基于有效中轉時間預測的不正常航班恢復技術

何堅，果紅艷，，姚遠，卞磊，*，唐紅武，王殿勝

（1.北京工業大學 信息學部，北京 100124； 2.中航信移動科技有限公司，北京 100029）

航班計劃表是航空公司提前幾個月制定好的航班計劃，包括每個航班的出發地、目的地、離港時間、到港時間及指定的執行飛機等信息。航班計劃表的制定需考慮旅客的季節性、機組人員的排班、飛機的定期維護等多方面因素。在航空公司的日常運營中，飛機故障和惡劣天氣造成的機場關閉、機場容量限制、空中交通管制等，都會導致航班不能按計劃執行［1］。同時，飛機價格昂貴及其日常巨大的維護成本，使得航空公司盡可能地減少飛機閑置時間，以獲得更大的利潤。由于一個航班任務受到干擾后，會對其后續航班造成一系列的影響，為了減少航班計劃受干擾帶來的損失，航空公司需要及時修改航班計劃表，重新安排飛機、機組等資源，不正常航班恢復問題由此提出。

航班恢復問題涉及8個必要因素：開始恢復時間、結束恢復時間、飛機、機場、航班、航線、干擾、航班中轉時間。開始恢復時間是用戶指定的開始進行航班恢復的時間，結束恢復時間一般是當日的24：00。在航班恢復過程中，飛機是執行航班任務的主體，飛機具有初始可用時間、初始可用機場、結束可用時間、結束可用機場、注冊號等屬性。惡劣天氣可能會造成機場關閉的情況，機場關閉時禁止飛機到港、離港，只有在機場開啟時進出該機場的航班才能正常執行。航班包括離港時間、到港時間、離港機場、到港機場、執行的飛機等多種屬性。飛機執行的航班任務組成了該飛機的航線。航班恢復過程中包含多種干擾因素，如飛機故障、空中交通管制等。航班的中轉時間是當前航班的離港時間減去前序航班的到港時間，在大多數航班恢復模型中，航班中轉時間被設置成一個固定的常數。梁哲等［2］將30 min的固定中轉時間應用到基于列向量生成算法的飛機恢復研究中。Yu等［3］將40 min的固定中轉時間應用于時空網絡模型中求解航班恢復問題。樂美龍等［4］將60 min的固定中轉時間應用到基于貪婪隨機自適應搜索過程的飛機優化恢復方案研究中。

固定的航班中轉時間往往會影響實際恢復效果。本文的主要貢獻在于引入了有效中轉時間的概念。有效中轉時間為特定的飛機在特定的時間、特定的機場、特定的天氣狀況下所需要的最短中轉時間。在航班恢復過程中，根據航班的離港機場、到港機場、離港時間、天氣及分配飛機的機型，使用LightGBM［5］方法預測該時間，替代原本的固定中轉時間。在保證航班中轉時間充足的前提下，減少航班中轉任務中無意義的等待時間，提升飛機利用率。實際實驗數據驗證了有效中轉時間在航班恢復問題中的有效性，降低了航班恢復的成本。將列向量生成算法與時空網絡模型進行橫向比較，驗證了飛機數量較多的恢復問題中，列向量生成算法可以在更短的時間內，達到與時空網絡模型近似的恢復效果。

1 研究現狀

Teodorovic＇和Guberinic＇在 不 考 慮 航 班 取 消 的情況下建立模型，以減少乘客總延時為目標，采用分支定界法求解模型［6］，但示例只有3架飛機，缺少在大規模數據下的測試驗證。Jarrah等［7］在只考慮航班延誤或取消的情況下，以成本最小化為目標，加入了備用飛機及轉移飛機的策略，提出由延遲模型、取消模型構成的時空網絡模型，但該模型無法同時解決航班延誤和取消的問題。Yan和Lin［8］以時空網絡模型為基礎，在機場關閉的情況下，提出將航班延誤、航班取消及轉移飛機等調度方法添加到一個框架中的調度模型。Cao和Kanafani［9-10］在Jarrah等［7］建 立 的 延 遲 模 型 基 礎 上提出了0-1二次規劃模型，能夠同時包含航班延遲和航班取消。Thengvall等［11-12］針對機場關閉后的多機隊飛機恢復問題，提出了基于多商品網絡的3種模型。梁哲等［2］進一步改進了Thengvall等［11-12］的工作，提出了同時具有機場容量約束及維護靈活性的列向量生成算法。

