微分方程在圖像去噪處理中的應(yīng)用研究

孫志強(qiáng)

（河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院 河南 鄭州 451460）

0 引言

數(shù)字圖像隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的不斷發(fā)展，逐漸成為重要的信息傳遞媒介，為人們傳遞各項(xiàng)生活所需的信息[1]。數(shù)字圖像處理技術(shù)的不斷發(fā)展，拓展了人們的視野，為計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的創(chuàng)新提供了基礎(chǔ)，為我國(guó)多個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展提供了幫助。數(shù)字圖像的成像效果受噪聲信號(hào)的干擾較為嚴(yán)重，導(dǎo)致圖像邊緣的細(xì)節(jié)信息會(huì)出現(xiàn)部分缺失，影響了人們對(duì)圖像的視覺效果[2]。噪聲的分類較為廣泛，根據(jù)噪聲的性質(zhì)不同，分類的依據(jù)也不同[3]。在一般圖像中，噪聲干擾通常分為內(nèi)部與外部干擾[4]。自然界中由于自然現(xiàn)象產(chǎn)生的噪聲統(tǒng)稱為外部噪聲干擾，例如設(shè)備受自然因素的影響產(chǎn)生的放電現(xiàn)象等。導(dǎo)致圖像受內(nèi)部噪聲干擾的因素較多，也是影響圖像信息完整性的最重要因素，內(nèi)部噪聲包括設(shè)備由于機(jī)械運(yùn)動(dòng)引發(fā)的噪聲、設(shè)備由于部件出現(xiàn)故障引發(fā)的噪聲；設(shè)備自身的電路不穩(wěn)定引發(fā)的噪聲等。圖像的噪聲干擾信號(hào)的可統(tǒng)計(jì)性較強(qiáng)，通?？梢杂煤瘮?shù)來表示。圖像中出現(xiàn)的噪聲信號(hào)為圖像的分割、特征提取等工作造成了一定的困難[5]。微分方程的圖像對(duì)于噪聲信號(hào)的適應(yīng)能力較強(qiáng)，在一定程度上能夠產(chǎn)生分段恒定的圖像，在平滑的區(qū)域內(nèi)能夠產(chǎn)生階梯效應(yīng)，滿足數(shù)字圖像發(fā)展的需求[6]。傳統(tǒng)的小波去噪處理方法在一定程度上能夠降低噪聲信號(hào)的干擾，但是處理過程受到影響會(huì)使圖像出現(xiàn)部分模糊甚至缺失的情況。基于此，本文提出了基于微分方程的圖像去噪處理設(shè)計(jì)。

1 基于微分方程的圖像去噪處理設(shè)計(jì)

1.1 構(gòu)建全變分圖像去噪模型

全變分圖像的去噪主要是依據(jù)原始圖像的特性，將含噪圖像的總變分設(shè)定在一定范圍內(nèi)，構(gòu)造含噪圖像與原始圖像的能量函數(shù)。將去噪問題逐漸轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用多項(xiàng)函數(shù)的最小化形式表示圖像的噪聲干擾問題。在圖像的邊緣區(qū)域采用低階化保護(hù)邊緣圖像的信息，使圖像信息清晰度提高。結(jié)合全變分方程的去噪原理，構(gòu)建出基于全變分圖像的去噪模型，模型的表達(dá)式為：

其中，G6表示高斯核函數(shù)；σ表示日算子；x、y分別表示含噪圖像的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。本文構(gòu)建模型的目的是降低噪聲信號(hào)與圖像邊緣的信息相混淆的情況。控制模型中的權(quán)重比例，在圖像的邊緣，設(shè)置自適應(yīng)特征函數(shù)θ，使的θ值更加接近于1。在消除圖像噪聲信號(hào)的同時(shí)控制θ的值，最大限度地降低噪聲的影響，避免產(chǎn)生階梯效應(yīng)。θ是控制權(quán)重的重要函數(shù)，通過設(shè)置圖像的閾值能夠使圖像的邊緣信息更加完善。通常情況下，根據(jù)數(shù)字圖像自身的特性，設(shè)置圖像的梯度閾值為1.5，根據(jù)梯度閾值的變化判定圖像邊緣的信息變化。

本文構(gòu)建的全變分圖像去噪模型結(jié)合了高階全變分模型的優(yōu)點(diǎn)，圖像能夠在不同的區(qū)域內(nèi)自動(dòng)適應(yīng)，抑制圖像階梯效應(yīng)的擴(kuò)散，全變分圖像去噪模型在一定程度上反映出數(shù)字圖像的細(xì)節(jié)紋理與邊緣信息。

1.2 選取全變分圖像能量平衡點(diǎn)

