變時滯反饋散料加工系統的參數設計

陳 寧， 張紅兵， 李萬祥， 李雄兵

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

散料加工機械中普遍利用料斗作為散料的臨時儲存設備，但是大多數的料斗下缺乏散料供給速度控制機構，散料的供給速度和消耗速度無法達到動態平衡，一般情況下導致原料的堆積，影響設備的生產效率。魏放等[1]通過模擬仿真研究，驗證了供料速度的增加降低篩分加工效率的可能性，篩面的大量物料堆積將降低振動篩的拋擲指數，而振動篩的拋擲指數是決定篩分加工速率的關鍵因素之一[2]。

利用控制系統對原料供給速度進行反饋調節控制是一種有效的解決方案，然而引入反饋控制環節意味著系統狀態參數之間的相互耦合性更強，系統的動力學行為更加明顯，如自激振動的發生[3]。在設備工作時，穩定的運動狀態是被期望的，一旦系統發生Hopf分叉，意味著系統的平衡狀態失穩。

當前的學術研究中，關于非時滯系統被動控制理論極為成熟，時滯系統尤其變時滯系統的控制穩定性相關工作較少，導致了變時滯系統的被動控制參數設計中可借鑒的依據方法比較少。

時滯是自然界和社會中普遍存在的現象，雖然其中有些延遲的程度極低，直到可以被忽略的程度，但是客觀存在的時滯現象是系統動力學研究中需要考慮的非線性因素[4]。如機械成型中的再生切削效應[5-6]、病毒的感染延遲傳播[7-9]、食物鏈中的撲食延遲[10]、以及反應擴散等[11]。其次時滯也被大量用于機械、電子等系統的穩定性控制[12-13]和人工智能等領域[14-15]，可見時滯對系統動力學不可忽視的影響。

目前對含時滯系統的研究主要針對在系統的穩定性分析和主動控制中的應用。穩定性分析的關鍵為對Hopf分叉的研究，研究時滯動力系統穩定性主要有兩類方法, 一類是基于Lyapunov函數/泛函方法；另一類是基于系統方程的特征根進行分析的方法[16]，其中采用特征多項式分析的案例較多。如在文獻[6-11,14-15]中均采用分析特征方程的方法研究時滯系統的Hopf分叉，其中文獻[9,11]中采取該方法分別對雙時滯和三時滯系統的Hopf分叉進行了一定的研究。其分析過程對理論水平和專業性的需求較強，需要做出大量的分類討論，得出特定結論的條件約束性較強，可普及性較差。

本文主要針對變時滯被動控制系統的參數設計展開研究，在部分參數被約束或者確定的條件前提下，期望確定其他參數的可選擇區間和范圍，繼而為設計工作提供理論和方法。

1 模型建立

系統模型如圖1所示，圖1中：A為給料模塊出料口;P為散料供給速度；受到加工模塊沉降信號Y的反饋調節，控制環節增益系數為α；物料從料口處自由落體至加工單元的時間為τ;定義加工單元接受的實時流量P(t-τ)為原料接收速度；B為加工模塊;M為加工單元中待處理的堆積原料質量；N為加工模塊的凈質量；Q為原料加工速度即堆積物料的消耗速度;加工模塊中的物料堆積會影響加工速度，相關比例系數為β;K為加工模塊支撐彈簧的剛度系數；C為系統配置的阻尼器阻尼系數；H為下料單元和加工單元的初始靜態高度差;Y為加工單元的垂向位移。重力加速度為G，t為系統的參考時間。

圖1 散料加工系統示意圖

該系統中，當堆積質量M>0時，堆積質量M的增加會導致處理速度Q的降低，當堆積質量為M=0時，處理速度將受到物料接收速度P(t-τ)的影響，此時需要滿足加工速度不大于受料速度，處理速度約束關系的表達式見式(1)。

(1)

在本文所有式(1)～式(30)中，在圓括號內的參數表示函數或者狀態變量的自變量，圓括號部分不參與乘法運算。

在系統中堆積質量M由物料接受速度P(t-τ)和處理速度Q的共同影響，表達式見式(2)。

(2)

如果原料供給速度P缺乏控制，極可能會導致堆積質量的持續增加，產生大量的物料堆積，形成惡性循環，最終降低系統的生產效率。

在此利用加工單元的垂向位移Y作為控制信號，反饋控制原料供給速度P，從而使系統保持穩定狀態，料斗出口端的流量表達式如式(3)所示。物料經過時間延遲τ之后，作用在加工單元質量N上，并造成一定的沖擊力Fp。假設沖擊過程符合完全非彈性碰撞和動量沖量定理，可求得物料對加工單元質量N的實時沖擊力Fp，沖擊力Fp的表達式為式(4),以及時間延遲τ的表達式為式(5)。

