測量：《銳角三角比》探究性長作業教學實踐

王慧萍 上海市青浦區東方中學

青浦區特級教師朱連云老師指出：深度學習存在兩個學習圈，到達“領會”是學生實現深度學習的第一學習圈，它往往依附于常規教學，僅有第一個深度學習圈是不夠的，一定要把學生帶進深度學習的第二個學習圈“探究”。由于脫離了一些核心知識的領會，學生的探究常常是無本之木，具有盲目性。所以，需要在學生充分領會基礎知識之后，進行課外活動拓展，學以致用，實現從“領會”到“探究”的學習。通過長作業（一個單元或一個核心知識教學之后，讓學生開展基于真實問題的探究性活動學習）設計與實施，實現第一深度學習圈與第二深度學習圈的對接與融合。

長作業將學生的學習與生活相聯系，以學生的興趣為中心，相對于傳統的作業，是需要花較長時間才能完成的作業。基于教學進度，本次長作業實踐，整合了《銳角三角比》章節實踐活動：測量。本次探究實踐活動經歷了啟動、實踐、展示三個階段，取得了一定成效，也有需要改進之處。

一、啟動：領會核心知識，確定長作業實踐目標

（一）核心知識

滬教版教材將《銳角三角比》安排在九年級《相似三角形》之后，主要從定量的角度研究直角三角形。直角三角形邊角之間的數量關系，主要通過三角形內角和定理、勾股定理和銳角三角比來表述。有了這些數學工具，我們就能解決生活實際中的許多問題，如測量物體的高度、測量兩點間的距離、有關斜坡的計算、工件設計中的計算等等。

圖1 《銳角三角比》章節知識結構圖

（二）確定目標

教學參考中建議：從解直角三角形的演練到解決實際相關問題，知識間距離不大，可以給學生提供自主參與學習活動、進行探究和交流的機會。過程中關注學生在學習活動中的表現，關注學生數學應用意識和數學應用能力的發展。要關注實際問題數學化這個教學環節，教學時分為兩個階段。第一階段，在實際問題中有關的幾何圖形，讓學生知道一些術語，如仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等；第二階段，根據實際問題中的條件，能正確畫出相關的幾何圖形，然后用解直角三角形的知識求解。本章的實踐活動中，要求學生自己設計測量方案，然后運用本章知識求解，課本中的許多例題為學生設計測量方案提供了范例。

綜上，確定了《測量——銳角三角比的長作業實踐》目標和方案，即“會運用銳角三角比的知識解決真實問題，親身感受數學源于生活、服務于生活的理念”。在測量過程中，學生要分析情景特點、初步確定測量方案、分析方案可行性、比較不同測量方案，實施初步方案、處理和計算測量所得數據，提升學生實踐活動能力、知識應用能力以及團結協作意識。關注學生在學習活動中所表現的興趣和參與程度，關注學生在學習過程中獲得的體驗、體會以及進行數學交流的發言；要鼓勵學生在實踐活動中發揚獨立自主的精神，鍛煉勇于克服困難、團結互助等品質。

（三）時間安排

鑒于初三學生比較忙碌，課時較為緊張，安排三周時間。第一周，設計方案、小組分工、準備工具；第二周，實地測量，調整再測，計算整理；第三周，制作PPT 匯報交流，撰寫收獲反思，錄入綜評。

表1

二、實踐：自主設計方案，群策群力做任務

（一）共建學習支架，鼓勵自主設計

設計學習任務單，可以讓學生更有邏輯地進行實踐探究。首先讓學生自己設計學習任務單，之后老師給予指導，幾稿之后，最終形成如下環節：選題、設計方案、安排時間、任務分工、測量記錄、計算整理、自評互評、收獲反思。

表2、表3 指向活動組織，確定內容、組建團隊。結合校園實際，選取測量內容，成立學習小組，并進行人員分工。表4、表5，指向解決問題，確定方案、具體實踐。學生設計測量方案、分析可行性、實地測量、反思調整。表6、表7 指向評價反思，關注過程、反思收獲。關注每位組員的參與過程，從三個方面進行自評、互評，并記錄自己的收獲與反思。