基于上述的全變分圖像去噪模型構(gòu)建的結(jié)束后，獲取到圖像相關(guān)的細(xì)節(jié)紋理與邊緣信息，基于此，選取全變分圖像去噪的能量平衡點(diǎn)。圖像去噪處理中，圖像信息與迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)相同，圖像的能量變化曲線與噪聲能量的迭代也存在一定的關(guān)聯(lián)，記錄不同迭代次數(shù)下，全變分圖像的能量點(diǎn)變化情況。觀察全變分圖像的能量點(diǎn)變化曲線，全變分圖像中能量變化的規(guī)律表達(dá)式如下：

其中，ΔEi(N)表示全變分圖像的能量變化系數(shù)，通常情況下小于等于0；Ei(N)表示圖像在不同迭代次數(shù)下的能量變化。由于全變分圖像模型中存在梯度為零的中心點(diǎn)，本文在全變分圖像中設(shè)置一個(gè)較小的正數(shù)點(diǎn)，將正數(shù)點(diǎn)進(jìn)行正則項(xiàng)的冪形式轉(zhuǎn)變。通過本文上述構(gòu)建的全變分圖像模型，反映圖像去噪的特征，將灰色關(guān)聯(lián)理論與微分方程結(jié)合，根據(jù)全變分圖像中能量的變化規(guī)律，可以獲取到圖像噪聲能量的變化規(guī)律表達(dá)式：

其中，ΔEn(N)表示全變分圖像的噪聲能量變化系數(shù)，通常情況下小于等于0；En表示圖像在不同迭代次數(shù)下的能量變化。取全變分圖像能量的絕對(duì)值，隨著圖像去噪處理的迭代次數(shù)增加，全變分圖像的能量與噪聲能量相對(duì)減小；當(dāng)去噪處理的迭代次數(shù)達(dá)到一定的點(diǎn)時(shí)，兩種能量的變化系數(shù)逐漸相同，保證全變分圖像中的有用信息完整，促進(jìn)圖像去噪處理中能量的穩(wěn)定。設(shè)置依賴風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，以峰值信噪比作為全變分圖像能量平衡點(diǎn)的選取評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，轉(zhuǎn)變?nèi)兎謭D像的PSNR值，當(dāng)?shù)螖?shù)的噪聲能量最小化時(shí)，全變分圖像的停止準(zhǔn)則參考點(diǎn)則為能量平衡點(diǎn)。

1.3 微分方程的數(shù)值計(jì)算

基于轉(zhuǎn)變?nèi)兎謭D像的PSNR值后，對(duì)微分方程的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。本文提出的微分方程的數(shù)值計(jì)算依據(jù)圖像去噪算法的準(zhǔn)則，以圖像的全變分演變特點(diǎn)為基礎(chǔ)。設(shè)置圖像的噪聲與紋理信息分布在高頻區(qū)位置，分解圖像的Lipschits指數(shù)，使指數(shù)隨著噪聲幅值的增大而增大，保證圖像信號(hào)幅值的穩(wěn)定變化。圖像信號(hào)在各層位置的系數(shù)具有一定的相關(guān)性，根據(jù)圖像信號(hào)系數(shù)的變化可知，噪聲系數(shù)與信號(hào)系數(shù)存在較大的差異。經(jīng)過微分方程去噪處理的圖像系數(shù)中，存在較多不確定信息，依據(jù)系數(shù)尺度的不同，對(duì)圖像進(jìn)行了區(qū)域特性研究。

設(shè)定輸入的圖像大小為m×m，(x1i，x2j)=(ih，jh)表示圖像在模型中的離散點(diǎn)，u(x1，x2，t)的離散程度表示為：

其中，Δt表示時(shí)間步長(zhǎng)，h為圖像的空間步長(zhǎng)，輸入圖像為uo，設(shè)定常項(xiàng)系數(shù)n=1，將設(shè)定的迭代次數(shù)輸入到算法中，通過快速離散變換計(jì)算出二維離散度。假設(shè)離散圖像采用的是分格式離散求解方法，在圖像的頻率上設(shè)置矩陣算子，得出相應(yīng)的對(duì)偶算子值。通過圖像中的噪聲能量變化量，對(duì)噪聲信號(hào)的絕對(duì)值進(jìn)行分析可知，在圖像去噪計(jì)算中，開始迭代的噪聲能量值小于圖像能量的整體變化量。