P(t)=max(P0-αY(t),0)

(3)

(4)

(5)

根據牛頓第二定律和式(2),可以求得系統的動力學微分方程表達式如式(6)所示。

(6)

代入式(4)，可以將式(6)降階為狀態微分方程式(7)，其中變量P和τ是關于狀態變量Y的表達式，具體關系見表達式(3)、式(5)。

(7)

(8)

(9)

(10)

2 穩定性分析

(11)

(12)

(13)

det(J-λI)=

(14)

在此假設其特征值形式為式(15)并代入式(14),分離虛實部分別可得式(16)和式(17)。

λ=ωi+υ

(15)

(16)

(17)

聯解式(16)、式(17)可得到參數[K,C]關于參數[υ,ω]的顯性解析表達式(18)、式(19)。

(18)

(19)

代入發生Hopf分叉的臨界條件為υ=0則可以得到發生Hopf分叉時剛度K和阻尼C關于參數ω的參數表達式。將已知的參數[υ，ω,K,C]代入式(16)、式(17),對[K,C](υ,ω)求關于υ的偏導數，并將各參數代入表達式，利用反函數的求導法則容易求得參數[K,C]對υ的導數。代入Hopf分叉的條件，則可以確定能使系統穩定的參數所在的區間，或者結合式(16)、式(17)亦可得到相同的結果。

(21)

然后利用如式(22)所示的參數轉化,可實現表達式(21)向表達式(23)的簡化。

(22)

-p3det(J-λI)=p3λ3+p2λ2-τCλ2+p1λ+

(23)

將式(15)的特征值形式代入式(23)并分解虛實部可分別得到實部平衡式(24)和虛部平衡式(25)。

(26)

p0+R1p1+R2p2+R3P3+Rλ=0

(27)

I1p1+I2p2+I3P3+Iλ=0

(28)

(29)

(30)

式中

3 算例分析及驗證

在完成理論的基礎上，接著對理論分析的正確性和合理性做出仿真驗證，采取理論成熟可靠的SIMULINK軟件仿真平臺進行理論方法驗證，建立系統的數學模型方程式(7)所對應的SIMULINK軟件仿真框圖模型如圖2所示。

圖2 系統的SIMULINK模型

在系統各參數的期望值附近取帶量綱算例參數P0=200 kg/s、α=20 (kg/s)/m、β=0.1 (kg/s)/kg、Q0=200 kg/s、G=10 m/s2、N=2 000 kg。求得有效的臨界穩定參數區域的邊界曲線如圖3所示，當參數[K,C]坐標在圖中曲線上時，系統將發生Hopf分叉，系統處于臨界穩定狀態。

圖3 臨界穩定條件

圖3中反映出，系統保持臨界穩定狀態的參數[K,C]組合中，一個剛度系數K最多可以和兩個阻尼參數匹配，在某些參數下，這樣的匹配關系無法成立，如τ=0.1 s、K=2 200 N/m時。但是一個阻尼參數至少和一個剛度參數相匹配，甚至可以和3個剛度系數相匹配，說明在參數的選擇上，剛度系數的選擇要比阻尼系數更為苛刻。在該系統中剛度可以決定平衡點的位置，阻尼可以決定系統的穩定性。

下面分別就存在臨界阻尼系數和不存在臨界阻尼系數的參數組合情況分別進行驗證。

3.1 有分叉解的算例驗證

C1=46.295 72 N/(m/s),ω1=0.903 915 rad/s

C2=168 33.96 N/(m/s),ω2=0.039 656 rad/s

目前，吸入性糖皮質激素在慢性阻塞性肺疾病治療中應用廣泛。有研究證實，吸入性糖皮質激素可降低慢性阻塞性肺疾病急性加重期發生率[30]。吸入性糖皮質激素具備強大抗感染作用，其抗感染機制包括抑制細胞膜磷脂釋放花生四希酸，從而減少炎癥介質白三烯、前列腺素的合成，抑制炎癥細胞活化與遷移，進而減少細胞因子生成。同時，吸入性糖皮質激素可增加慢性阻塞性肺疾病患者患者氣道平滑肌對β2受體激動劑的反應性，預防氣道重塑，減少血管滲出，緩解水腫，減輕患者炎癥病變、氣道堵塞感。

