形成較高水平數學抽象素養的體現和保障，也是培養學生數學抽象素養的高層次教學目標. 從數學抽象素養不同水平要求的描述中可以發現，情境、抽象出數學問題、應用數學方法、應用數學語言成了關鍵詞組. 其中，“數學應用”將這些關鍵詞組有機地結合在一起，從而“數學應用”成了培養和評價學生數學抽象素養的核心載體，也是培養學生數學抽象素養的基本途徑. 數學應用是指在具體情境中用數學知識、數學思想與數學方法解決具體問題的過程. 在此過程中，個體需要不斷地對已有的數學知識與技能進行反省、抽象與重組，抽象出更一般的解題方法或問題解決模型，最終使問題得到解決. 例如，要在一座塔上找到修建觀光臺的黃金位置，如何去尋找這個黃金位置呢？由于黃金分割數是一個無理數，在現實情境中精確找到黃金分割點并不容易，這就需要學生對黃金分割數從代數結構上分析其幾何意義. 欲構造黃金分割數，只需要構造出-1;要構造-1，就得構造. 該如何去構造這個無理數呢？我們知道直角邊的邊長分別為2和1的直角三角形其斜邊為. 現在將塔頂端到塔底部看作線段AB，設AB為2個單位長度，作AD垂直于AB且長度為1個單位，連接BD，便構造出了BD等于. 以D為圓心、DA為半徑作弧，交BD于點E，便在BD上截取出了BE等于-1. 此時如何將相關數據轉化到線段AB上呢？以B為圓心，BE為半徑作弧，交AB于點C，得到BC的長度為-1，AC的長度為3-. 現在，線段AC的長比上線段BC的長的值等于線段BC的長比上線段AB的長的值，為黃金分割數，由此方法找到的點C即為黃金分割點. 其實，這種作圖方法最早是由古希臘數學家海倫發現并抽象出來的，因此，該方法又被稱為海倫作圖法. 海倫作圖法將數轉化為形，是數形結合思想的完美體現.

參考文獻：

[1] ?康德. 純粹理性批判[M]. 鄧曉芳，譯. 北京：人民教育出版社，2004.

[2] ?林京榕，陳清華，董濤. 數學抽象素養培養策略[J]. 數學通報，2020， 59（02）：19-22.

[3] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] ?趙思林. 數學核心素養的培養策略[J]. 數學通報，2019，58（05）：28-32.