量子漲落與過摻雜銅氧化物超導薄膜中的反常兩段標度

陶 勇

(西南大學經濟管理學院 重慶 北碚區 400715)

量子臨界現象是凝聚態物理中的一個重要研究領域，它的產生源于量子漲落。量子漲落也稱為“零點運動”，即在絕對零度(零溫)附近，由于海森堡不確定性原理的作用，原子與分子不可能處于靜止，而這種零點運動會誘發相變-“量子相變”。量子臨界現象就是這種相變所對應的臨界現象。一般來說，在有限溫度下，熱漲落都存在，所以量子漲落的效果只有在溫度趨于絕對零度附近時才會顯現出來，此時熱漲落的效果可以忽略不計。研究量子臨界現象的理論框架基于Hertz 的先驅性工作[1]。由于量子臨界現象發生在溫度趨于零溫的體系，Hertz 將統計物理配分函數中的參量“溫度T”的倒數作為第4 維“虛時間”(本質上是松原時間)，從而建立了虛時量子場論以描述強關聯系統中的量子漲落現象。目前，Hertz 的虛時量子場論已經成為研究量子臨界現象的基本分析架構[1-2]。實驗中，零溫超流相位剛度(zero-temperature superfluid phase stiffness)ρs(0) 與相變溫度Tc是刻畫超導體中量子臨界現象的兩個重要參量[3-7]。現已知在高度欠摻雜銅氧化物超導材料中發生的超導-絕緣相變可能是一類量子臨界現象，其中ρs(0) 與Tc近似服從亞線性標度Tc∝ρs(0)δ，且 δ ≈1/2。盡管如此，但就高度過摻雜銅氧化物超導材料中發生的超導-金屬相變，對于其基本性質仍舊缺乏足夠的了解。

反常兩段標度中的線性標度Tc∝ρs(0) 已經被大量的實驗所觀測到，它被稱為“Homes 定律”[9-10]，并被Abrikosov-Gor’kov 平均場理論所解釋[10-11]。文獻[12]已經利用該平均場理論給出了α的正確理論值。盡管如此，反常兩段標度中的亞線性標度卻不能被平均場理論解釋，因此文獻[13-14]推斷文獻[8]的實驗發現與平均場理論不相容，對此還給出了進一步的觀測證據：隨著摻雜程度的增加，LSCO 材料變得越來越像金屬并且呈現出超導體向金屬態轉變的量子相變。

1 相對論金茲堡-朗道方程

本文首先介紹虛時量子場論框架中的相對論金茲堡-朗道方程。文獻[11]指出當溫度T和相變溫度Tc滿足關系|T-Tc|≈0時，利用BCS 超導微觀理論可以導出金茲堡-朗道方程：

值得注意的是，不同于T＞0 的情形，式(4)中|φ(0)|2前面的系數不再是線性項 (T-Tc)，而是Tc的二次項。這導致過摻雜超導材料在絕對零度附近的臨界性質非常不同于熱臨界現象。更重要的是，T=0是式(3) 中的一個奇點，因此不能簡單地將式(4)代入式(3)。為了處理零溫T=0 的情形，需要考慮Hertz 的虛時量子場論框架，即引入虛時間τ ∈[0,1/T]，其中T=0。在虛時量子場論中，序參量 φ(0) 是空間坐標q與虛時間 τ 的函數[1,27]，即φ(0)=φ(q,τ)。這意味著式(4)中還應當存在虛時間導數的線性項φ*(q,τ)?τφ(q,τ) 或者二次項|?τφ(q,τ)|2。本文引入二次項|?τφ(q,τ)|2以保證式(4)成為一個精確的相對論形式[15-18]：

2 ρs(0) 與 Tc 的兩段標度關系

對處于T=0 的過摻雜銅氧化物超導(此時熱漲落被忽略不計)，Tc=0 是一個可能的量子臨界點，因此預期當Tc趨于0 時，量子漲落會被放大以至于平均場近似被破壞。按照重整化群的程序，假設波長大于 2π/Λ 的量子漲落不能被平均掉[28-29]，因此 λ2(Tc) 和 λ4(Tc) 應當收到來自這些尺度的量子漲落的高階修正。為此，將重整化群程序運用到量子配分函數式(6)，在單圈費曼圖修正下可以得到重整化群方程為[15]：

