基于一道試題評析課“會診式”教學的“惑”與“獲”

摘 要：在一道試題的評析課中，教師通過讓學生自己分析，暴露解題中的錯誤（如片面性等），與教師共同參與初診、復診、會診的“會診式”教學活動，使學生在評析活動中掃清了解題過程中的各種障礙，學會解題，并能通過一道題的解答得出同種類型題的解題規律和技巧，達到觸類旁通.

關鍵詞：“會診式”教學模式;惑;獲

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）06-0033-03

“會診式”教學模式就是通過在課堂上呈現學生解題中出現的片面性錯誤或者思維障礙，由學生或老師通過初診、復診、（專家）會診，然后對它做出診斷的教學模式.在當前的以核心素養為本的背景下，采用“會診式”教學模式進行高中數學復習課教學，提高學生課堂的參與度，對培養學生的核心素養顯得尤為重要，本人就最近一堂期中考試題評析課的“會診式”教學的“惑”與“獲”與大家共勉.

1 問題的提出——不識廬山真面目，只緣身在此山中

題目 設函數f（x）=ln（1+x）-1-4x2，則使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范圍是（? ）.

A. （-1，13）∪（1，+SymboleB@） B. （13，1）

C. （-13，13） D. （13，12）

這是期中考試卷中的一道題目，根據評卷統計結果顯示，全年段有學生470人，做對的不到20人，通過與學生的交流，大部分學生不知道題目提供的信息，沒有思維方向，做對的同學大都是靠猜蒙對的，

為什么會出現這種現象呢？

2 問題的初診——橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同

上課鈴響了，我拋出上例.

師：同學們，你們看到此題，會想到什么？

生1：把x和2x-1代入f（x）的表達式，再解不等式.

師：這樣你來幫同學分析解答一下.

生1：興沖沖地走到黑板前，完成第一步代入后就做不下去了，無功而返.

師：強攻不行，應該智取，這時學生笑了.

那如何智取呢？這時學生2突然舉起手說，題目中有絕對值符號和平方，應該跟偶函數有關，而偶函數圖像關于y軸對稱……，這好像又不行，只見他繞繞后腦勺，這時學生哄然大笑.

這時我不慌不忙地說：“生2同學很聰明，他向成功又邁進一步.”這時全班同學丈二和尚摸不著頭腦.眼睛盯著老師，不知道老師葫蘆里賣什么藥.

師：因為f（-x）=ln（1+x）-1-4x2=f（x），所以可以判斷函數f（x）是偶函數，那怎么又向成功又邁進了呢？

生3：既然是偶函數，那就要分下列幾種情況討論.

①x≥02x-1≥0x>2x-1，②x≥02x-1<0x>-（2x-1），

③x<02x-1≥0-x>2x-1，④x<02x-1<0-x>-（2x-1），然后求這4種情況的并集就行.

師：生3回答得很好，下面請同學們動手做一下.

教室頓時靜下來，只有刷刷刷的寫字聲，過了幾分鐘，生4突然站起來說，老師，不用那么麻煩，因為f（x）是偶函數，所以f（x）=f（x），f（2x-1）=

f（2x-1），因此不等式f（x）>f（2x-1）就變為f（x）>f（2x-1）了.

師：這位同學回答得很好，我們掌聲鼓勵，這時課堂上掌聲一片.那么我們現在面臨著是如何解不等式f（x）>f（2x-1）了？

生5：要解不等式，只要判斷函數的單調性就行.因為y=ln（1+x）在x∈（0，+SymboleB@）是單調遞增，y=1-4x2在x∈（0，12）是單調遞減，所以函數f（x）=ln（1+x）-1-4x2在x∈（0，12）是單調遞增，因此不等式就變為x>2x-1了，只要兩邊平方一下、化簡得到3x2-4x+1<0，解得13<x<1.故選B.

3 問題的復診——峰回路轉臻佳境，水到渠成開鏡天

但是正確答案不是B，問題出在哪里？突然生5舉起手大聲說：“那函數的表達式不是沒用嗎？解題肯定有問題？”

師：正如數學家萊布尼茨說過：不發生作用的東西是不會存在的.既然給我們表達式，肯定有它的用途.

這時大家就開始議論紛紛，課堂開始熱鬧起來了，我胸有成竹地在教室里轉一圈，期待著“奇跡”的發生，但是學生看到我沒出聲，以為解題真的“出問題”，用期盼的目光也想看看老師的丑態.這時，我不慌不忙地走到講臺上說.

師： 同學們，你們能從函數的表達式中挖掘出什么知識寶藏嗎？

生6：函數的表達式隱含著定義域，可以看出函數的定義域為-12<x<12，又因為13<x<1，所以13<x<12.故選D.這時課堂上響起了熱烈的掌聲.