在處理高斯噪聲影響嚴(yán)重的圖像中，改變其均值濾波去除噪聲，在一定程度上能夠使圖像的亮度有所提高。當(dāng)圖像的大小呈現(xiàn)線性變化時(shí)，其對(duì)偶算子值呈正比例變化。圖像大小m為奇數(shù)值時(shí)，像素大多數(shù)為實(shí)數(shù)值，在圖像中的負(fù)分量較小，可以在計(jì)算中忽略不計(jì)。采用不同的去噪模型取得的高斯噪聲方差大小不同，在不同噪聲信號(hào)中的峰值信噪比存在一定的差異。

1.4 獲取圖像去噪最優(yōu)迭代次數(shù)

通過上述選取的全變分圖像能量平衡點(diǎn)特征，基于噪聲準(zhǔn)則，獲取圖像去噪的最優(yōu)迭代次數(shù)。綜合考慮圖像噪聲方差的大小，結(jié)合圖像能量變化系數(shù)與圖像噪聲能量變化系數(shù)之間的關(guān)系，保證全變分圖像去噪的迭代次數(shù)滿足以下表達(dá)式：

其中，λ表示噪聲準(zhǔn)則的標(biāo)準(zhǔn)方差，隨著全變分圖像內(nèi)的噪聲變化，需要迭代的次數(shù)不斷發(fā)生改變。微分方程去噪處理的圖像具有一定的階梯效應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致圖像邊緣信息較為模糊，為了減少這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，采用二維離散變換方法，消除圖像的階梯效應(yīng)。設(shè)置邊緣檢測(cè)函數(shù)，使檢測(cè)函數(shù)值接近0，通過邊緣檢測(cè)函數(shù)能夠有效地抑制階梯效應(yīng)，保存圖像去噪處理后的細(xì)節(jié)信息。定義圖像信號(hào)的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)，提取圖像邊緣信息擴(kuò)散特征，通過信號(hào)自適應(yīng)分?jǐn)?shù)的閾值區(qū)分圖像的噪聲與邊緣，通過線性濾波器的作用，對(duì)圖像的梯度算子進(jìn)行正則化處理，克服噪聲敏感的問題。

為了保證圖像梯度變化的平滑性，在圖像邊緣進(jìn)行光滑保護(hù)，將圖像劃分為多個(gè)塊狀區(qū)域，通過自適應(yīng)函數(shù)，調(diào)整圖像邊緣的平滑度，并進(jìn)行強(qiáng)擴(kuò)散處理?；谖⒎址匠痰募s束條件，對(duì)去噪處理的能量泛函進(jìn)行最小化處理，調(diào)整平衡去噪的規(guī)整化參數(shù)，抑制圖像噪聲的振蕩?；谏鲜霰磉_(dá)式，獲取基于微分方程的圖像去噪最優(yōu)迭代次數(shù)與PSNR值之間的關(guān)系，見表1。

表1 基于微分方程的圖像去噪最優(yōu)迭代次數(shù)與PSNR值的關(guān)系

如表1所示，通過計(jì)算得出了噪聲方差標(biāo)準(zhǔn)值不同的情況下，Max迭代次數(shù)、T2迭代次數(shù)與誤差dB。其中，T2迭代次數(shù)是在 |ΔEi(N)|-|ΔEn(N)|≤λ下的迭代次數(shù)；Max迭代次數(shù)能夠表示最大PSNR值下的迭代次數(shù)，根據(jù)表1的計(jì)算結(jié)果可知，Max迭代次數(shù)與T2迭代次數(shù)的圖像去噪最優(yōu)迭代次數(shù)基本一致。

1.5 改進(jìn)遞歸濾波各向異性擴(kuò)散

在圖像的去噪處理中，各向異性擴(kuò)散算法也是減少噪聲信號(hào)的重要組成部分。通過觀察圖像的中心點(diǎn)與鄰近點(diǎn)的差值大小，控制圖像像素的數(shù)值更新變化，像素得不到及時(shí)的更新，影響了圖像去噪的迭代次數(shù)。迭代次數(shù)的不斷改變，導(dǎo)致圖像過度地受到控制面平滑程度限制，邊緣細(xì)節(jié)信息出現(xiàn)丟失。

為了改善這一現(xiàn)象，將遞歸濾波器的各向異性擴(kuò)散進(jìn)行優(yōu)化，逐漸實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散。微分方程將圖像的頻域分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)算子，具有非線性的特征，能夠控制各向異性擴(kuò)散因子的擴(kuò)散程度。微分方程中的階曲率與階梯度成正比變化，當(dāng)階曲率增大時(shí)，各向同性的擴(kuò)散率接近相同，擴(kuò)散因子隨著梯度的增大而減小。本文將圖像中的梯度值變化作為擴(kuò)散的特征，將圖像邊緣的濾波結(jié)合到擴(kuò)散特征中，使其線性濾波的變化較為顯著。