雖然現有航班恢復模型已考慮了多方面的約束條件與恢復策略，但都沒有考慮航班中轉時間對航班恢復的影響［13-17］。航班中轉時間是前一個航班到港后，下一個航班離港前飛機在機場停留的時間?，F有不正常航班恢復模型中，通常將中轉時間看作一個固定的常數［18-19］，而在實際中，由于天氣、機場流量等因素影響，航班中轉時間也是時刻變化的，固定的中轉時間會造成部分航班在執行完中轉任務后，需要等待一段時間才能離港，降低了飛機的利用率。對此，根據航班相關特征，對每個航班的有效中轉時間進行預測。梯度提升樹（gradient boosting decision tree，GBDT）模型［20］是常用的預測算法，但在大數據的情況下，GBDT模型訓練速度相對較慢。LightGBM模型是GBDT模型的一種［21］，用于解決GBDT模型在海量數據處理上遇到的問題，其具有訓練速度快、模型精度高的優點。Ke等［21］在多種數據集下實驗證明，當模型的準確率相同時，LightGBM模型的訓練速度是GBDT模型的20倍以上。因此，LightGBM模型被廣泛應用于交通預測［22］、價 格 評 估［23］等 方 面。航 班 歷 史 信 息 數 據量較大，選擇使用LightGBM模型對航班的中轉時間進行預測，將預測結果應用于不正常航班恢復模型中，通過列向量生成算法求解，生成新的航班計劃。

2 基于LightGBM的航班有效中轉時間預測模型

在分析影響航班中轉時間主要因素基礎上，建立基于LightGBM的航班有效中轉時間預測模型及評估技術。

2.1 影響航班中轉時間因素分析

航班的預計中轉時間為當前航班的預計離港時間（estimated time of departure）與前序航班的預計到港時間（estimated time of arrival）之間的差值。為了有效預測航班的中轉時間，選取了2018年5月至2019年10月某航空公司的實際航班數據進行特征分析。該數據集包含了不同機型、時間、位置及多種天氣條件下的航班中轉時間記錄，具體特征如表1所示。影響航班中轉時間的因素主要包括：

表1 數據結構特征Table 1 Data structure characteristics

1）機型因素。不同機型的飛機在執行航班中轉任務時，需要完成的工作量不同。例如，座位數少的飛機在執行乘客登機、離機、裝卸行李等任務時工作量較小，需要的時間較短。

2）離港機場因素。不同規模的機場每天航班起降架次有很大差異。2017年北京首都國際機場航班日高峰達到1 863架次，而長沙黃花國際機場僅有548架次。機場的繁忙程度會體現在航班起降架次上，機場繁忙時，可能會出現跑道被占用等資源不足的情況，航班只能在地面等待，中轉時間隨之增加。

3）到港機場因素。航班到港機場與離港機場之間的距離可能影響航班執行中轉任務的工作量，對中轉時間造成影響。

4）天氣因素。當天氣條件不佳時，為了保證飛行安全，可能會導致航班延誤，造成航班的中轉時間增加。

5）時間因素。圖1表示了數據集中2018年5月至2019年5月每個月的離港航班總數。不同月份離港航班數有明顯的波動。將2018年5月2日的航班數據以1 h為時間間隔分成24個時間段，每個時間段的離港航班個數如圖2所示，10：00—21：00之間，離港航班數量明顯多于其他時段。航班的時間因素與機場的起降架次相關，會對航班的中轉時間造成影響。此外，初始航班計劃會對航班的中轉時間造成影響。例如，某架飛機計劃到港時間為09：00，該飛機執行的下一趟航班將于17：00離港，該航班的中轉時間為480 min，這種數據會影響航班中轉時間的預測。因此，對所有的航班數據進行預處理，將航班中轉時間偏大的數據剔除，只保留中轉時間在30～75 min之間的樣本。篩選后的數據集包含12萬條航班信息。

如圖1和圖2所示，航班的中轉時間與離港時機場的流量緊密相關。在不同的月份或同一天的不同時間段內，航班的離港數量存在較大差異。因此，對原始數據集進行處理，提取到航班離港的月份、時間段數據。依據上述航班中轉時間影響因素，選取航班的離港機場、到港機場、機型、離港時間段、離港月份、天氣信息作為影響航班中轉時間預測模型的特征。

圖1 離港航班個數與月份關系Fig.1 Relationship between the number of departure flights and the months

圖2 2018年5月2日離港航班個數與時間關系Fig.2 Relationship between the number of departure flights and the time on May 2，2018

