信息技術與小學數學課堂教學的融合
——從一張A4 紙開始講起

陳偉鋒

（河北師范大學附屬小學，河北 石家莊 050011）

《義務教育數學課程標準》指出：“信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合。”可見將信息技術有機地融合在小學數學課堂中，具有重要的意義。

信息技術介入教育是一個自然而然的過程，因為在客觀上人們從來就無法抗拒。所以，具有實用與效率優勢的信息技術，如何在其自帶的工具理性與教育的價值理性之間找到結合點，便是現今課堂教學融合的關鍵點。

一、起始與設想

2020 年2 月22 日，中科院院士張繼平為全國青年帶來了一堂精彩的數學課，字字珠璣，句句箴言，盡顯了數學與數學家的魅力。張教授說，《九章算術》中的“算術”即為算法，算法正是我們今天計算機應用的基礎，我們正處于一個信息化、數字化的時代，計算機的優勢越來越明顯，但是機器最大的弱點在于它只能處理有限的、離散的數據，對于所有的無限的、連續的數據，還需要靠人把它化成有限的、離散的數據，然后讓機器去做，這就是算法，這就是把實際問題數學化、數學問題代數化、代數問題機械化的過程。中國古代數學已經開辟或奠定了數學機械化的道路，這是相當偉大的！

從《九章算術》到計算機應用編程，技術的革新一直伴隨著人類社會的發展，這節課就從一張A4 紙開始，以問題驅動的方式，力求創建一個有活力、有張力的課堂，促進所有學生的感官、情感和思維發展，探尋信息技術與小學數學課堂教學的有效融合。

二、設計與實施

本課教學基于問題驅動教學法，其中，問題驅動教學法即基于問題的教學方法（Problem-Based Learning，PBL），是一種以學生為主體、以專業領域內的各種問題為學習起點，以問題為核心規劃學習內容，讓學生圍繞問題尋求解決方案的一種學習方法。教師在此過程中的角色是問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者。

問題驅動教學法的典型特點是：1.學習過程以問題為激發和驅動，圍繞問題獲取知識與技能，構成一個螺旋上升的迭代發展的過程；2.以學習者為中心，通過實際操作、協作探究解決問題，教師為促進者、引導者，師生構成學習共同體；3.注重推理過程，使用各種學習工具和資源，幫助學生更有效地解決問題。

基于以上內容，分兩個部分將課程進行說明，分別是：內容設計和課堂實錄。

（一）內容設計

1.主題分析

本課主題來源于冀教版四年級下冊第五單元“分數的意義和性質”中的一道練習題：有一張長是18 厘米、寬是12 厘米的長方形紙，把它剪成邊長是整厘米數的若干正方形，不能有剩余，有幾種剪法？正方形的邊長各是多少厘米？這道題是通過對“邊長整厘米數的正方形”“不能有剩余”的分析，得出正方形的邊長應該是18 和12 的公因數；如果再加條件“正方形邊長最大是多少”或者“正方形最少有多少個”，問題的結果就是18 和12 的最大公因數了。基于對這道題目的理解，本節課的問題設計為：把一張A4 紙分成若干個正方形，你想怎么做？試圖把“邊長是否為整厘米數”“是否有剩余”和“正方形的個數”作為學生的質疑點，使他們在疑惑、思考和交流中加深對這些關鍵詞語的把握。適用于四年級及以上學生進行綜合實踐活動。

2.學情分析

教學對象為六年級學生，各方面情況分析如下：

（1）心理特點。隨著知識的積累和生活體驗的深化，開始注意對事物的分析和主觀體會，對同一問題能有自己的想法；在分析問題的過程中，可以找到主要矛盾，抓住事物的關鍵。但討論問題時所尋找的理由主要來自自己的生活感受，一般沒有更大范圍的論證能力，教學中需要提供更多的資源和技術支持。

（2）思維特點。第二學段是學生由形象思維向抽象思維發展的關鍵時期。學生逐步掌握和應用初步的科學定義，并嘗試獨立進行邏輯論證。這時的思維活動仍然要與直接的、感性的材料聯系在一起，具有很大成分的具體抽象性，而且思維缺乏批判性和靈活性，教學中要注意理性思考的設置和引導。

（3）知識與技能基礎。學生會用直尺測量長度；會求兩個數的公因數和最大公因數；有豐富的動手操作的經驗，能在分析的基礎上進行推理；有一定的空間想象能力，對極限有所認識；學生有進行本次活動的基本知識和技能儲備。