九年級數學第25 章《銳角三角比》長作業 學習任務單

要求：

1.設計測量方案，從本章核心內容出發，解決生活實際問題；

2.分小組活動，集體討論，分工合作，共同完成測量任務，每位同學每個階段都有具體任務；

3.遇到問題，可以組內商量解決，也可以請教導師、家長以及其他專業人員；

4.進行自我評價和組內互評，注重過程性評價和形成性評價；5.總結實踐過程，寫300字的收獲與反思；6.制作幻燈片，課上分小組進行匯報交流；7.撰寫實踐報告，錄入綜評。

表2

表3

表4

表5

表6

表7

（二）聚焦問題解決，自主合作到多方借力

1.選擇項目，小組分工

《銳角三角比》這一章的應用，主要體現在測量。課內，解直角三角形的應用一個單元，基于不同情境進行算距、算高、算坡長。結合這些核心知識，學生可以選擇測距、測高、側坡長。在校園里兜轉一圈之后，學生選擇了比較簡單的測高問題，當然在測高問題中包含了測距。大家比較集中地選擇測量旗桿高度、路燈高度和足球球門高度。指定組長，學生自由組成小組。基于每位組員全程參與的原則，進行了任務分工，有的組員負責測量，有的負責讀數，有的負責記錄，有的負責計算等等。

圖2

2.設計方案，實地測量

組內群策群力，設計多種測量方案，準備好工具后，開始實地測量。

方案1：利用光的反射原理

利用所學的物理知識光的反射，將一面鏡子放在地上，一名同學通過鏡子看到旗桿的頂部，這樣可以構成兩個相似的直角三角形（如圖3）。先測量這名同學身高，以及腳到鏡子里旗桿頂部的長度，再測量旗桿底部到鏡子里旗桿頂部的長度。再根據相似三角形對應邊成比例，將測出的數據帶進去，計算出最終結果。

圖3

方案2：“A字形”的一對相似三角形方案設計：

結合24 章內容，我們可以通過“相似三角形的三邊對應成比例”的知識點求出旗桿高度。在一個陽光充足的時間，測出人的身高與影長以及旗桿的影長，得到一對如圖3所示的相似直角三角形，從而算出旗桿長度。

方案3：比例方案設計

讓一位同學作為參照物站在旗桿邊，水平拍一張照片。在照片上可以知道人的身高與旗桿高度的比值，再通過同學的身高計算得出旗桿的高度。

其實，實地測量并非一次就可以完成，有的小組先后組織幾次測量，除了老師給的時間外，還充分利用周末休息時間進行小組活動。也有小組補充了定滑輪法和手機測距儀法，但發現手機測距儀法，適合測距離較近的兩點間的距離。

3.多方借力，解決困難

過程中學生碰到了很多問題：

●有的測量方案無法操作；

●有的測量發現柱子不是線段，測量點的選擇影響測量的準確性；

●現實中影子并不是只在地面上，還有部分在其他建筑物上；

●先后測人的影長和旗桿的影長，入射角是不一樣的；

●測角時，沒有專業的測角儀，誤差會比較大，測距儀的高度不是人的身高，太陽光不強烈時，影子并不明顯；

●旗桿的高度，是地面以上還是司令臺以上，地下應該還有部分旗桿；

●卷尺長度不夠，測出來是數據不知道對不對，誤差范圍不明確；

●手機測距儀只能測近距離的長度；

●不知道真實的旗桿高度。

過程中的問題和困惑，很多都是學生自己想辦法解決的。還有些問題，小組群策群力也未能解決，有的學生請教物理老師，有的學生去借老師的手機，有的學生去向做工程的親戚借測角儀，有的去問校長旗桿的真實高度，體現了學生堅持探索的寶貴品質。