式中，b是標度變換的重標參數；q′=b-1q；τ′=b-zτ；z=1 代表量子動力學指數。算出式(9)和式(10)中的積分可以得到[18]：

式(19) 的物理意義是：當相變溫度Tc小于TQ(D)時，量子漲落被放大以至于平均場近似無效，此時Tc和 ρs(0) 按照亞線性關系同方向變化。

為了推導出TQ(D) 的具體函數形式，需要找到一個估計量子漲落幅度的物理量。眾所周知，在朗道的二級相變平均場理論中，經典金茲堡數Gi被用于估計熱漲落的幅度，從而判斷平均場近似的有效范圍。本文在虛時量子場論的框架中將經典金茲堡數Gi推廣為量子金茲堡數[17]：

式中， ξ 代表超導體的相干長度。

對于二維超導薄膜(D=2)，式(23) 給出TQ(2)≤γ(2)2。而對于D=3 的情形，式(23) 結合式(18) 則給出TQ(3)≤0，這意味著對于三維系統平均場近似總是成立的，即D=3 是系統的上臨界維度[15,18]。

當平均場近似有效的時候，已知Tc和ρs(0)滿足著名的 Homes 定律[10-11]：Tc∝ρs(0)。綜合式(18)、式(19)、式(23) 以及Homes 定律，在零溫附近的過摻雜超導薄膜(D=2)中的Tc和 ρs(0) 應當服從兩段標度[17]：

將這些理論值與文獻[8]在實驗上所發現的反常兩段標度進行對比，3 個理論值與實驗測量值吻合良好，這是對相對論金茲堡-朗道方程(式(5))的有力支持[31]。

此外，TQ與TM之間的差異表示兩段標度被不光滑的連接，這已經被實驗數據所證實，如圖1 所示，其中直線代表理論得到的線性標度，曲線代表理論得到的亞線性標度，空心圓圈代表實驗數據[8]。

圖1 理論兩段標度式(24)與實驗數據的對比

3 ξ(0) 與 Tc 的兩段標度關系以及討論

式(14) 給出單圈費曼圖修正下的不動點λ?4≈(3-D)/10，將其代入式(31) 得到σ ≈1+(3-D)/5。如果考慮費曼圖的二圈修正，那么式(31) 可被修正為[18]：

最后，簡單討論一下式(5) 中虛時間 τ 的意義。量子場論不尋常的性質之一是，當時間變量t成為虛時間 τ 時，它在形式上就簡化成了統計力學，這個性質在數學上被稱為“維克旋轉”，可用于簡化量子場論中的一些計算。比較式(3)和式(6)可以看到，虛時間 τ 本質上就是溫度T的倒數，或者按照文獻[33] 的說法，溫度等價于周期性虛時間(cyclic imaginary time)。為什么溫度與虛時間會有這個神秘的關系？這仍舊是物理學中的一個未解之謎，它背后可能涉及到某些未被理解的深刻物理原理[33-34]。為了理解溫度與虛時間的關系，文獻[35-38]基于Tomita-Takesaki 定理提出了“熱時間假說(thermal time hypothesis)”，這個假說認為物理系統中的時間本質上是一個演生(涌現)的變量，它可能源于量子力學中的不對易性[36]。如當一個物理系統處于絕對零度T=0 時，原子與分子都應該處于靜止，沒有運動談論時間是沒有意義的。但由于海森堡不確定性原理的作用，原子與分子不可能處于靜止(位置變化為0)，否則它們的動量變化將趨于無窮大。這意味著當溫度趨于絕對零度T=0時，物理系統將自發演生(涌現) 出時間(去描述量子運動)。從式(6)看出這個演生時間其實就是虛時間τ。盡管“熱時間假說”被提出，但之前的文獻并沒有任何物理系統會出現“演生時間”的精確相對論方程。這使得“熱時間假說”難以得到驗證——即如何確保“演生時間”就是物理時間。因此，如果本文的相對論式(5)能夠得到驗證，那么可能會是對“熱時間假說”的一個潛在支持。

但需要提及的是，即使相對論式(5)被實驗證實，它所描述的物理背景也是“虛時空”——即庫珀電子對在虛時空中存在精確的相對論方程。這與單電子的相對論方程(狄拉克方程)不同，后者描述的是現實的物理時空。

4 結 束 語

希望國內感興趣的實驗組可以通過調查絕對零度附近的過摻雜銅氧化物超導薄膜去精確檢驗ξ(0)與Tc之間的兩段標度，以確證相對論金茲堡-朗道方程(式(5))的有效性。