4 問題的會診——莫讓浮云遮望眼，除盡繁華識真顏

正如數學家諾瓦列斯說：“純數學是魔術家真正的魔杖.”通過分析，我們能夠從函數的表達式中找尋隱含在其中的函數的定義域，奇偶性、單調性，從而進一步解題，下面請同學整理一下.

解析 f（x）的定義域為{x|-12≤x≤12}.

∵f（-x）=ln（1+x）-1-4x2=f（x），∴函數f（x）=ln（1+x）-1-4x2為偶函數，∵y=ln（1+x）在x∈（0，+SymboleB@）是單調遞增，y=1-4x2在x∈（0，12）是單調遞減，

∴函數f（x）=ln（1+x）-1-4x2在x∈（0，12）是單調遞增，

∴不等式f（x）>f（2x-1）等價為f（x）>f（2x-1），

∴|x|>2x-1-12<x<12-12<2x-1<12，解得x的取值范圍是13<x<12，故選D.

5 問題的拓展——忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開

問題1：如果函數為抽象函數呢？

拓展1：定義在R上的偶函數f（x），其導函數

f ′（x），當x≥0時，恒有x2·f ′（x）+f（-x）≤0，若

g（x）=x2·f（x），則不等式g（x）<g（1-2x）的解集為（? ）.

A.（13，1）? B.（-SymboleB@，13）∪（1，+SymboleB@）

C.（13，+SymboleB@）D.（-SymboleB@，13）

解析 ∵f（x）是定義在R上的偶函數， ∴f（-x）=f（x），∵x≥0時，恒有x2·f ′（x）+f（-x）≤0，∴x2·f ′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）=x2·f（x），∴g′（x）=x2·f ′（x）+2xf（x）≤0∴g（x）=x2·f（x）在[0，+SymboleB@）為減函數，∵f（x）為偶函數，∴g（x）=x2·f（x）為偶函數，∵g（x）<g（1-2x），即g（x）<g（1-2x），∴x<1-2x，∴x2>1-4x+4x2，即（x-1）（3x-1）<0，解得13<x<1.故選A.

拓展2：已知函f（x）的定義域為R，其圖象關于直線x=2對稱，其導函數為f ′（x），x<2時，2f（x）+（x-2）f ′（x）>0 ，則不等式（x+1）2·f（x+3）<f（3）的解集為（? ）.

A.（-SymboleB@，2）?? B. （0，+SymboleB@）

C.（-2，0）? D. （-SymboleB@，2）∪（0，+SymboleB@）

解析 設g（x）=（x-2）2·f（x），則g'（x）=（x-2）[2f（x）+（x-2）f ′（x）]，

∵x<2，且2f（x）+（x-2）f ′（x）>0，∴g'（x）=（x-2）[2f（x）+（x-2）f ′（x）]<0，g（x）在（-SymboleB@.2）單調遞減，

∵函數f（x）圖象關于直線x=2對稱，∴f（-x）=f（x+4），

∴g（-x）=（x+2）2·f（-x）=（x+2）2·f（x+4）=g（x+4），即y=g（x）關于直線x=2對稱，不等式（x+1）2·f（x+3）<f（3），即是g（x+3）<g（3），

∴x+3-2<3-2=1，解得-2<x<0.故選：C.

還可以繼續拓展著…….

6 問題的升華——千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金.

數學家拉普拉斯說：“在數學中，我們發現真理的主要工具是歸納和模擬”.因為偶函數的圖像是關于y軸對稱，即關于直線x=0對稱，因此可以歸納如下：

結論：若定義在D=[t-m，t+m]，（m>0）上的函數f（x）關于直線x=t對稱，且在[t，t+m]上單調遞增（或遞減），且滿足f（ax+b）>f（cx+d），其中常數m>0，a、b、c、d、t為常數，則ax+b∈Dcx+d∈Dax+b-t>cx+d-t（或ax+b∈Dcx+d∈Dax+b-t<cx+d-t）

如果函數是關于某點成中心對稱，由于在對稱中心的兩邊單調性相同，比較簡單，限于篇幅，在此就不再評析.

7 教學感悟

在試卷講評課上，教師可以通過簡單的“告訴”讓學生知道答案，也可以通過讓學生自己分析，暴露解題中的錯誤（如片面性等），與教師共同參與初診、復診、會診的“會診式”教學活動，掃清了解題過程中的各種障礙，這比知識新授課給予學生的感覺更真實、更具體，學生更有成就感.

給學生“以上的一切”，這是F.克萊因的夢想，也是我們的夢想，習總書記關于中國夢的描述啟示我們：數學教學就是圓夢之旅，發展學生的數學核心素養是課堂教學永恒的追求，這是數學教師的使命與情懷.

參考文獻：

[1] 林建筑.一道差點被“錯殺”的市質檢好題

——高中數學復習課“會診式”教學模式的研究[J].上海中學數學，2015（7-8 ）：31-33.

[責任編輯：李 璟]