對(duì)于退化的圖像去噪處理之前，首先要保證圖像在模型中的精準(zhǔn)性，對(duì)其萎縮閾值進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，控制高頻系數(shù)的離散變換，基于圖像信號(hào)與函數(shù)的內(nèi)積方法，改進(jìn)退化圖像的遞歸濾波擴(kuò)散情況。

將遞歸相鄰的圖像的中心像素點(diǎn)進(jìn)行定位，提高像素的整體更新速度，降低遞歸濾波操作中的計(jì)算量。本文改進(jìn)的遞歸相鄰圖像的表達(dá)式為：

其中，t為迭代的次數(shù)；λ為常數(shù)項(xiàng)；▽iNt表示遞歸濾波的變化；It-1(x，y)表示各個(gè)相鄰像素點(diǎn)之間的平均差值，利用各個(gè)相鄰像素點(diǎn)之間的差值能夠得出圖像中的擴(kuò)散系數(shù)。遞歸濾波的擴(kuò)散因子引進(jìn)圖像的內(nèi)部位置進(jìn)行擴(kuò)散，有效地抑制噪聲的干擾信號(hào)傳播。

遞歸濾波的擴(kuò)散會(huì)相應(yīng)地增加去噪過程中的圖像細(xì)節(jié)紋理的干擾，對(duì)遞歸的圖像產(chǎn)生梯度方向的拆分影響。為了避免圖像邊緣區(qū)域的梯度方向擴(kuò)散，將圖像邊緣的信息進(jìn)行保護(hù)，減少去噪過程中的迭代次數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

為了驗(yàn)證本文提出的基于微分方程的圖像去噪處理方法的有效性，將本文提出的方法與傳統(tǒng)的小波圖像降噪方法進(jìn)行對(duì)比。

使用Matlab軟件驗(yàn)證本文提出方法的可行性，選用像素為450×450的Boats圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先對(duì)原始圖像添加方差為25的高斯噪聲，對(duì)加噪處理的圖像使用TV模型、PM模型與本文提出的全變分圖像去噪模型進(jìn)行去噪處理，去噪后將圖像的局部進(jìn)行放大，進(jìn)一步獲取去噪中圖像邊緣的特征狀況。通過算子軟件對(duì)模型去噪后的圖像進(jìn)行分析處理，圖像去噪的質(zhì)量與圖像的逼真度具有一定關(guān)聯(lián)。使3種模型的時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為相同的數(shù)值，本實(shí)驗(yàn)的時(shí)間步長(zhǎng)選取2.5，3種圖像去噪模型的信噪比參數(shù)，見表2。

表2 3種模型的信噪比參數(shù)對(duì)比

表2為3種圖像去噪模型的信噪比、均方差測(cè)度與迭代的次數(shù)、時(shí)間參數(shù)。本文提出的基于微分方程的圖像去噪處理模型在迭代時(shí)間較短的情況下，迭代次數(shù)最佳，信噪比強(qiáng)度較另外兩種模型相比較強(qiáng)，整體對(duì)數(shù)字圖像處理的均方差測(cè)度較小。

2.2 對(duì)比分析

基于表1獲取到的信噪比參數(shù)，計(jì)算出相應(yīng)模型的噪聲方差，將本文提出的基于微分方程的圖像去噪處理方法與另外兩種方法在不同噪聲方差下的峰值進(jìn)行對(duì)比。將3種圖像去噪模型的噪聲方差值曲線變化繪制成圖，見圖1。

根據(jù)圖1可知，隨著噪聲方差的不斷升高，本文提出的模型信噪比峰值波動(dòng)幅度較小，另外兩種模型的信噪比峰值下降趨勢(shì)較明顯。因此，實(shí)驗(yàn)證明，本文提出的方法對(duì)于圖像噪聲信號(hào)處理的效果更加有效，能夠最大程度地減少圖像邊緣區(qū)域的噪聲信號(hào)干擾。

3 結(jié)語

本文提出的基于微分方程的圖像去噪處理設(shè)計(jì)，通過構(gòu)建全變分圖像去噪模型，圖像能夠在不同的區(qū)域內(nèi)自動(dòng)適應(yīng)，在一定程度上能夠抑制圖像的階梯效應(yīng)擴(kuò)散；對(duì)微分方程的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，取得高斯噪聲方差的峰值信噪比；改進(jìn)遞歸濾波各向異性擴(kuò)散，對(duì)圖像的邊緣信息進(jìn)行保護(hù)。實(shí)驗(yàn)證明，本文提出的圖像去噪模型能夠有效地減少圖像邊緣區(qū)域的噪聲信號(hào)干擾。