此外，針對原始數據集中存在數據缺失、數據重復問題，對原始數據進行缺失值填充、去重操作，對出發機場及到達機場通過mapping方式將類別信息映射成數值，再將機型、雪雨等天氣信息使用獨熱編碼（one-hot encoding）轉換成數值信息。

2.2 基于LightGBM的航班有效中轉時間預測

采用LightGBM模型對航班的中轉時間進行預測，LightGBM采用具有深度限制的按葉子生長（leaf-wise）策略，能夠提升模型的精確度，降低過擬合的風險；同時，該模型使用直方圖算法，大幅度減少了內存占用、執行時間。

將2018年5月至2019年7月的9萬條數據作為訓練集，將2019年8月至10月的3萬條航班數據作為測試集。提取的特征如2.1節所述，預測目標為航班的中轉時間，屬于連續值的預測問題，這類問題屬于機器學習中的回歸問題。模型的性能使用均方根誤差（root mean square error，RMSE）及平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）來衡量，計算公式如下：

采用相同的特征，將LightGBM模型與GBDT模型進行實驗對比，實驗結果如表2所示。Light-GBM模型的RMSE及MAE這2個評估指標均優于GBDT模型，并且LightGBM模型的訓練時間小于GBDT模型。

表2 不同模型航班中轉時間性能對比Table 2 Performance comparison about different models’flight transit time

3 基于列向量生成算法的不正常航班恢復

基于第2節航班中轉時間預測模型，預測出恢復期內所有航班被任意飛機在整點時刻執行時的中轉時間。設計了基于列向量生成算法的不正常航班恢復算法，在每次使用航班中轉時間時，根據航班執行的整點時刻、天氣、離港機場、到港機場、執行任務的飛機等信息，從航班中轉模型的預測結果中讀取該航班的中轉時間，作為有效中轉時間。

3.1 基于列向量生成算法的不正常航班恢復算法

系統為每一航班設定最大許可延誤時間，據此可采用航班延誤、航班取消、航班交換3種策略實現不正常航班恢復。其中，當航班的延誤時間小于該數值，航班允許延誤，可以使用航班延誤的策略來降低航班恢復方案的成本；當航班的延誤時間超過該數值，航班通常會被取消，將飛機資源留給其他航班使用；在航班恢復過程中，可采用同類型飛機相互替代的方法（即航班交換策略）來設計恢復方案。此外，航班恢復過程受到可用飛機數量和機場運行、關閉狀態的影響?？紤]飛機故障、機場關閉的情況，設計基于列向量生成算法的低成本航班恢復方案。

基于列向量生成算法的不正常航班恢復算法的流程如圖3所示。該流程主要分成4個階段：初始化過程、主問題的求解、子問題的求解及生成恢復方案。在初始化過程中，為每個飛機選擇執行的航班序列，形成飛機的航線；在主問題中以恢復成本最小化作為目標，建立整數規劃模型，并計算其松弛模型，為每個飛機選擇執行的航線；在子問題中，為飛機選擇恢復成本更低的航線加入主問題的航線選擇集合中，主問題與子問題迭代執行，直到所有飛機的子問題都無法找到比當前主問題選中航線更優的航線，迭代過程結束；計算主問題的整數規劃模型，根據模型選中的航線，生成航班恢復方案。

圖3 列向量生成算法解決不正常航班恢復問題的流程Fig.3 Flowchart for solving irregular flight recovery problems by column vector generation algorithm

為了清晰描述航班恢復問題的過程，定義以下幾類符號：

1）集合?？捎蔑w機的集合P，航班的集合F，航線的集合L，機場的集合A。

2）參數。航班f取消的成本cf，飛機p執行航線l的成本cp，l，航班f屬于航線l時bf，l值為1，否則bf，l值為0，航線l終止于機場a時bl，a值為1，否則bl，a為0，航班f原計劃由飛機p執行時sp，f值為0，否則sp，f為1，恢復期結束時機場a需要的飛機數量ha，換飛機個數上限sp，恢復期結束后任何機場中每個飛機不平衡的成本cub；恢復期結束后所有機場不平衡的飛機個數numub（參數cf、cp，l、ha、sp、cub、numub均大于0）。

