從中考題探索初高中數學知識的銜接

摘 要：近年來，隨著高考改革的逐步深入，廣東省高考逐步采用了全國卷，廣東省的中考也采用了廣東省組織統一出卷考試方式.在的考試背景下，本文通過研究中考題，站在初中教學的觀點來思考初高中的銜接問題.主要關注在中考改革的背景下，初中教師在教學中有哪些內容可以拓展，可以更長遠地培養學生的數學思維，讓學生順利地適應高中數學的學習.因此，作為初中教師，筆者認為需要多研究初高中銜接問題，既在初中的層面研究中考題，也要在更高維度深入剖析中考題，深入思考初高中知識的聯系與銜接.

關鍵詞：中考;初高中銜接;數學教學

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0014-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：陳曉嵐（1993.1-），女，廣東省佛山人，本科，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

1 引言

2021年廣東省數學中考試題公布之后，引起了教研人員、一線教師及數學愛好者的熱議.2021年中考與高中銜接的內容非常多，筆者認為，中考數學試題撇去偏、難、題量大等問題，更重要的是給我們一個明確的方向——中考將與高中有更緊密的銜接.本文選取2021年廣東省中考題第9題、第10題、第23題，從解題思路、與高中數學知識的聯系及教學啟示等方面來進行剖析.

2 典例分析

例1 （2021年廣東省卷第9題）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=pp-ap-bp-c.這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（? ）.

A.5? B.4? C.25? D.5

2.1 試題分析

經過簡單化簡可求出a+b=6，S=5ab-5，即要通過a+b=6求S的最大值.利用初中階段的重要數學思想 “消元”，即可以把b=6-a代入S=5ab-5，得S=5a6-a-5，通過配方法得到S=5·-a-32+4，所以當a=3時，S的最大值為25，答案選C.

本題考查的是利用消元思想和二次函數知識求最值，但是因為考查的形式比較新穎，是以“海倫公式”為切入點，先入為主地給學生心理壓力，學生會因為不認熟悉這個公式而慌神，導致一下子沒有思路.再者，這道題難在沒有直接給出二次函數，需要學生代入消元才在根式中出現二次函數，所以消元與根式也給學生造成了解題阻礙.2.2 與高中數學知識的聯系

本題從a+b=6，S=5ab-5，再次分析，可以看出關鍵在于通過a+b的值求出ab的最大值，那么最直接考查的知識應該是高中的基本不等式a+b2≥ab，而且a>0，b>0，當a=b時，取得最值.從而得到當a=b=3時，ab=9，此時S=5·9-5=25.

例2 （2021年廣東省卷第10題） 設O為坐標原點，點A、B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB.連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y軸距離的最大值（? ）.

A.12? B.22? C.32? D.1

2.3 試題分析

以下兩種解法是初中階段的解答方法，都是在函數背景中，利用相似三角形和隱圓的知識找到滿足條件的點C位置，從而解決本題.根據初中知識本題考查學生的作圖能力、數形結合思想，函數和幾何的綜合運用能力.

解法1 如圖1，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設OE=a，OF=b，由拋物線解析式為y=x2，則AE=a2，BF=b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設點D（0，m），因為DG∥BH，所以△ADG∽△ABH，于是DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b.化簡得：m=ab.

有因為∠AOB=90°，所以∠AOE+∠BOF=90°，又∠AOE+∠EAO=90°，所以∠BOF=∠EAO，又∠AEO=∠BFO=90°，所以△AEO∽△OFB.所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，化簡得ab=1.則m=ab=1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）.又∠DCO=90°，DO=1，所以點C是在以DO為直徑的圓上運動，所以當點C到y軸距離等于此圓半徑12時，點C到y軸距離的最大.

解法2 如圖2，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，又因為AO⊥BO，所以△AOE∽△OBF.

設A（a，a2），B（b，b2），

所以OEBF=AEOF，即-ab2=a2b，化簡得ab=-1.

