一類兩端簡單支撐彈性梁問題解的存在性

馬亞薇, 馬如云

(西安電子科技大學數學與統計學院, 西安 710126)

1 引 言

彈性梁是工程建筑的基本構件之一.在材料力學和工程物理中，人們常用四階常微分方程邊值問題來描述彈性梁的狀態.源于這類問題的普遍性與重要性,不同邊界條件下的梁方程解的存在性問題受到廣泛關注,也出現了許多重要研究結果[1-12].

2015年,Vrabel[6]在h(x,y(x))關于y單調的條件下通過構造上下解方法研究了四階邊值問題

解的存在性,其中λ=k1+k2,k1,k2是兩個常數且滿足k20時,情況完全不同.2018年,Ma等[7]在上述文獻的基礎上運用新方法構造了Green函數,結合Elias公式研究了k1,k2均為正常數情形下四階問題

(1)

解的存在性，得到以下結果:

本文進一步將文獻[7]中的常數k1,k2推廣到滿足一定條件的函數,考慮問題

解的存在性，其中k1,k2∈C[0,1].本文總假設

本文的主要結果如下:

定理1.1假設(H1)成立.若問題(2)存在下解α和上解β滿足α(x)≤β(x),x∈[0,1]，且f:{(x,s)|x∈[0,1],α(·)≤s≤β(·)}→R連續且滿足f(x,s1)≤f(x,s2),α(x)≤s1≤s2≤β(x),x∈[0,1],則問題(2)存在一個解y(x)滿足α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.

2 預備知識

k1(x)k2(x)y,y∈D(L),

y″(0)=y″(1)=0}.

的Green函數為

其中

φ(t),ψ(t)分別是問題

(3)

(4)

的唯一解.

的Green函數,記為G2(x,s).

引理2.1(Sturm比較定理)[13]設x(t),y(t)分別是二階線性齊次方程x″+q1(t)x=0,y″+q2(t)y=0的非平凡解,其中q1,q2∈C[0,1],q1(t)≤q2(t),t∈[0,1],且在[0,1]上的任一子區間內q1不恒等于q2.如果α,β∈[0,1]是x(t)的兩個相鄰零點,則y(t)在(α,β)內至少有一個零點.

引理2.2假設對于任意的x∈[0,1]有k1(x),k2(x)∈(0,π2),則

(i)φ(x)>0,x∈(0,1];

(ii)ψ(x)>0,x∈[0,1).

證明 眾所周知,初值問題

由引理2.2及G1(x,s),G2(x,s)的表達式可知,G1(x,s)>0,G2(x,s)>0,?(x,s)∈(0,1)×(0,1).可以驗證,Ly=L2(L1)y,Ly=0的Green函數G(x,s)滿足

(x,s)∈[0,1]×[0,1].

因此,G(x,s)>0,?(x,s)∈(0,1)×(0,1).

3 非共軛和Elias公式

定義3.1[14]如果一個n階線性常微分方程Ln[y]=y(n)+p1(t)y(n-1)+…+pn(t)y=0,pk(·)∈C[a,b],k=1,...,n的任個非平凡解在區間[a,b]上的零點個數都少于n,那么該方程被稱為非共軛的,多重零點按其重數記.

考慮微分方程

Lny(x)+λy(x)=0,x∈[0,1]

(5)

其中Lny=0是非共軛的.Ln可以做如下Pólya分解:

Lny=ρn(ρn-1…(ρ1(ρ0y)′)′…)′.

對任意x∈[0,1],權函數ρi(x)>0,ρi(x)∈Cn-i,i=0,...,n,擬導數L0y=ρ0y,Liy=ρi(Li-1y)′,i=1,...,n.

由文獻[14]可知,如果u是方程(5)的非平凡解,則它的任何一個擬導數的零點都是孤立的.擬導數L0u,...,Ln-1u被視作按循環順序排列,即L0u排列在Ln-1u之后.令x1≤x2≤…≤xr表示以下述方式列出的[0,1]中擬導數的零點:

(a) 如果一個點是一個或多個階數不間斷的擬導數的零點,那么對這組零點只列出一次(即對這組零點使用同一個下標);

(b) 如果一個點是存在間斷階數擬導數的公共零點,那么對于分開的每一組不間斷階數的零擬導數都分別以不同的下標對這個零點進行一次標記.

引理3.2(Elias公式)[15]若方程Lny=0在[0,1]上是非共軛的,u是(5)的任意非平凡解,則N(u)≤n.