3.教學目標分析

知識與技能：能對給定題目內容進行分析并提出質疑；會通過折紙或者測量和計算得出正方形的邊長；能表達自己的想法也能認真傾聽他人發言并提出合理化建議。

過程與方法：學生經歷猜想、驗證和歸納的實踐活動，獲得解決問題的方法與經驗。在活動過程中，借助操作實驗進行推理，體會數形結合思想和代數化進程。

情感、態度與價值觀：在解決問題的過程中，激發學生學習和探索數學的科學精神，培養善于協作、敢于質疑和自我反思的學習品質。了解我國古代數學的偉大成就，產生對現代科學技術的強烈興趣，增強民族自豪感和民族責任感。

4.教學準備：A4 紙，直尺，鉛筆

（二）課堂實錄

教學環節一：提出問題，創設探究情境

師：今天的數學課就從一張A4 紙開始。（出示問題）把一張A4 紙分成若干個正方形，你想怎么做？

【設計意圖】思維起于問題、貫穿于求解于探究之中，問題驅動教學無疑是開啟高階思維的最大動力。

師：你覺得問題中的關鍵詞是什么呢？

生：A4 紙、若干、正方形……

【設計意圖】讓學生充分理解題目內容，明確具體要求，在調動舊知的同時提出疑問。

師：你對這個問題有疑問嗎？

生1：分的時候是平均分嗎？

生2：能有剩余嗎？

【設計意圖】使學生在疑問中思考，更加深入地理解題目要求；在分析、辨別條件的過程中，初步設計不同情況下解決問題的策略，產生探究的興趣。

教學環節二：自主探究，嘗試解決問題

師：剛才同學們給出了一些提示，在接下來的試驗中大家可以參考一下，如果有自己的想法了，就動手試一試吧！時間3分鐘，開始。

學生自主探究。1.通過折紙，連續找出A4紙上的正方形；2.測量A4 紙長和寬的長度，求出兩個數的最大公因數，以此數作為正方形的邊長，劃分A4 紙；3.用直尺和鉛筆，以1 厘米或者n 厘米為邊長，劃分出相同的正方形。

【設計意圖】讓學生把想法付諸于實踐活動中，在操作中逐步梳理、完善計劃，形成有條理的思路，為接下來的交流、調整做好準備。

教學環節三：整理思路，集體交流

按時停止活動，交流做法。

1.折紙法

（1）討論操作方法。

師：我看到好多同學一直在折紙，咱們先采訪一下。

師：你是怎么想的？

生1：我先對折，就能得到一個大正方形；剩下的還可以再折，又得到兩個正方形（圖1）。

圖1

生2：還可以再折，不過，得先剪下這三個正方形（圖2），剩下的長方形就可以再折出正方形了（圖3）。

圖2

圖3

生3：這樣的話，就可以一直折下去，得到無數個正方形。

生4：我覺得一直折下去，也不是無數個。就是紙會越來越小，越來越不好折。

生5：我覺得最終能得到正方形就行了，不用一直折下去。

師：達到目的就結束，有主見！

生6：折紙的思路可以試試，但是折紙誤差太大，可能會對結果產生影響。

生7：那咱們用這種方法，通過計算證實實驗結果，會不會好一些？

生8：那就先測量A4 紙長和寬的長度吧。

【設計意圖】交流互動是小學數學課堂教學的重要方法，也是學生深入學習的重要方式。讓學生相互啟發、相互補充，便于他們掌握豐富的數學思想及方法，提升自身自主學習能力的同時，促使學生得以共同性及全面性的發展。

（2）嘗試計算驗證折紙法（圖4）

圖4

生1：我剛才折紙發現第一個正方形是以A4紙的寬為邊長的，就是210毫米；剩下的長方形中，長是210毫米，寬是297－210＝87（毫米），這時可以折出兩個邊長是87毫米的正方形；剩下的長方形中，長是87毫米，寬是210－87×2＝36（毫米）；接下來就可以不用折紙，按這個規律計算就可以。

87－36×2＝15（毫米）

36－15×2＝6（毫米）

15－6×2＝3（毫米）

6－3＝3（毫米）

生1：這樣就得出了若干個正方形，還能知道最后正方形的邊長是3毫米。

生2：這些正方形的大小不一樣呢。

生3：我發現，如果往回推的話，都可以分成邊長是3毫米的正方形，因為3是15、36、87、210、297的因數。

生4：那這種方法能把任意的長方形分成正方形嗎？

【設計意圖】沒有問題思維就難起波瀾，教學中要立足學生、立足課堂，引爆學生思維的燃點，面對新的視角、新的情境，學生必然產生許多新的思考、新的困惑，充分利用典型問題，提升課堂思維的“熱度”，引發學生探究的興趣和思維的挑戰。

