例談含參絕對值函數最值問題的求解策略

翁建良

摘 要：本文針對易錯例題進行剖析，采用變式法、數行結合法談含參絕對值函數最值問題的求解策略.

關鍵詞：絕對值;最值問題;數形結合

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0006-03

1 例題——“單絕單參雙最”

例題 函數f（x）=x+4x-a（a∈R），當x∈[1，3]時，記f（x）的最大值為M（a），則M（a）的最小值為.

解法1 （換元法和圖象法）令t=x+1x∈2，103，則原函數轉化為g（t）=t-a，其中t∈2，103.

所以M（a）=max2-a，103-a.

在同一坐標系中畫出函數y=|2-a|和y=|103-a|的圖象，則M（a）表示的即為兩函數圖象上邊界部分.

于是當a-2=103-a，即a=83時，M（a）的最小值為23.

解法2 （利用絕對值三角不等式）

因為M（a）=max2-a，103-a，

所以可得M（a）≥|2-a|，M（a）≥|103-a|.

則2M（a）≥|2-a|+|103-a|

≥|2-a-（103-a）|=43.

所以M（a）≥23，當且僅當a=83時取到等號，即M（a）的最小值為23.

解法3 （幾何法——數形結合）

f（x）可理解為函數y=x+1x上的點與直線y=a的縱向距離，這樣我們就將問題轉化為兩個函數圖象縱向距離的最大值的最小值.

故f（x）的最大值M（a）=max{|2-a|，|103-a|}.所以M（a）min=103-22=23.

此時y=a=103+22=83.

評析 解法3利用數形結合思想將整個題目的難度降低，也將看似很難的題目變得簡單而又通俗易懂.如果將定義域改為x∈[12，3]，用解法3，結合圖象分析，可以發現M（a）的最小值只與函數y=x+1x的最高點和最低點有關，與端點無關.

2 拓展1——“單絕雙參雙最”變式1 函數f（x）=x+1x-ax-b（a∈R，b∈R），當x∈[12，2]時，記f（x）的最大值為M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 首先f（x）可理解為函數y=x+1x上的點與直線y=ax+b的縱向距離.

記M（a，b）=M，則x+1x-ax-b≤M.

即ax+b-M≤x+1x≤ax+b+M.

所以函數y=x+1x圖象夾在兩條平行線y=ax+b-M與y=ax+b+M之間，如圖1所示.

當兩條平行線間的縱向距離最小時，M（a，b）取到最小值，當M（a，b）取到最小值時，y=x+1x恰好夾在兩條平行線（圖中的兩條實線）y=52與y=2之間，如圖2所示.

此時直線（圖中的虛線）y=ax+b=52+22=94，此時a=0，b=94.

所以M（a，b）min=52-22=14.

如果將定義域改為x∈[12，3]，則y=x+1x的圖象恰好被圖3所示的兩條平行線夾在中間.圖3

此時lAB：y=13x+73，切點C（62，566），l切線：y=13x+263.故M（a，b）min=263-732=76-63.

此時y=ax+b=13x+263+732=13x+63+76.

3 拓展2——“雙絕雙參雙最”

變式2 已知函數f（x）=|x-a|+|1x-b|（a∈R，b∈R），當x∈[12，3]時，記f（x）的最大值M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 此題難點在于雙絕對值的結構.比較常見的突破點是分類討論去絕對值或者利用絕對值恒等式：|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

由絕對值三角不等式a-b≤a±b≤a+b，可得絕對值恒等式|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

因此有f（x）=|x-a|+|1x-b|

=maxx+1x-b-a，x-1x-a+b.

令f1（x）=x+1x-b-a，f2（x）=x-1x-a+b，g1（x）=x+1x，g2（x）=x-1x，則maxx∈12，3f1（x）≥103-22=23（當且僅當a+b=83時，等號成立），

maxx∈12，3f2（x）≥83-（-32）2=2512（當且僅當a-b=712時，等號成立）.

因此M（a，b）min=2512（當且僅當a-b=712時，取到最小值）.

評析 此題利用絕對值恒等式將兩個絕對值的問題轉變為一個絕對值的形式，從而把該問題轉化為例題的結構.

筆者通過對一道典型例題及其變式的研究，提煉出一類含參數雙絕對值最值問題的一般解法，即先利用絕對值恒等式將雙絕對值轉化為單絕對值，再利用數形結合將代數問題轉化為幾何問題，實現復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，代數問題幾何化，從而揭示問題本質，將難度較大的問題降維，完成一題多解到多題一解的跨越.

參考文獻：

[1] 李文東.已知函數的最值求參數的值或范圍問題的求解策略[J].數理化解題研究，2021（16）：34-35.

[2] 呂相紅.高中函數“最值”問題的求解策略[J].中學生數理化（教與學），2020（09）：90.

[責任編輯：李 璟]