巴克碼無旁瓣濾波在地基雷達月球成像中的應用

李鳴遠， 樂新安， 魏 勇， 丁 鋒， 寧百齊， 曾令旗， 趙必強

(1. 中國科學院地質與地球物理研究所中國科學院地球與行星物理重點實驗室， 北京 100029；2. 北京空間環境國家野外科學觀測研究站， 北京 100029；3. 中國科學院大學地球與行星科學學院， 北京 100049)

0 引言

當脈沖雷達使用簡單長脈沖對目標進行檢測時，距離分辨率取決于發射的脈沖長度，如果想要更高的距離分辨率就要減小脈沖長度，但是這同時會降低回波信號強度。這就導致了一個矛盾，高距離分辨率意味著犧牲信號強度，而想要強的信號就要犧牲距離分辨率。為了解決這一問題，各種調制波形以及相應的匹配濾波器被設計出來，即通過發射脈沖長度較長的調制波形來獲取較高的信號強度，在接收到信號后通過匹配濾波對其進行脈沖壓縮處理，將信號的能量壓縮到較小的距離分辨率單元中，從而達到提升距離分辨率的同時又保留信號強度的目的。

根據探測目標特性的不同，發射信號的調制方式也有很多種，通常情況下的空間硬目標探測都是使用線性調頻信號。通過發射頻率調制后的信號，并對接收信號進行脈沖壓縮處理得到高分辨率的目標信息，獲得的距離分辨率取決于信號帶寬。而對于電離層這種軟目標的非相干散射探測，則會用到更復雜的編碼方式，比如多脈沖編碼、相位編碼、交替碼等，來達到探測要求。

眾多波形調制方式中相位編碼使用得較為廣泛，巴克碼是相位調制編碼中常用的一種。巴克碼將一個脈沖長度分成了若干個碼元長度(目前最多能達到13位)，每個碼元都被0°(+1)或180°(-1)的相位以特定的方式調制。在收到回波后需要進行解碼，通常情況下都是使用匹配濾波器(Matched Filter，MF)進行解碼，即使用發射脈沖包絡的鏡像碼作為濾波器函數對回波進行卷積處理。以這種方式解碼后的信號可以達到最佳信噪比，距離分辨率取決于巴克碼的碼元寬度，且信號強度是對應整個巴克碼脈沖長度所積累的能量。雖然巴克碼的匹配濾波性能已經很好，但它仍存在旁瓣問題，在一些特定情況下會對目標檢測帶來許多干擾。比如在檢測一個較強的點目標回波時，巴克碼的旁瓣會將點目標回波擴散到周圍的距離門，使得距離分辨率達不到預期，而且目標距離估計不準確。

關于巴克碼匹配濾波的旁瓣問題已經有很多研究提出了解決辦法，比如可以在標準的MF之后放置一個設計好的加權網絡來有效抑制旁瓣效應，甚至可以找到一種實現無旁瓣脈沖壓縮的解碼濾波器(Sidelobe-free Decoding Filters，也可稱為Inversed Filter，IF)，Lehtinen等人在實驗數據分析中就應用了Sulzer提出的無旁瓣解碼方法。不過Sulzer也提到IF解碼不能達到像MF那樣的最佳信噪比，信噪比惡化程度取決于編碼方式。在7位巴克碼情況下，IF解碼的信噪比比MF解碼差近30%，而對于13位巴克碼，只有5%左右。但IF可以完美地解決巴克碼MF帶來的旁瓣問題，所以對于13位巴克碼來說，通常情況下IF的優勢完全可以彌補其信噪比惡化帶來的劣勢。

本文提出在地基雷達月球成像實驗中可以應用13位巴克碼IF來避免MF的旁瓣問題，從而帶來成像質量的提升，并用實測數據進行了驗證。成像算法是借鑒合成孔徑成像中的距離-多普勒算法，該算法通過在距離維作解碼濾波，方位維作傅里葉變換來實現二維脈沖壓縮，對目標進行距離-多普勒二維分辨進而成像。月球可以看作是一個由無窮多個點目標組合而成的球面散射體。若使用13位巴克碼對月球進行成像并使用MF作解碼處理，那么旁瓣效應會很大程度上影響成像的距離維分辨率，導致成像質量不能達到預期，不過若使用IF作解碼，那么旁瓣效應會得到很好的改善，從而提高成像質量。

我國在地基雷達月球探測方面已初步開展相關工作，例如基于喀什深空站和昆明40 m射電望遠鏡的連續波信號雙基地探月試驗，基于曲靖雷達的脈沖信號自發自收探月試驗，以及三亞非相干散射雷達自發自收的線性調頻月球南北半球拼接成像實驗。