三、展示：集體交流分享，自評互評促成長

（一）展示交流，質疑完善

群策群力后，學生終于完成了實地測量任務，帶著太多想說的話，盼來了展示交流環節。第三周的周一，在數學課上進行交流分享，每個組派代表交流小組的分工、方案、實踐過程、遇到的問題，以及解決問題的過程。學生在臺上精彩陳述，時而也發出了少年少有的感慨，臺下的學生都聽得投入，互動環節，質疑解答，完善優化。學生的期待、贊賞溢于言表，就連學習積極性不高的學生也抬起了頭，露出了燦爛的笑容。當然大家也理性地給其他小組提出了寶貴的意見和建議，就自己沒聽明白的地方提出了疑問。例如，大家覺得，定滑輪法如何操作就是個問題，足球門框沒必要測得那么復雜，直接測量就可以，等等。

（二）自評互評，反思成長

基于自評互評表，針對自己和組員能否對測量方案提出合理建議，能否積極認真完成任務，能否團結并積極配合其他組員進行評價，組內進行了自評和互評。在收獲反思中，很多組員認為這次實踐活動很有意思，覺得數學有趣、有用；有的組員認為自己不夠仔細，導致測量誤差很大；有的組員抱怨，遇到了不合作的組員；有的組員認為理論和實際的距離太大，實際操作時平行于地面的要求很難保證，等等。

四、成效與反思

（一）成效

1.積累活動經驗，激發學習興趣

這次實踐活動，學生經歷了整理核心知識、選擇項目、小組分工、設計方案、實地測量、自評互評、收獲反思、交流分享、撰寫報告這些探究環節，讓學生對組織一次比較完整的探究活動的流程形成了一定的經驗。特別在遇到困難時，學生解決問題的方式，可遷移到日后的學習生活中。

在解決問題的過程中，學生們時而興奮，時而沮喪，時而迷茫，但最終都克服了種種困難，完成了本次長作業實踐，收獲了滿滿的成就感。在長作業實施的過程，學生們感受到了數學有用、有趣、有美，學習數學的興趣也會更濃厚。

2.提高應用能力，培養問題意識

生活離不開數學，但平時更多的理論學習，讓學生的實踐意識變得淡薄，這次實踐再次強化了學生用數學的意識，提高了學生應用能力，使學生不僅僅能夠解決數學化了的情景問題，更能解決真實情景中的問題。實踐的過程才是最重要的，過程中學生發現問題、分析問題、解決問題、提出問題，讓學生的問題意識越來越強，提高了學生解決問題的能力。

3.培養團隊合作能力，強化創意意識

小組分工、設計并修改方案，對培養學生的團結協作的能力和創新能力有一定的作用。學生選擇了測旗桿高度、路燈高度、足球門框高度，自主組隊、有序分工、撰寫方案、測量收集數據、自評互評、反思收獲、分享交流、修改完善、撰寫報告。關鍵是方案，在學生與老師的共同努力下，探究出物理中平行入射光線的測影長法、入射角和反射角相等的鏡子法、定滑輪法、利用三角尺或測角儀的測仰角法，還有利用相似比的照片法、手機中的測距儀法等等，正所謂創意無限。

（二）思考

1.長作業項目選擇需要突破教材綜合實踐活動

這次長作業項目整合了章節綜合實踐活動，希望項目解決的是學生身邊比較迫切的實際問題，這樣的長作業項目更具有探究的價值，亟待挖掘。

2.長作業活動實踐需要資源支持以保證更科學

本次探究活動中，只有一個小組解決了測角儀的問題，其他小組的測量誤差都比較大，因此，需要更專業的工具。本次活動，少了量化評價，可以用更多的數據評價學生的活動實效。需要家長、學校和社會提供更廣泛的資源支持。

3.長作業活動需要更科學的評價

長作業活動的實效，需要實證檢測，這就需要一個項目團隊跟進。長作業活動過程中，更需要關注學生的參與過程，本次實踐采用了評價量表、收獲反思的方式，評價量表可以更精準、更科學。

4.長作業探究實踐要常態化，形成課程

育良才，需要實踐長作業探究活動。一次或幾次實踐，并不能達成這樣的目標。所以，長作業探究實踐需要常態化，形成課程。