引理3.3[14]考慮方程

4 上下解

定義4.1如果函數α∈C4[0,1]滿足

L(α(x))≤f(x,α(x)),x∈(0,1)

及α(0)≤0,α(1)≤0,α″(0)≥0,α″(1)≥0,則稱α為問題(2)的下解.

定義4.2如果函數β∈C4[0,1]滿足

L(β(x))≥f(x,β(x)),x∈(0,1)

及β(0)≥0,β(1)≥0,β″(0)≤0,β″(1)≤0,則稱β為問題(2)的上解.

記

gα(x)=L(α(x))-f(x,α(x)),x∈[0,1]

(6)

gβ(x)=L(β(x))-f(x,β(x)),x∈[0,1]

(7)

vα(x)=α(0)w(x)+α(1)w(1-x)+

α″(0)χ(x)+α″(1)χ(1-x)

(8)

其中w(x),χ(x)分別是問題

L(y)=0,y(0)=1,y″(0)=y(1)=y″(1)=0

(9)

L(y)=0,y(0)=0,y″(0)=1,y(1)=y″(1)=0

(10)

的唯一解.

vβ(x)=β(0)w(x)+β(1)w(1-x)+

β″(0)χ(x)+β″(1)χ(1-x)

(11)

引理4.3(i) 若(H1)成立,則w(x)>0,x∈(0,1)；

(ii) 若h1,h2∈(0,π2),則χ(x)<0,x∈(0,1).

證明 (i) 我們斷言當(H1)成立時算子

有以下形式的Pólya分解：

對任意x∈[0,1],權函數ρi(x)>0,i=0,...,4.事實上,定義線性算子Ti:D(Ti)→X,i=1,2,3，

及

其中

{y∈C2[0,1]:y(0)=y(1)=0}.

定義

則λi>0,i=0,1,2.計算可知T3可進行Pólya分解T3y=λ2(λ1(λ0y)′)′.由k1(x)

T1y=1×(1×(1×y)′)′,

因而由引理3.3可知

y(4)+(k1(x)+k2(x))y″=0

在[0,1]上是非共軛的,L4可做相應的Pólya分解.

現反設存在τ∈(0,1),使得

w(τ)=min{w(x)|x∈[0,1]}≤0.

(a) 若w(τ)=0，因w′(τ)=0,w″(0)=0=w(1)=w″(1),則可得N(w)≥5,與引理3.2矛盾.

(b) 若w(τ)<0，則存在a,b∈(0,1]使得w(x)<0,x∈(a,b),且w(a)=w(b)=0.設wθ為齊次邊值問題

(ii) 由(10)式可知,χ(x)滿足

L2χ=Z,χ(0)=0,χ(1)=0

(12)

其中Z滿足

L1Z=0,Z(0)=1,Z(1)=0

(13)

當h1=r2,r>0時的解,計算可得

結合引理4.1,(8)式及(9)式可得vα(x)≤0,vβ(x)≥0,x∈[0,1].定義算子

T:C[0,1]→C4[0,1]，

則由(6)式可得

L(α)=f(x,α(x))+gα(x)，

及α(x)≤Tα(x),x∈[0,1].類似地，我們有β(x)≥Tβ(x),x∈[0,1].

以下引理是Schauder不動點定理的直接結果：

引理4.4[16]若存在常數M>0,使得|f(x,y)]≤M對任意的(x,y)∈[0,1]×R成立,則存在y(x)是滿足問題(2)的解.

5 主要結果的證明

定義[0,1]×R上的函數

因F在[0,1]×R上連續有界,由引理4.4知存在y(x)滿足邊值問題

下證α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.由算子L的線性,上下解的定義及f的單調性條件有

L(y(x)-β(x))=L(y(x))-L(β(x))≤

F(x,y(x))-f(x,β(x))≤0,

從而

0, x∈[0,1].

因此y(x)≤β(x),x∈[0,1].同理可證

L(y(x)-α(x))=L(y(x))-L(α(x))≥

F(x,y(x))-f(x,α(x))≥0,

0, x∈[0,1].

因此y(x)≥α(x),x∈[0,1].證畢.

注與問題(1)相比,本研究的難點在于無法得到Green函數的具體形式,因而運用Sturm比較定理對其性質進行分析.此外,由于無法計算Pólya分解的具體形式,我們不能直接運用Elias公式,因而需要再次運用Sturm比較定理并結合非共軛的重要性質，以滿足Elias公式的條件.