試從歐式幾何視角談中學數學幾何及其教學

王天姿

摘 要：出自歐幾里得之手的《幾何原本》，即對當時的幾何學的成果的總結再創造，標志著幾何教育活動的伊始.在我國的幾何部分的教學中，學生對于幾何的學習存在著一定的學習困難和畏難情緒，而幾何知識作為數學知識的重要組成部分之一，對于學生而言又是必不可少的.因此，作為教育者，在研究教育時，除了要對如何提升學生的直觀想象的素養進行研究之外，還應該對提高學生的空間想象能力進行研究，基于此，通過閱讀一些圖書，筆者大膽地對初中平面幾何的學習內容的弊端進行了分析，并對初中幾何教學提出了幾點展望.

關鍵詞：歐式幾何;中學幾何;中學數學;教學;展望

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）06-0039-03

1 平面幾何在中學數學學習中的地位

在初中數學的學習中，除了涉及到一些關于平面幾何的學習，大部分都是在進行“數”的運算和學習，有且只有平面幾何這一部分是涉及到了“形”的學習.幾何的學習對于學生的“邏輯推理”、“直觀想象”的核心素養的培養的地位是不容置疑的，可以說，學習幾何的優勢在某種程度上更能體現“數學”學習的本質.中學平面幾何以直線和圓為要素，引出了一系列的平面幾何的公理和定理，與高中立體幾何相比趣味性和技巧性更強，更能培養學生對于數學學習的興趣.

2 歐式幾何在幾何學中的地位

2.1 歐式幾何的歷史地位

世界上第一本幾何教科書，當屬再版次數最多，流傳最為廣泛的歐幾里得的《幾何原本》了.《幾何原本》的廣泛流傳，歐式幾何占領中學幾何課堂幾千年而歷久不衰，不僅說明歐幾里得的幾何學在科學領域的巨大成就，更說明了其在幾何教學領域的威望.

2.2 歐式幾何在數學學習中的地位

幾何，在數學的學習中有著舉足輕重的地位，它與代數的，分析的，組合的方法相輔相成.對于每一個熱愛學習數學的青少年來說，大多首先是幾何的愛好者.幾何的學習是幾何圖形的直觀性和數學學習邏輯的嚴謹性的二重奏，對于青少年來說，這不僅有利于左右腦智力的開發，也能增加學習效率，完善智慧，培養學生的空間思維能力.

3 從歐式幾何角度談幾何學習困難3.1 容易迷路的“歐式幾何”園林

如果將一門課程的學習，比作游覽一個城市.而課程的邏輯體系就好比城市的交通系統，一個好的交通系統，應該有一個“放射型”的交通中心，從中心出發，可以四通八達，站在中心，就可以有去任何地方的可行性方案.如果把幾何的學習比作一次旅行的話，幾何就好比一個瑰麗精致的古代園林，在園林中有目不暇接的美景，但卻容易迷路，因為找不到四通八達的車站，沒有一個“放射型”的交通中心.

3.2 串聯式的幾何學習

數學是一門系統性的學科，關聯性極強，在數學幾何知識的學習過程中，每一步都顯得那么重要，如果其中有一步沒走好，那么幾何學往前走的路也就斷了.筆者認為，歐式幾何的弊端在于，沒有一個俯瞰全局的制高點，它的邏輯結構是串聯式的.

3.3 孤立的幾何系統

幾何教學是整個學生教育的子系統.在研究數學教育的過程中，我們不禁要想，它和大系統匹配的如何呢？大系統有沒有對其提供盡可能的環境的支持？幾何系統為大系統做了什么貢獻呢？歐式幾何確實是一個美麗的系統，但其卻是一個相對封閉的系統.它既不會以學生們在小學階段所掌握的數學基礎知識為起點進行繼續學習，也不像代數那樣，能用有關方程的知識作為解題的銳利武器，雖然幾何擁有豐富多彩的習題，但其并沒有為其并肩的系統提供復習、鞏固、提高的用武之地.同時，也并未對將來要學習的解析幾何和高等數學起到鋪墊的作用，這確實令人遺憾.從數學這個大系統這個全局的需要的角度來考慮，對于幾何，應當建立起更合理，更容易學習，更能夠和歐幾里得體系相競爭且足以吸引學生的幾何體系.

4 中學生平面幾何的學情分析

4.1 已有幾何知識分析

在義務教育階段，學生學習的《圖形與幾何》內容主要有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的概念、性質和度量;圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影，平面圖形基本性質的證明;運用坐標描述圖形的位置和運動等等.

4.2 已有學習能力分析

學生在掌握《圖形與幾何》的基礎知識，基本技能的同時，空間觀念得到了一定的發展，在借助圖形思考問題的過程中，初步建立了幾何直觀.能夠對平面內一些基本圖形的性質進行邏輯推理和簡單證明，掌握了一些基本的數學符號和基本思想方法.

4.3 相關生活經驗分析

在現實生活中，學生能夠對生活中的物體進行抽象，并能夠明辨基本圖形.對生活中物體和物體的位置關系有一個感性認識.