3）決策變量。如果飛機p執行了航線l時xp，l值為1，否則xp，l值為0，如果航班f被取消時yf值為1，否則yf值為0。

基于上述符號，建立如下航線選擇整數規劃模型：

航班恢復過程以成本最小化為目標，如式（3）所示，恢復成本包含取消航班的成本及執行航班的成本。恢復過程主要考慮如下約束：式（4）為航班覆蓋約束，表示每個航班只能執行一次，或者取消該航班；式（5）為飛機任務約束，表示每個飛機最多只能執行一條航線；式（6）為機場的飛機流平衡約束，恢復期結束時，各個機場停靠的飛機個數應該等于恢復期結束后待執行航班需要的飛機個數；式（7）表示在主問題的計算結果中，所有飛機選中的航班集合內，換飛機的航班個數之和不能超出限制個數；式（8）和式（9）表示決策變量的取值約束。

3.2 航班恢復算法的初始化過程

航班恢復過程中，初始化過程的目的是為主問題中飛機航線提供初始的選擇方案。實驗分析發現，列向量生成算法的初始解會對算法的迭代次數產生很大影響。當初始解足夠好時，列向量生成算法可經過幾次迭代就得出最終恢復方案。對此，采用初始化原始航線的方法為每架飛機生成一條初始航線，步驟如下：

步驟1 以飛機注冊號、計劃離港時間對航班進行排序；根據航班的狀態（航班執行中、航班未離港、航班已到港）、航班預計飛行時長、機場的狀態（機場開啟、機場關閉）及飛機的狀態（飛機正常、飛機故障）計算每架飛機在恢復期內的初始可用時間、初始可用機場。

步驟2 從飛機集合中選出一架飛機，若飛機正常，執行步驟3，若飛機故障，執行步驟4。

步驟3 遍歷飛機的初始飛行計劃，根據飛機所在機場、可用時間、離港機場、到港機場的狀態信息選出飛機執行的下一個航班任務，更新該飛機的可用時間及機場信息，遍歷完該飛機執行的所有航班之后，將該飛機從飛機集合中刪除，并將航線加入到航線集合中。

步驟4 查看飛機的可用時間，若飛機在整個恢復期內都不可用，則該飛機的航線為空；若飛機在恢復期內一段時間內不可用，只能在飛機的可用時間安排航班任務。

步驟5 繼續執行步驟2，直到飛機集合為空，初始化過程結束，每個飛機都得到一條初始航線。

3.3 航班恢復算法的主問題

航班恢復主問題的求解過程就是飛機航線的選擇過程，屬于整數線性規劃問題。航班恢復主問題的整數規劃模型在3.1節中已經說明。模型的目標函數如式（3）所示，模型以恢復成本最小化為目標。在主問題的計算中，需要考慮多種類型的約束，式（4）～式（6）均為主問題求解的物理約束。此外，提出航班恢復實際業務中對換飛機總個數的業務條件約束，如式（7）所示。梁哲［2］和Yu［3］等都沒有此類型的約束，但在航班實際運行中，這樣的約束是必要的，也是符合航空公司具體操作規范的。解決不正常航班恢復問題的流程如圖4所示，圖中展開說明了主問題的計算流程，在計算主問題的整數型性規劃時，需要構建物理約束（式（4）～式（6））、業務條件約束（式（7））及決策變量約束（式（8）、式（9）），并根據可行航線集合生成恢復方案。

圖4 列向量生成算法主問題的流程Fig.4 Flowchart of main problem using column vector generation algorithm

在實際應用中，式（6）的飛機流平衡約束可能造成模型無解。因此，可以去掉此約束并采用式（10）在目標函數中增加飛機不平衡成本因子來修正式（3）。

為了使用列向量生成算法計算航班恢復問題，對主問題的整數線性規劃模型進行線性規劃松弛，將約束條件式（8）和式（9）替換為式（11）和式（12）的非整數約束，建立松弛模型。

3.4 航班恢復算法的子問題

子問題的任務是計算每個飛機的所有可行航線的簡約成本，從而選擇出成本最優的解。如圖5所示，圖中展開介紹了子問題的處理流程，在子問題的計算中，僅需要考慮主問題中物理約束帶來的影響。令αf表示式（4）中對于航班f的對偶變量，令βp表示式（5）中對于飛機p的對偶變量，令γa表示式（6）中對于機場a的對偶變量，飛機p執行航線l的簡約成本ˉcp，l按照式（13）計算：

圖5 列向量生成算法子問題的流程Fig.5 Flowchart of subproblem using column vector generation algorithm

