《空間向量及其運算》（第1課時）教學設計

陳坤美

摘 要：本節課主要類比平面向量學習空間向量的概念和線性運算，主要包括七個教學環節.通過創設問題情境、設置問題串引導學生參與探究活動;借助立體幾何圖形幫助學生分析和理解概念;注重滲透類比、數形結合、特殊與一般、轉化與化歸的思想.

關鍵詞：空間向量;教學設計;類比思想

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）06-0020-04

1 內容解析

《空間向量及其運算》是人教A版《普通高中教科書·數學（選擇性必修）》第一冊（以下簡稱“教科書”）第一章《空間向量與立體幾何》的第一節內容，包括“空間向量及其線性運算”和“空間向量的數量積運算”兩小節內容，其中第1課時“空間向量及其線性運算”要學習的核心知識有：空間向量的概念;零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量、共面向量;空間向量的加法、減法以及數乘運算.這些核心知識是后續學習空間向量基本定理、空間向量運算的坐標表示、應用空間向量解決立體幾何圖形位置關系與度量關系的基石.

本節課的重點是：空間向量及其相關概念，空間向量的加法、減法以及數乘運算.

本節課的難點是：空間向量加法結合律的證明，用向量方法解決立體幾何問題.

2 學情分析

在學習本節課內容之前，學生已在人教A版必修第二冊中學習了《平面向量及其應用》和《立體幾何初步》內容.熟悉了平面向量的基本研究思路與框架即“實際背景→基本概念→向量運算（線性運算、數量積）→向量基本定理及坐標表示→向量的應用”，這也是研究和學習空間向量的基本路線.

3 教學目標

（1）了解空間向量的實際背景;理解空間向量及相關概念;掌握空間向量的加法、減法和數乘運算.

（2）經歷由平面向量的概念、運算推廣到空間向量的過程;通過空間向量加法結合律的證明體會維數增加對向量推廣帶來的變化;在證明空間四點共面的過程中明析立體幾何中向量方法的“三步曲”：用空間向量表示立體幾何圖形→向量運算→對運算結果進行幾何解釋.

（3）在借助幾何圖形解釋空間向量相關概念中進一步發展直觀想象核心素養，領悟數形結合的思想方法;結合空間向量的概念、運算與運算律證明四點共面的過程中提升數學運算和邏輯推理能力;從平面向量推廣得到空間向量、空間向量問題轉化為平面向量問題的過程中提升數學抽象素養，領悟類比、特殊與一般、轉化與化歸等思想.

4 教學策略

本節課采用創設問題情境，設置問題鏈引導學生類比平面向量層層深入學習空間向量的概念、線性運算、運算律和位置關系等內容.學生通過自主探究、生生交流、師生互動等教學活動參與學習過程，突破學習中的難點和疑點.利用幾何畫板、PPT等教學軟件繪制圖形、平移圖形、展示圖片，借助幾何直觀圖形幫助學生分析和理解概念.

5 教學過程

5.1 創設情境，導入新課

問題1 圖1是靜止在水平地面上重達20噸的集裝箱，對其進行受力分析并判斷這些力是否在一個平面上.

生：受到的力有重力和支持力，這兩個力在同一平面.

師：現用塔吊將集裝箱轉運（如圖2），此時集裝箱可能受到的力有哪些？

生：重力、四條繩子的拉力、風力等.

追問：這些力都在同一個平面上嗎？

師：請同學們閱讀本章的章前言，再結合章頭圖仔細閱讀本節的節前言.

師：通過閱讀我們知道無論是研究滑翔運動還是塔吊物體都需要利用空間向量，其實在解決很多現實問題的過程中都需要利用到空間向量如對橋梁、建筑的鋼架等的研究.本節課我們主要類比平面向量學習空間向量的概念以及線性運算（板書課題）.

【設計意圖】從現實問題出發，引出本節課要學習的空間向量，學生能從中體會平面向量推廣到空間向量的必要性.同時，引導學生閱讀章前言與節前言，明確本章以及本節的主要研究問題，成為整體內容的“先行組織者”.

5.2 類比平面，獲取概念

問題2 在必修教科書中是如何定義和表示平面向量的？

師生活動：教師引導學生復習平面向量的定義、表示法等概念，填寫表1“平面”列，學生再獨立類比完成“空間”列的填寫，最后師生共同總結空間向量的相關概念.

問題3 根據向量大小或方向的不同，可以分類得到哪些特殊向量？

師生活動：教師與學生一起回顧平面中學習過的特殊向量并填寫表2“平面”列，學生類比填寫“空間”列.觀察發現相等向量和相反向量都是特殊的平行向量.最后，強調在空間中我們仍規定：零向量與任意向量平行.

問題4 空間中兩條直線的位置關系有哪些？

生：共面（相交、平行）和異面.

追問：在圖3中直線AD與直線AD與BB1異面嗎？

師生活動：師生共同明確空間中的向量是自由的，且由相等向量的定義知我們研究的向量與起點無關，于是能將向量進行平移.由練習2知AA1與BB1相等，從而教師通過幾何畫板演示BB1平移到AA1的過程，這樣AD與BB1就成為同一平面內的兩個向量即兩者不是異面關系.

探究1 任意兩個空間向量a、b都可以通過平移成為同一平面內的兩個向量嗎？

師生活動：師生結合教科書“圖1.1-3”畫圖分析，同時利用幾何畫板做向量平移過程的動態演示.說明其中的依據和本質是“兩條相交直線確定一個平面，故起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面”.