4.4 幾何的教學目標4.4.1 經驗與知識相互轉化

學生作為課堂的主人，絕不是一個單純的接受知識的機器.而是一個個帶著已有的經驗的個體.而這些日常生活經驗，有的是在以往的學習中通過內化知識而來的，還有的是以自在地狀態存在于學生的腦海中.這些自由存在的經驗，就需要教師的輔助得以喚醒、改造，使學生能夠自覺地進入教學，這既能對當前的教學起到輔助的作用，又能對新的知識的學習得到進一步的提升.

4.4.2 活動與體驗

學生學習的知識是人類認識的“起點”，具有高起點性，也就是說學生學習的過程并不是知識發現或發明的過程，并不會像發現或發明過程一樣由錯誤到正確、有片面到全面一樣去經歷一次，而是直接學習某一個內容的最高成就.由于學生認識的直接對象并不是客觀事物本身，可能只是某種符號化的表達，因此教學其實走的是一條捷徑，雖然很快獲得結果，但這個過程是一個困難的過程.而學生的學習活動也并不是自主的，需要教師進行啟發、引領，伴隨著在活動中與老師、同學的交流、溝通、合作，體會知識及符號表達發現的過程，進而建立所學知識與客觀事物之間的聯系.

4.4.3 掌握知識本質

瑞典學者馬飛龍指出：“我們發現：學習結果與教師對教學內容的處理和組織有著較大的關系.最關鍵的是教師對教學中相同點與不通點、變與不變內容的呈現和處理.”學生是有已有經驗的個體，但學生的某些已有經驗是具有片面性的.教師此時可以通過舉例子的方式去引起學生的認知沖突，進而引導學生主動發現和探索知識的本質特征.恰當的正面例子有助于教師引導學生呈現教學內容，幫助學生迅速理解核心內涵.除了標準正例以外，還可以用一些非標準的正例和反例來揭示知識的關鍵屬性，有助于學生全面把握所學知識的本質特征.

5 對幾何教學的展望

對于歐式幾何內容的弊端，我們并不是責備，而是，作為一個教育者，我們如何使廣大的中學生更容易地繼承先輩留下的遺產.今天，我們比歐幾里得的時代擁有了更多的知識，比古人站的更高，望得更遠，我們能不能使廣大中學生降低幾何學習的難度變為現實呢？

5.1 對教材內容的展望

首先，幾何的教材內容應該直觀，生動，內容豐富，在學習的過程中應設置從易到難的豐富練習題，并且用引人入勝的方法引導學生學會解決一系列有難度的數學題目，包括一些古典名題，以建立起幾何學足夠的吸引力，和歐幾里得體系競爭.

5.2 與其他課程關系的展望

幾何學在和其他課程的關系上，應該與其他子系統應建立瞻前顧后的關系.比如，在小學幾何知識的基礎上，怎么利用這些知識引導學生進行進一步的學習呢？如何利用學生學習過的其他知識如代數方程來為幾何知識提供幫助呢？對于學生在不就得將來將要學習的高等數學，有一種如沐春風的感覺呢？回憶初中所學習的幾何知識，有一種受益非淺的感覺呢？這些都是作為數學教育工作者應該注重的關鍵點.

5.3 對幾何推理手法的展望

幾何的推理手法應當是非常簡潔的，教科書的邏輯體系相比歐幾里得體系的大加刪減.

幾何推理手法也理當是嚴密的，應當有自己的公理體系作為后盾.如果僅僅滿足于現有的數學材料，用拼盤的方法搞數學幾何教學，幾何的教學是無法前進的.

6 對幾何教學的一些思考

6.1 在呈現方式上的自然親切

經過對初中平面幾何內容的分析，作為或即將作為教育者，是否可以在呈現方式上，做到親切自然，激起中學生對于一些幾何知識的學習的信心和決心？因此，我們應該做的就是在數學知識的呈現方式上做到自然而親切，這樣更加有利于提升學生學習數學的興趣，從而提高學習的有效性.

6.2 對幾何教學過程的思考

不僅是在平面幾何，在整個中學數學教學的過程中，應該不僅僅只是簡單的傳遞過程，而學生不應該是對于上課內容的復制粘貼的簡單記錄，而是對于新知有一種主動學習的心理過程.作為教育工作者，如何去引導學生主動求知，使其將課堂上所學習的內容順應或同化到學生已有的經驗系統，是應該積極關注和解決的重要課題.基于此，在設計教學過程時，應當充分考慮到學生的過去學習過的頭腦中的已有知識，從而安排有利于學生知識正遷移的教學素材，防止負遷移.

綜上所述，基于歐式幾何的學科特點，似乎學生的畏難情緒有了一定的“緣由”，然而，將看似已經熟悉得不能再熟悉的幾何的性質定理，如何將其變幻出新鮮的花樣，優化幾何教學的效果，需要我輩等繼續努力.路途遙遠，來日方長，希望能通過不斷的溝通和討論中優化中學數學課程的教學質量，隨著時間的流逝，在各種數學交流活動中引起更多的思考，淘盡泥沙見真金.

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