1 巴克碼匹配濾波與無旁瓣濾波

由于巴克碼的位數最長是13位，可以獲取最高的回波能量，所以本文重點分析13位巴克碼的MF與IF在地基雷達月球成像中的應用。本節主要通過公式推導介紹MF和 IF的工作原理。

1.1 雷達探測方程

首先我們根據Vierinen和Lehtinen在2009年文章中的定義給出雷達探測方程：

=*+

(1)

式中，為雷達探測到的回波信號，為發射脈沖包絡，為目標散射信號，為高斯復噪聲，*運算符表示卷積運算。所以可以認為雷達探測到的信號是發射脈沖包絡與目標散射信號卷積后疊加上噪聲得到的，那么在接收端用濾波器脈沖響應函數對回波信號進行卷積后可以得到：

′=*=**+*=*+′

(2)

式中，′為濾波后的信號，=*為權重函數，它由發射脈沖包絡與濾波器函數共同決定，′為通過濾波器后的噪聲，也可稱為后驗噪聲。根據式(2)我們可以認為通過濾波器后的信號是權重函數與目標散射信號的卷積加上后驗噪聲得到的，這樣一來權重函數的目標檢測性能就尤為重要，它決定了目標檢測的模糊程度，稱為模糊函數。

1.2 巴克碼脈沖包絡

接下來構建一個13位巴克碼脈沖包絡，如圖1所示。巴克碼的脈沖包絡可以看作是由一個碼元寬度的矩形脈沖與一個編碼狄拉克函數相互卷積而成的。數學上的定義如下：

()=()*()

(3)

{}={}{}

(4)

圖1 13位巴克碼脈沖包絡的組成分析圖

1.3 匹配濾波

如圖2所示，MF的脈沖響應函數設置為發射脈沖包絡的鏡像，即

()=(-)=()*(-)

(5)

那么MF的權重函數可以定義為

()=()*()=()*(-)=

()*()*()*(-)

(6)

從圖2可以看到MF的權重函數在主瓣的兩邊分布有若干旁瓣，這些旁瓣會在與目標散射信號卷積的過程中將強的信號擴散到弱信號區域，導致模糊效應影響距離分辨率。

圖2 13位巴克碼的匹配濾波器與無旁瓣濾波器脈沖相應函數以及權重函數曲線圖

1.4 無旁瓣濾波

如果使用IF就不會出現旁瓣干擾的情況，下面介紹IF的工作原理，首先我們定義IF脈沖響應函數為

()=()*()

在美國人民的眼中，威廉·利夫西是一位了不起的人物，他是美國退役四星上將，先后參加過朝鮮戰爭、越南戰爭。由于美國五星上將軍銜只在戰時授予，因此四星上將是美國軍隊的現最高軍銜。2015年8月的一天，時年84歲的這位老將軍，在外賣點餐時與送餐員發生糾紛，驚動10來名警察上門逮捕。在與警察發生沖突后，因涉嫌拒捕而被警察逮捕。事后，利夫西頗為憤怒地對記者說：“這是我人生中第一次為自己是美國人而感到羞恥。他們（警察）把我抓走時，（甚至沒讓我帶走）鞋子、眼鏡和藥物。”美退役四星上將為何說“為自己是美國人而感到羞恥”呢？

(7)

{}={}{}

(8)

式(7)中()=(-)，即()的匹配濾波器，()為解碼狄拉克函數，式(8)是式(7)在頻域中的表示形式。則IF的權重函數為

()=()*()=

[()*()]*[()*()]

(9)

{}={}{}=

{}{}×{}{}

(10)

從式(9)和式(10)可以看到，IF的權重函數是由兩組信號卷積得到的，一組是矩形脈沖的匹配濾波結果，一組是編碼狄拉克函數與解碼狄拉克函數的卷積結果。所以若想實現無旁瓣濾波就要找到特定的使得{}{}=1，即

(11)

找到滿足條件的后式(9)和式(10)就可以改寫為

()=()*()

(12)

{}={}{}

(13)

也就是說這樣找到的可以令IF權重函數變成跟()的匹配濾波權重函數一樣，是一個主瓣為三角形峰且沒有旁瓣的函數，這樣就可以實現了無旁瓣濾波。所以根據這樣的定義可以將IF脈沖響應函數寫為如下形式：

(14)

不過為了得到與MF同樣的主瓣權重，可以令

()=(-)

(15)