飛機p執行航線l的成本cp，l根據式（14）計算：

飛機p執行航線l時的平均航班簡約成本meanp，l按照式（15）計算：

為了篩選出飛機的最優可行航線，應計算出飛機p所有航線的簡約成本的最小值minc，p及整條航線上所有航班的平均簡約成本的最小值minmeanc，f，按照式（17）、式（18）計算：

若minc，p＜0，則飛機p選中的航線l優于該飛機在主問題中選中的航線；若minc，p≥0且minmeanc，f＜0，則飛機p選中的航線l優于該飛機在主問題中選中的航線；若minc，p≥0且minmeanc，f≥0，則飛機p的最優航線就是主問題中選擇的航線。

使用列向量生成算法進行航班恢復的步驟如下：

步驟1 生成航班恢復初始解，將初始解加入主問題的航線集合R中。

步驟2 根據R計算主問題的線性模型，得出計算結果及對偶變量αf、βp、γa，并根據每個選中航線的總成本及選中航線上的總航班數，計算出每個選中航線上所有航班的平均航班成本ˉcp。

步驟3 根據航班計劃的預計離港時間、預計到港時間計算出所有航班的計劃執行時間。根據飛機的可用時間、飛機的可用機場、機場的可用時間、航班的預計離港時間、航班的計劃執行時間這些信息，并且將恢復期開始時間、恢復期結束時間作為航線的限制信息，控制航線的長度，使用枚舉法，為所有飛機生成全部可行航線集合S。

步驟5 若集合C中存在航線，將C中的所有航線加入集合R中，執行步驟2；若C為空集合，則執行步驟6。

步驟6 根據主問題的整數規劃模型，計算出整數解。

步驟7 根據步驟6中的整數解，生成新的航班計劃表。

4 實驗及結果分析

采用JetBrains PyCharm 2019對本文算法進行了編程實現。算法運行在Win10操作系統，運行內存為32 GB，并使用大規模數學規劃優化器Gurobi求解主問題的線性規劃及整數規劃模型。

實驗數據均來自于航旅縱橫APP官方平臺（http：//www.umetrip.com/），其計算及數據可為航班運控、航延服務、疫情防控［24］等提供精準服務。數據按航班規模分為5組，航班個數分別為50、100、200、400、800，飛機個數分別為19、37、71、144、305，算例中給出了離港、到港涉及機場的總和。算例中存在飛機故障及機場關閉的情況，恢復期內涉及的航班個數及機場個數、飛機故障個數等信息如表3所示。表4為每個算例的成本參數。

表3 算例基本參數Table 3 Basic par ameters of calculation examples

表4 算例成本參數Table 4 Cost parameter s of calculation examples

實驗選擇以時空網絡模型的恢復結果作為對照，將時空網絡模型的恢復結果與改進后的列向量生成模型恢復結果進行比較。其中，未使用有效中轉時間的時空網絡模型及未使用有效中轉時間的列向量生成模型分別記作模型A及模型B，2個模型的恢復結果如表5、表6所示。使用了有效中轉時間的時空網絡模型及使用了有效中轉時間的列向量生成模型分別記作模型C、模型D，2個模型的恢復結果如表7、表8所示。

表5 模型A的計算結果Table 5 Calculation r esults of Model A

表6 模型B的計算結果Table 6 Calculation results of Model B

表7 模型C的計算結果Table 7 Calculation results of Model C

表8 模型D的計算結果Table 8 Calculation results of Model D

將算例F800（航班數800）作為樣本，航班的中轉時間分布情況如表9所示，表中包含設置的固定中轉時間及在當前中轉時間下能夠完成中轉任務的航班比例。當固定中轉時間為30 min［2］時，沒有航班能夠完成中轉任務，當固定中轉時間為40 min［3］與60 min［4］時，大多數航班不能完成中轉任務，當固定中轉時間為75 min時，63.15%的航班能夠完成中轉任務。因此，選取75 min作為固定中轉時間，應用到模型A、模型B中。所有算例的換飛機個數限制在30架內，時空網絡模型采用30 min［3］的時間窗口。上述3個模型的恢復成本包括航班延誤成本、航班取消成本、換飛機成本及機場的飛機不平衡成本4部分。通過恢復結果的對比可以發現，應用了有效中轉時間的列向量生成模型（模型D），能夠取得最小的恢復代價。同時，與時空網絡模型相比，列向量生成算法在運行時間上有很大的優勢。模型A、模型B在不同航班規模下的運行時間如圖6所示。隨著算例規模的增加，列向量生成模型運行時間的增長速度遠小于時空網絡模型。