（3）提出質疑，進入高階思維

師：好問題，我們可以自己假設情況，試試看能得出什么結論。

典型情況舉例如下：

①長方形長86 厘米，寬24 厘米。

86－24×3＝14（厘米）

24－14＝10（厘米）

14－10＝4（厘米）

10－4×2＝2（厘米）

4－2＝2（厘米）

②長方形長48 厘米，寬24 厘米。

48－24×2＝24（厘米）

③長方形長25 厘米，寬24 厘米。

25－24＝1（厘米）

24÷1＝24（個）

生1：我發現，我們在求能分出幾個正方形時會用到除法，而余數就是下一個正方形的邊長。比如第一小題，可以這么算：

86÷24＝3（個）……14（厘米）

24÷14＝1（個）……10（厘米）

14÷10＝1（個）……4（厘米）

10÷4＝2（個）……2（厘米）

4÷2＝2（個）

生1：沒有余數的時候，除數就是最后一個正方形的邊長。

生2：我用短除法求得的最大公因數就是折紙法得出的正方形邊長，是不是可以說，折紙法得出的就是這兩個數的最大公因數呢？

【設計意圖】課堂中生成的問題，其“挑戰性”能吸引學生的注意力，其“開放性”能使學生思維活躍，其“層次性”能讓思維“跳起來夠得著”。教學中的生成問題來自教材又高于教材，在一系列圍繞知識內容和學習任務的引導性材料的支撐下，學生在問、探、思、行中漸行漸遠，實現在體驗中學習、在探究中實踐、在思考中辨析。

（4）追本溯源，整理總結

師：就像大家說的，用短除法求出的最大公因數和用折紙法找到的正方形邊長是一樣的，折紙法確實是一種求最大公因數的方法。

用減法計算的方法是2000多年前我國古代第一部數學專著《九章算術》中記載的“更相減損術”，原文是這樣的：（PPT音頻）可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。另外一種用除法計算的是公元前三百多年前的古希臘數學家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》（第Ⅶ卷，命題ⅰ和命題ⅱ）中首先提出“輾轉相除法”又稱為“歐幾里得算法”。這兩種方法可以求出任意兩個整數的最大公約數，這不算神奇，更神奇的是這種方法都可以直接編成計算機語言，來進行更大數的運算。

教學環節四：信息技術融入數學教學。

師：想不想試試？我們今天用簡單的excel表來實現。

1.任意輸入兩個正整數。

2.鍵入命令。

3.自動填充，得到兩個數的最大公因數。

師：請大家自己試一試吧。

【設計意圖】介紹“更相減損術”與“輾轉相除法”，體會古代數學對世界數學發展的貢獻。再對比我們常用的短除法求最大公因數的方法，比較它們在算法上的異同；并在把數學算法轉化成計算機語言的過程中，領會數學算法與計算機處理的結合方式，體會數學的遞歸思想，培養嚴謹的邏輯思維能力和理性思考的精神。

教學環節五：博古通今，滲透思政教育

《九章算術》里還要很多個算法，計算機也還能做更多的事情，就像今天，我們只要把實際問題數學化、數學問題代數化、代數問題機械化，就能使我們的生活更便捷，就像習書記說的：科技興則國興！試想：2000 多年前我們的古人就位后世奠定了機械化的道路，今天，中國數學是否能站在世界前沿，就看大家了，因為：少年強則國強！

【設計意圖】激發學生的民族自豪感，樹立民族責任感。

三、總結與思考

實施問題驅動的教學策略，以問題來設計、架構和引領教學，從注重知識的傳授到注重思維的訓練與培養，這也是培養學生問題解決能力所要經歷的基本過程，彰顯了思維教學的動態性與生成性。在教學過程中，學生針對教師提出的核心問題進行探究、思考、表達和辨析，教師則重點關注學生在課堂上思維外化的過程，通過層層遞進的追問，啟發學生進行高質量的對話，動態生成資源，使課堂教學成為不斷制造學生認知矛盾與沖突、不斷幫助學生對知識進行同化、內化的場所，有效促進學生對問題的分解、抽象和批判性思維的發展。

現代信息技術與學科課程的整合，逐步實現了教學內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式和師生互動方式的變革，小學數學的教學還需充分發揮現代信息技術的優勢，為學生的學習和發展提供豐富多彩的教育環境和有力的學習工具。