式中為巴克碼的位數。這樣IF權重函數的主瓣就擁有跟MF權重函數主瓣同樣的權值和寬度，而且IF權重函數沒有旁瓣，如圖2所示。

2 在月球成像中的應用對比

在地基雷達月球成像實驗中，如果使用13位巴克碼進行探測，那么使用MF解碼會因為旁瓣原因使圖像產生模糊，然而應用上述IF解碼就可以有效避免這一問題。

我們使用三亞非相干散射雷達進行了一次月球成像實驗。前人研究中通常都會發射圓極化電磁波，并同時接收左旋與右旋兩種極化方式的回波。因為它們對應的是極化回波(與發射極化方向相反)與去極化(與發射極化方向相同)回波，反映了不同的散射機制，進而研究者們可以利用這一點挖掘月球表面和次表面信息。但受雷達系統設計的限制，實驗時發射右旋圓極化電磁波，只接收左旋圓極化回波，意味著只接收了極化回波，沒有獲取去極化回波信息。另外發射波形為390 μs脈沖長度的13位巴克碼，碼元長度為30 μs，實驗的具體參數如表1所示。在成像前我們分別使用了巴克碼MF以及IF對回波進行了解碼濾波處理，之后對解碼后的信號進行成像處理，處理算法參考前人使用的距離-多普勒算法。整個過程可以概括為以下幾步：

表1 SYISR月球成像實驗參數

1) 對每個重復周期內的回波分別進行解碼濾波處理，獲得距離向分辨能力；

2) 進行月球的距離徙動校正以及運動速度多普勒校正，具體包括距離變化帶來的時延校正和相位校正，以及運動速度帶來的多普勒頻移校正；

3) 對同一距離門的連續脈沖采樣進行快速傅里葉變換(FFT)，獲得方位向分辨能力，并得到距離-多普勒二維成像圖；

4) 將距離-多普勒圖中的像素點根據幾何關系投影到月球坐標系下(笛卡爾坐標系或經緯度坐標系)。

圖3(a)和(b)分別展示的是應用巴克碼MF以及IF獲得的月球距離-多普勒二維成像圖，圖中圓弧狀內的回波即為月球回波圖像，圓弧的弧頂代表月球表面的雷達下點位置，由于雷達下點附近的電磁波入射角接近法線入射，所以回波強度較其他區域要強很多。

然而只從兩幅圖對照來看并不能看出IF對成像質量有明顯提升，于是我們將兩幅圖中的對應像素值做差，得到了MF圖像相較于IF圖像的像素值增量，即MF-IF，如圖3(c)所示。可以看到增量基本都為正值且有沿距離方向的豎條紋狀分布，這證明了MF的旁瓣效應將目標回波在距離方向擴散并疊加到了其他距離門，對其他距離門造成了污染，并且還證明了IF可以有效避免這種污染。為了進一步分析增量增加的程度，我們將增量除以IF圖像中的像素值得到增量占原圖的百分比，即(MF-IF)/IF，如圖3(d)所示。可以看到增量占IF原圖的比重約為10%～30%之間，但在回波邊界外側附近區域增量可達原圖的60%～100%甚至更高，這是因為邊界是月球回波強信號與背景噪聲弱信號的分界，MF的旁瓣會將強信號擴散到弱信號區域，使得在弱信號區域的回波污染程度要明顯很多。不過在成像處理步驟的坐標轉換這一步中，月球回波信號邊界外的區域會被“切割”掉，所以不用考慮邊界外的污染程度問題。另外圖3(d)也存在沿距離方向的豎條紋狀分布，這再次證明了MF旁瓣效應會導致在距離向的污染現象，同時也證明了IF可以避免污染并恢復距離分辨率，達到了一定的圖像質量改善效果。

圖3 13位巴克碼的匹配濾波器與無旁瓣濾波器對月球距離-多普勒成像圖的影響對比分析圖

3 結束語

本文提出了在地基雷達月球成像實驗中使用13位巴克碼IF解碼方法可以有效避免MF解碼帶來的旁瓣問題，通過數學公式推導和畫圖的形式論述了13位巴克碼IF的工作原理，最后用三亞非相干散射雷達進行了13位巴克碼月球成像實驗，將IF處理結果與MF處理結果進行了對比分析，得出如下結論：

1) IF解碼可以使用的條件是編碼狄拉克函數在頻域內沒有零值；

2) 13位巴克碼MF解碼結果會導致月球距離-多普勒圖像在距離方向上產生10%～30%的回波強度擴散，從而污染周圍距離門，導致圖像距離分辨率惡化，成像質量下降；

3) 13位巴克碼IF解碼結果可以有效避免MF的旁瓣污染問題，從而使距離分辨率得到優化，成像質量得到改善。

綜上所述，在地基雷達月球成像實驗中使用13位巴克碼IF解碼方法確實可以有效避免MF解碼帶來的旁瓣污染問題，使月球成像距離分辨率得到改善。并且IF解碼在其他形式的二相位編碼情況下仍然大有可為。后續的月球成像實驗可以設計脈沖長度更長、距離分辨率更高的二相位編碼，結合IF解碼方法能夠大幅提升月球成像質量。