例講高中數學新定義問題

李子修

(山東省壽光中學)

新定義問題在高考中經常出現,考查學生的知識遷移能力,是高考試卷中的一大亮點.很多學生遇到新定義問題往往不知如何下手,為增強學生自信,使其找到解答新定義問題的思路,有必要將新定義問題作為一個專題進行講解.

1 集合新定義問題

集合是高中數學的基礎知識.相關新定義的問題較為抽象,要想正確作答,不但需要深入理解、牢固掌握集合基礎知識,而且需要根據題干創設的情境,充分考慮每一種滿足題意的可能.

例1 已知集合I＝{1,2,3,4},A,B均是I的子集,若A∩B＝{1,3},則稱(A,B)為一個“理想配集”,其中(A,B)和(B,A)是兩個不同的“理想配集”,則滿足條件的“理想配集”的個數為( ).

A.16 B.9 C.8 D.4

該問題的難度并不大,需根據“理想配集”的定義,對可能存在的情況進行分類討論.

因為(A,B)和(B,A)是兩個不同的“理想配集”,所以以A為研究對象進行分類討論.

當集合A＝{1,3}時,則集合B可以為{1,3},{1,2,3},{1,3,4},{1,2,3,4},共4種結果;當集合A＝{1,2,3}時,則集合B可以為{1,3},{1,3,4},共2種結果;當集合A＝{1,3,4}時,則集合B可以為{1,3},{1,2,3},共2種結果;當A＝{1,2,3,4}時,則集合B可以為{1,3},共1種結果.

綜上,滿足條件的“理想配集”的個數為4＋2＋2＋1＝9種,選B.

2 函數新定義問題

函數是高中數學的重要知識點,相關新定義問題經常出現在測試以及高考中.解答該類問題的關鍵在于吃透新定義,建立新定義與所學知識之間的內在關聯,對問題進行靈活轉化,化陌生為熟悉.

例2 設f(x)在(a,b)上的導函數為f′(x),f′(x)的導函數為f″(x).若f″(x)＜0在(a,b)上恒成立,則稱函數f(x)在(a,b)上為“凸函數”.若f(x)＝ex－xlnx－px2在(1,4)上為“凸函數”,則p的取值范圍為_________.

3 數列新定義問題

數列是高中數學的難點,相關新定義問題有時會出現在高考中.解答數列新定義問題時應認真審題,認真分析新定義表示的含義,尤其當給出新的數列時應注重研究新數列的相關性質,提高數列性質的應用意識,以達到順利解題的目的.

4 平面向量新定義問題

平面向量是高中數學的重要知識點,常作為解答其他問題的工具,但部分測試中會單獨考查平面向量知識,尤其會在這部分設計新定義問題考查學生知識遷移的能力.解答平面向量新定義問題應注重聯系平面向量的幾何運算、坐標運算法則,對問題進行合理轉化,以迅速找到解題的切入點.

解答該題需要充分理解新定義的含義.根據題干給出的條件建立相關的平面直角坐標系,運用數形結合法便可直觀解答出滿足條件的m的取值范圍.

圖1

5 小結

對高中數學新定義問題進行研究可知,這類問題往往給出新的定義,要求學生運用所學知識進行分析.為使學生掌握這類問題的解題思路,應注重與學生一起剖析相關例題,使其認真體會解題的具體過程,尤其要引導學生認真閱讀題目,吃透題意,弄清楚題干中相關參數之間的聯系,積極運用轉化思想,化陌生為熟悉,實現問題的有效突破.