【設計意圖】立足立體幾何知識，為學生學習空間向量找到知識生長點;利用信息技術實現師生更深入的交流互動，課堂內容更加生動直觀.

5.3 類比運算，證運算律

師：在學習了平面向量的概念之后，我們類比數的運算學習了它的線性運算，現在又知道空間向量的運算可以轉化為平面向量的運算，那能否把平面向量的線性運算推廣到空間呢？

師生活動：結合教科書中“圖1.1-4”和“圖1.1-5”對空間向量的加法、減法、數乘運算的運算法則進行直觀理解.

問題5 平面向量加法運算和數乘運算滿足的運算律有哪些？

生：平面向量的加法運算滿足交換律和結合律，數乘運算滿足結合律和分配律.

追問1：這些運算律對空間向量成立嗎？

探究2 如何證明空間向量加法的結合律？這與證明平面向量的結合律有何不同？

師生活動：師生共同回顧平面向量加法結合律的證明（如圖4）.

因為

AD=

AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）;

AD=

Ac+cD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c）;

所以a+b+c=a+b+c.

對于空間向量，若三個向量在同一平面則轉化為平面情形用圖4證明;若三個向量不在同一平面則類比平面畫出圖5來證明，同時結合圖5歸納總結得到以下結論：

（1）首尾相接的若干向量之和等于第一個向量的起點指向最后一個向量的終點所表示的向量.

（2）當首尾相接的若干向量圍成一個封閉圖形時，它們的和為零向量.

（3）兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.

【設計意圖】通過復習平面向量加法結合律的證明為空間中的證明給予一定的啟發.由于維數的增加，三個向量可能在同一個平面也可能不在，因此要分類討論進行證明，畫圖分析能幫助學生突破學習難點.

5.4 交流互動，共探關系

5.4.1 空間向量共線的充要條件

探究3 任意兩個空間向量a（a≠0）與b，a∥b的充要條件是什么？

問題6 a與λa有什么位置關系？

問題7 若b=λa，a與b有什么位置關系？

問題8 平面中，向量a（a≠0）與b共線的充要條件是什么？

【設計意圖】基于向量數乘的定義和平面向量共線的充要條件，設置三個問題引導學生得到兩個空間向量共線的充要條件.

師：我們知道兩點可以確定一條直線，且兩點構成的有向線段可以表示向量，圖6、圖7所示是由A、B兩點確定的同一條直線l，思考

AB與BA有什么關系？

生：它們互為相反向量、共線（平行）向量.

師：也就是說它們的主要差異是方向相反，那方向相反對直線l有什么影響？

生：這說明直線l有兩個方向.

師：總結得非常好！實際上，我們將AB、BA都稱為直線l的方向向量.一般地，在直線l上任取非零向量a（如圖8），我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.

師：如圖9，O為方向向量a的起點，P為直線l上的任意一點，結合向量共線的充要條件你能得到什么？

生：存在實數λ，使OP=λa.

師生總結：直線可以由其上一點和它的方向向量決定.

【設計意圖】在師生的一問一答和交流互動中有序推進課堂，緊扣直線的定義將向量知識串聯，學生在參與分析、回答、解決問題的過程中實現對知識的深化理解.同時，注重符號語言、向量語言、圖形語言三種語言的互補和轉化.5.4.2 空間向量共面的充要條件

師：在前面練習1中，部分同學找出的三個向量從圖中看似乎是不在同一平面，但老師告訴大家它們實際是在同一平面的，現在就作出合理的解釋.

師：任意兩個空間向量總是共面，三個向量可能共面也可能不共面，那么什么情況下三個向量共面呢？

探究4 對于任意兩個不共線的空間向量

a，b，向量p與向量a，b共面的充要條件是什么？

問題9 當向量p與向量a，b共面時，它們之間有怎樣的關系？（提示學生結合平面向量基本定理思考）

生：存在唯一的一對實數x，y，使p=xa+yb.

5.5 反思回顧，自主總結

（1）這節課主要學習了哪些內容？與平面向量相關概念有何聯系與區別？

（2）空間向量的線性運算滿足哪些運算律？如何證明加法的結合律？

（3）空間向量共線、共面的充要條件分別是什么？

（4）用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是什么？

（5）本節課主要涉及了哪幾種數學思想？

【設計意圖】圍繞本節課的重點、難點、

思想方法進行總結反思，促進學生把握本節課的知識結構.5.6 布置作業，達標檢測

（1）教科書第5頁練習2、4、5.

【設計意圖】考查空間向量的線性運算.

（2）下列命題中不正確命題的序號為

①若空間向量a、b滿足|a|=|b|，則a=b.

②兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同.

③向量AB與BA的長度相等.

④如果a∥b，b∥c，則a∥c.

【設計意圖】辨析空間向量的相關概念.

（3）設e1、e2是空間中兩個不共線的向量，已知

AB=2e1+te2，CB=e1+3e12，CD

=2e1-e2，且A、B、D三點共線，求t的值.

【設計意圖】考查空間向量共線的充要條件及其運算.

（4）證明：空間中P，A，B，C，四點共面的充要條件是存在有序實數對（x，y，z），使得對空間中任意一點O都有OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）.

【設計意圖】此題是對練習4的變式訓練，加深學生對空間向量共面的理解，滿足部分學生想多學一點數學的學習需求.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書數學選擇性必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：13.

[3] 劉長明.基于核心素養的“空間向量與立體幾何”教材設計與教學思考[J].中學數學教學參考，2020（31）：6-9.

[責任編輯：李 璟]