基于特征值和弧長法計算套管抗擠強度*

張 旭， 張哲平， 楊尚諭， 王雪剛， 宋 琳

1天津鋼管制造有限公司 2中國石油集團工程材料研究院有限公司 3石油管材及裝備材料服役行為與結構安全國家重點實驗室 4中國石油新疆油田公司工程技術研究院

0 引言

隨著頁巖氣、煤層氣開采規模逐漸加大[1- 4]，套損問題變得尤為突出[5- 9]，頁巖氣及煤層氣在壓裂過程中經常發生套管變形現象，損壞了井筒結構的完整性，影響后續壓裂及生產作業。因此，摸清套管的真實服役狀態，提供安全可靠的管材性能，避免安全系數過剩，有助于進行科學的固井設計選材。

國內諸多學者對套管的抗外擠額定值做了研究，韓建增等[10]給出了一種考慮套管幾何尺寸的抗擠毀計算公式，但該公式依據彈性力學推導無法計算后屈曲行為；孫坤忠[11]引用了K-T公式，該公式同樣不能計算套管的后屈曲行為；曾義金等[12]研究了鹽膏層蠕變產生的擠壓應力隨時間的變化，沒有給出套管抗擠毀性能的評價方法；申照熙等[13]研究了影響套管抗擠毀性能的因素，并給出了計算公式，但沒有考慮到塑形套管擠毀過程的后屈曲行為；覃成錦等[14]分析了不同應力狀態對套管抗擠毀性能的影響，仇偉德等[15]深入分析了影響抗擠毀性能的各項因素，但沒有給出計算公式；張月敏等[16]介紹了TP130TT高抗擠毀套管的成功應用，在使用過程中存在下入磨阻大問題。因此，準確快速計算套管的抗擠毀值，可以加強對套管性能認識，避免過度設計，降低材料消耗，所以如何有效評價套管的抗擠毀性能成為一個關鍵問題。當外壓逐漸增大，套管發生屈服變形，隨著變形量的增加，套管抗擠毀能力提高(見圖1)，第一次變形稱為線性特征值屈曲或前屈曲；第二次變形稱為非線性屈曲或后屈曲[17- 18]。

圖1 載荷位移響應示意圖

實際生產、運輸儲存、使用過程不可避免地存在缺欠，或為材料缺欠或為幾何缺欠，這種缺欠按照API 5CT也是允許存在的，而API 5C3對此處理較為粗糙，通過線性及非線性分析方法可以較好的解決該問題。

1 套管的線性屈曲分析

套管的線性特征值屈曲，其線彈性屈曲載荷{P0}與位移{U0}關系：

[Ke]{U0}={P0}

(1)

式中:[Ke]—彈性剛度矩陣;

U0—由{P0}引起的位移;

{σ}—與{U0}對應的應力。

在任意狀態下的增量平衡方程：

{ΔP}=([Ke]+[KG(σ)]){ΔU}

(2)

式中:[KG(σ)]—初始應力矩陣。

假設線彈性屈曲是一個外加載荷{P0}的線性函數，即:

{P}=λ{P0}

{U}=λ{U0}

{σ}=λ{σ0}

則，可得：

[KG(σ)]=λ[KG(σ0)]

(3)

因此，其增量平衡方程變為:

{ΔP}=([Ke]+λ[KG(σ0)]){ΔU}

(4)

當發生線性屈曲時{ΔP}=0，于是式(4)變為:

([Ke]+λ[KG(σ0)]){ΔU}={0}

(5)

那么必須有det{[Ke]+λ[KG(σ0)]}=0，由該方程解出關于λ的n階多項式，解出最小特征值λ，λ代表臨界抗擠毀載荷比例因子，最小特征值乘以初始載荷得到臨界載荷，即抗擠毀值。線性特征值分析對于解決線彈性變形問題可以提供較好的解決方案，但是對于屈曲及后屈曲問題計算結果偏大，為此需要進行弧長法分析。實際分析當中，對于徑壁比較大套管，使用線性特征值分析即可得到準確解；對于徑壁比較小的套管需要采用兩種方法進行計算分析。

2 弧長法計算套管的抗擠毀強度

2.1 弧長法計算理論分析

通過引用弧長因子(ΔL)，將載荷因子λ和位移增量{ΔU}相聯系，彌補了Newton-Raphson方法極值點發散的缺點，可以精確求解后屈曲載荷，求解示意圖如圖1所示。

弧長法增量平衡迭代方程：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

曲面控制弧長法約束方程可表述為：

(11)

令α=1，當β=1時，為球面弧長法；當β=0時，為柱面弧長法。當β=當前剛度數值時，為橢球面參數法。

下面以柱面弧長法為例，進行闡述說明，其約束方程為

(12)

第i+1載荷步的位移增量關系為：

(13)

將式(10)帶入式(13)，得:

(14)

將式(14)帶入式(12)，得:

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 模型及其參數

選取油氣井常用的典型規格套管進行建模計算,套管規格及材料參數見表1，模型參數長度2 000 mm。模型的分析單位類型為C3D8R,即8結點線性六面體單元，網格劃分在壁厚方向上分三層，對管體兩端進行全約束，如圖2所示。

圖2 約束載荷施加情況

2.3 特征值計算

首先采用特征值分析方法對模型進行線性分析，加載方式為施加均布外壓載荷，分析采用六階特征值方法，取第一階結果作為后續分析的模型如表1所示。一階結果如表2所示。

表1 套管規格及材料參數

表2 線性屈曲計算結果

2.4 非線性屈曲分析

取線性分析結果的一階模態進行后屈曲分析，考慮壁厚的5%作為缺欠進行缺欠敏感性分析。計算結果如表3所示，各個不同規格的套管計算結果與實物試驗擠毀值比較可見，計算誤差在3%左右。通過與表2的線性屈曲計算結果相對比，特征值計算結果對于彈性擠毀套管計算較為準確，但是對于塑形擠毀套管結果明顯偏大，說明線性分析存在局限性。雖然線性分析計算的結果偏大，但其可作為非線性分析的基礎模態，使非線性分析計算更為準確。高度接近實物試驗結果說明弧長法計算套管抗擠強度具有可行性。

表3 非線性分析計算結果

3 材料缺欠和彎曲度對抗擠性能的影響

3.1 彎曲度對抗擠毀性能的影響

以?139.7 mm×12.70 mm進行建模。管體兩端全約束，管體中間通過剛體施加位移，模型及推彎過程如圖3所示。

圖3 推彎狀態

3.2 材料缺欠對抗擠性能的影響

套管自身存在的缺欠一定程度上影響套管的抗擠毀性能，為此對模型施加不同的缺欠模態，分別為壁厚的5%、10%、15%，初始載荷保持不變，計算結果如表4，不同規格的套管隨著缺欠模態的增加，lpf載荷比例因子逐漸減小，即套管抗擠毀性能逐漸降低，表明缺欠模態的增加降低套管的抗擠毀性能。

表4 有限元計算峰值因子

套管串在井下隨井眼軌跡增、降斜作業存在彎曲狀態，建模時通過在套管中間部位施加不同的位移，使其產生不同的彎曲度，分別為8°/30 m、16°/30 m、25°/30 m、41°/30 m。采用弧長法計算套管的抗擠毀性能，彎曲應力疊加局部應力集中導致套管抗擠毀性能降低，8°/30 m的彎曲度導致抗擠毀性能降低5%左右，到41°/30 m的抗擠毀性能降低35%，如圖4所示。通過弧長法可以有效表征套管在彎曲度存在的條件下抗擠毀強度損失情況,如圖5所示。

圖4 彎曲度與擠毀值的關系

圖5 擠毀狀態

4 實物試驗與有限元計算對比

該分析方法可以準確的計算鋼管的后屈曲行為及其結果，對比圖6～圖9發現鋼管壓潰的FEA模擬形貌和實物試驗形貌一致，具有高度吻合性，即彈性擠毀套管發生彈性失穩變形，變形部位呈現微橢圓狀態；塑形擠毀套管發生后屈曲變形，變形部位呈現擠毀形貌。結合數值比較和形貌比較，說明該方法可用于套管的計算分析。

圖6 FEA模擬失效形貌圖及實物擠毀圖(?139 mm×12.70 mm)

圖7 FEA模擬失效形貌圖及實物擠毀圖(?177 mm×11.51 mm)

圖8 FEA模擬失效形貌圖及實物擠毀圖(?244 mm×11.99 mm)

圖9 FEA模擬失效形貌圖及實物擠毀圖(?399 mm×13.06 mm)

結合表3數據說明，對于大尺寸套管以及處于彈性擠毀范圍的中度尺寸的套管可采用線性特征值分析直接進行計算，其計算結果與Riks弧長法計算結果很接近，可以忽略兩者的差別。

5 結論

(1)特征值和弧長法計算可以有效計算套管的抗擠毀值。對于彈性擠毀套管，可直接用線性屈曲分析計算;對于塑形擠毀套管需要在線性屈曲分析的基礎上采用弧長法進行計算。

(2)通過有限元計算與實物試驗對比分析，單軸載荷條件下，套管擠毀值與實物試驗結果一致，且FEA模擬失效形貌與實物試驗失效形貌一致。

(3)隨著缺欠模態的增加，lpf載荷比例因子逐漸減小，套管擠毀值逐漸降低;彎曲度顯著影響擠毀值，隨著彎曲度增大，套管抗擠毀能力逐漸降低。鉆井過程中應加強井眼軌跡控制，防止局部出現狗腿度過大現象。