圖6 列向量生成算法與時空網絡模型運行時間對比Fig.6 Comparison of operation time between column vector generation algorithm and spatio-temporal network model

表9 算例F800的航班中轉時間分布Table 9 Flight transit time distribution of scenario F800

模型D使用Gurobi優化器對主問題的求解結果如表10所示。其中，LP為迭代結束時主問題線性規劃模型的最終計算結果，IP為主問題整數規劃模型的最終計算結果，最優間隔比例由式（19）計算得出。模型D的4個算例的最優間隔比例均為0%，取得了最優解，算例F400沒有取得最優解，但是該算例的最優間隔比例僅為0.059%，證明了列向量生成算法的有效性。

表10 基于模型D的優化器實驗結果Table 10 Experimental results of optimizer based on Model D

對比表5和表6，由于時空網絡模型是采用將所有的航線直接進行優化計算的方式，航線個數隨著航班規模的增長迅速增加，使得模型在求解大規模問題時計算速度非常慢。列向量生成算法采用迭代的方式選擇航線，使得每次迭代過程的計算量都遠小于時空網絡模型，并且列向量生成算法可以通過控制迭代次數的方式在有限的時間中求得最低的恢復成本。時空網絡方法采用離散的航班延誤時間，在某個時間間隔內，航班未能執行，只能在下一個時間間隔才可能離港，離散的延誤時間可能會導致模型求出的最小成本高于最優解的最小成本。而列向量生成算法采用連續的航班延誤時間，飛機可用時就可以分配飛機離港，解決了這一問題。同時，時空網絡模型需要將時間軸劃分成多個相同長度的時間窗，時間窗口的長短不易控制，如果時間窗口較長，時空網絡模型求得的恢復成本會偏高，而時間窗口較短，模型的恢復成本會降低，但是模型的求解時間會更久。列向量生成算法采用連續的延誤時間，不需要考慮這一問題。通過對比列向量生成算法及時空網絡模型的恢復結果，列向量生成算法存在恢復成本高于時空網絡模型的情況，若列向量生成算法在篩選滿足子問題約束的航線時沒有遺漏，則列向量生成算法可以取得與時空網絡模型相同或者更低的恢復成本。由此可知，列向量生成算法篩選滿足子問題約束的航線，并加入到主問題的優化集合中，這一特點使得列向量生成算法在計算最優解時，可能遺漏最優解中包含的航線。列向量生成算法的這一特點及時空網絡模型的時間窗口較長都可能導致模型求得的恢復成本比最優恢復成本高，因此時空網絡模型與列向量生成算法各有優劣。但是在大規模航班恢復過程中，2個模型的恢復成本相似時，時空網絡模型的計算時間可以達到列向量生成算法的3倍以上，影響了恢復結果的實時性。因此，在計算大規模航班恢復問題時，列向量生成算法的優勢明顯。表7、表8顯示了將航班有效中轉時間預測模型分別應用到時空網絡模型和列向量生成算法中的航班恢復結果，與表5、表6相比，雖然模型的運行時間可能稍有增加，但是2個模型的恢復成本均有顯著的下降。

5 結 論

將航班中轉時間預測模型與改進后的列向量生成算法相結合，提出了一種基于有效中轉時間的不正常航班恢復模型。通過對比實驗，得出以下結論：

1）基于列向量生成算法的航班恢復模型與時空網絡模型相比，在恢復成本基本一致的情況下，計算時間更少。并且隨著航班規模的增加，在時間上的差異會進一步增大。當航班規模是400架時，時空網絡模型的恢復時間是列向量生成算法的2.97倍；當航班規模是800架時，時空網絡模型的恢復時間是列向量生成算法的3.67倍。

2）將有效中轉時間應用于不正常航班恢復模型，雖然模型的計算時間有所增加，但航班的恢復成本明顯降低。在大規?；謴蛨鼍跋?，可以將航班恢復成本減少36.3%。

不正常航班恢復問題涉及到飛機恢復、機組恢復、乘客恢復3個階段，本文中只針對飛機恢復階段進行了研究，下一步可以針對后2個階段進行研究，逐漸完善所提出的不正常航班恢復模型。在飛機恢復問題中，只考慮了以恢復成本為目標的航班恢復問題，在未來的研究中，可以將航班恢復成本與航班正常率等多個目標同時添加到航班恢復模型中，實現多目標條件下的航班恢復模型。