所以B（-1a，1a2）

設AB：y=kx+m，把A、B代入得m=1.所以直線AB必過點D（0，1），OD=1，于是點C是在以DO為直徑的圓上運動，所以當點C到y軸距離等于此圓半徑12時，點C到y軸距離的最大.如果跳出初中知識的限制，這道題還有兩種解法，分別涉及基本不等式和對勾函數.而且這兩種方法會更加直接，不需要結合圖形，用純代數的方法即可解出.

解法3 由解法1和解法2，均可以得到AB：

y=kx+1①

則OC：y=-1kx②

聯立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k.

由基本不等式的變形ba+ab≥2（a>0，b>0）可知，

當k>0時，k+1k≥2，x≥-12;

當k<0時，-k+-1k≥2，x≤12;

當k=0時，x=0.

綜上所述，點C到y軸距離最大為12.

解法4 由解法1和解法2，均可以得到

AB：y=kx+1①

則OC：y=-1kx②

聯立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k

如圖3，由對勾函數y=k+1k可知：k>0，當k=1時，k+1k的值最小，最小值為2，此時x=-12;k<0，當k=-1時，k+1k的值最大，最大值為-2，此時x=12.綜上所述，點C到y軸距離最大為12.

2.4 與高中數學知識聯銜接分析

基本不等式的解法（解法三）是高中數學研究函數最值時常用的方法之一.筆者認為解答此題時利用解法三思路清晰，不過要涉及基本不等式和分類討論，對于初中生的要求較高，初中階段還沒有接觸基本不等式.另外，本解法涉及的分類討論，雖然在初中學生已經有接觸和體驗，但是學生對分類討論的掌握仍然有困難.更多的初中生未必會選擇這樣的解法來求解.相反地，在高中階段更多地使用這種接法.因此，從解法三中我們感受到初高中在思維層面銜接上還有一些差距.

對勾函數的解法（解法四）是基于解法三的分析再結合圖像求解的，只不過是分類討論，解法直接利用對勾函數y=k+1k的圖象取得最值.根據圖像能很清晰地得到答案，相對于解法一、解法二要簡潔很多，不過利用對勾函數來解決問題是學生的盲區.如果能在教學中引導學生通過圖像來找最值，分析問題，并給學生充足的時間來思考，發展學生的數形結合能力，提高學生的數學素養.

例3 （2021年廣東省卷23）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

2.5 試題分析

解法一 如圖5，延長BF交CD于H，連接EH.

易得AC=AD2+CD2=12+12=2，由翻折的性質和正方形的性質，可證Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），然后證出△EDH∽△BAE，所以EDAB=DHEA=12，因為CH∥AB，所以CGGA=CHAB=34，所以CG=37AC=327.

本題解法一主要考查初中階段翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

解法二 由勾股定理和三角函數易得，

sin∠EBA=55，cos∠EBA=255，根據二倍角公式，得sin∠ABF=2sin∠EBA·sin∠EBA=45.

設BG=5x，BH=3x，GH=4x

由△AGH∽△ACB，得GHCB=AHAB，求得x=17

通過勾股定理求出CG=3272.6 與高中數學知識銜接分析

根據上述的題目分析，明顯可以看出，解法二比解法一所作的輔助線少、思維更加直接、所需的知識點少、證明過程簡潔等諸多好處，但是二倍角公式是高中數學三角函數的知識，初中只是接觸了簡單的銳角三角函數及簡單的誘導公式如cosα=sin90°-α，而且對于這個公式的使用也不多，僅僅處于了解的程度.所以，學生進入高中之后，一下子接觸眾多的二倍角公式、半角公式等，會明顯感到吃力.這也體現了初中和高中階段之間的知識層次及學習能力方面的的差距.

參考文獻：

[1] 2021年廣東省中考數學試卷.

[2] 張煒.淺談新課程標準下初高中數學教學的銜接[J].數學教學通訊，2020（30）：23-24.

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