利用反函數的求導規則可知

因此當C∈(C1,C2)時，必定有υ≤0，說明阻尼系數在該區間時系統能夠保持穩定。通過模擬仿真得到系統參數C分別在C1和C2附近取值時的時間歷程圖,如圖4和圖5所示。

圖4 C=U(C1,5)時的時間歷程圖

圖5 C=U(C2)時間歷程圖

從圖4中可以看出，當C=40 N/(m/s)時，系統的瞬態振動發散，衰減指數大于零；當C=45 N/(m/s)時，系統的衰減指數接近零；當C=50 N/(m/s)時,系統的瞬態振動收斂。在C1的鄰域U(C1,5)內，隨著參數C的增大，自激振動衰減指數從正數遞減至負數，說明該鄰域內存在一個衰減指數為零的點。

從圖5中可以看出，當C=16 750 N/(m/s)時，系統的瞬態振動收斂，衰減指數小于零，系統給能夠保持穩定；C=16 834 N/(m/s)時，系統的衰減指數接近零；當C=16 900 N/(m/s)時,系統的瞬態振動逐漸發散。在C2的領域U(C2,80)內，隨著參數C的增大，自激振動衰減指數從負數增加至正數，說明在該鄰域內必定也存在一個衰減指數為零的點。

3.2 無分叉解的算例驗證

圖6 K=2 200 N/m時間歷程圖

當C=10 N/(m/s)時，系統具有簇發性周期振動的特點，當C=100 N/(m/s)時，系統的主要振動為周期運動，當C=1 000 N/(m/s)時，系統運動顯示為多周期運動，當C=10 000 N/(m/s)時，系統運動具有周期性。

3.3 抗干擾能力仿真驗證

通過對圖2分析可知，穩定狀態時滯越小，其參數的穩定區間越小，且在特定的剛度區間可能存在無解的狀態。同時可以發現剛度參數取K>2 500 N/m時，阻尼參數已經具有較大的可取范圍。在此取K=3 000 N/s，C=3 000 N/(m/s)，利用隨機激勵給系統施加一定的激擾，檢驗系統的抗干擾能力。

考慮系統的特點，散體的落料過程的激擾主要為孔隙導致的質量流量波動。在此對理想的原料供給速度P0按一定的百分比施加隨機激勵，仿真時間歷程圖如圖7所示，可見該參數下對20%內的原料供給速度波動具有抑制作用，并保持系統在設計的穩定點附近工作。

圖7 隨機激勵下穩定運動

其次通過前面的分析可知，在參數H和K已知的情況下，系統中最多可存在三重解，當系統受到擾動，并超出設計平衡點所對應的吸引域時，亦可能會導致系統跳出當前的吸引域從而轉移至其他平衡點。如圖8所示，當隨機激勵強度為25%時，系統狀態從設計期望的工作狀態失穩遷移至其他的平衡點處。同樣，在實際情況中，雖然由于彈簧的硬性特征和截斷特征，不會出現達到10 m的狀態躍遷，但是足以說明這種強度激擾下原Y=0.29 m的平衡點失穩的必然性。在此給出20%的擾動量已經遠高于一般工業現場情況，說明了選取的參數具備較大的調節能力。

圖8 隨機激勵下失穩運動

通過對上面的3組算例的仿真驗證說明，對于變時滯系統的被動控制系統的參數設計，首先確定參數的穩定區域，然后在該區域中選擇參數的方法和思路是可行有效的。

其次，由于確定參數的穩定區域的方法是基于自激振動的振動參數得出的，并且完全是其顯性表達式。當需要考慮外部系統減震隔震時，完全可以避免不利的頻帶進行設計。畢竟以現有時滯系統的分析方法，在已知系統參數的條件下，求取自激振動的頻率和衰減指數是極其困難的，大量的文獻也只是可以做到系統的穩定性分析。

4 結 論

(1)在研究過程中表明，變時滯系統和定時滯系統在平衡狀態的穩定性方面具有相似性，基于特征方程研究定時滯平衡點穩定性的方法同樣適合變時滯系統。

(2)在含時滯反饋的系統中，利用自激振動的動力學參數包括頻率和衰減指數反演對應的系統分叉參數是相對更容易的。

(3)在含時滯系統的參數設計時，在特征方程的基礎上跳過對特征值的分析，通過假設特征值在系統臨界穩定狀態時的參數，從而確定出參數的可選擇區域是可行的。

(4)最后的SIMULINK軟件仿真驗證證明，通過本文的方法選定的系統參數，具有一定的抗干擾能力，滿足系統穩定性要求。