固體火箭發動機多層結構超聲信號傳輸的數學模型

郭旭飛

(1 呂梁學院物理系，山西 呂梁 033001；2 中北大學信息探測與處理山西省重點實驗室，太原 030051)

0 引言

當前針對固體火箭發動機多層結構殼體的脫粘問題，主要研究都集中于技術測試與應用，理論上的分析與建模并不多見。段方勇等[1]采用傳輸矩陣法建立了多層結構超聲回波幅度譜模型,分析了由不同材料構成的多層結構的幅頻特性。張建生[2]提出了鋼-橡膠多層結構的超聲卷積模型，并采用同態濾波解卷積等信號處理方法分析界面脫粘的特征。簡曉明[3]根據聲壓和質點速度在界面處的連續性推導了超聲脈沖回波的解析表達式,并對二界面粘接情況進行了評價。H?gglund等[4-5]提出了參數模型，并推導出了模型參數的最大似然估計，然后用于廣義似然比檢驗(GLRT)來檢測多層結構中的缺陷。閆鑫[6]利用輸入阻抗來描述多層結構的反射譜，并分析了界面粘接缺陷的反射譜特征。

在文獻[2,5]的基礎上，文中將多層結構的超聲模型進行簡化，并對部分公式進行修正，得到任意多層結構的超聲信號傳輸的數學模型，為后續對多層結構進行信號分析與處理奠定理論基礎。

1 多層結構的數學模型

1.1 線性系統

在系統識別中，被研究的材料或結構可以被視為線性系統，而傳遞函數可以描述線性系統的特征,即描述了輸出信號y(t)和輸入信號u(t)之間的關系，如圖1所示。與時域分析相比，離散的頻域分析有許多優點[7]。

圖1 在時域和頻域中的線性系統

輸出和輸入在頻域的關系為:

Y(jω)=Htf(jω)U(jω)

(1)

式中:Y(jω)，U(jω)分別為輸出信號和輸入信號的傅里葉變換；ω為角頻率。

1.2 單層結構超聲傳輸模型

單層結構的超聲傳輸模型如圖2所示，為了描述方便，信號垂直輸入，均在圖中表示斜入射，且未考慮材料的衰減。

圖2 單層結構反射信號傳輸示意圖

當超聲信號垂直入射到單層結構，在介質中會形成多層反射。

第一次反射為：

Y1(jω)=T01R12T10e-jωτ1U(jω)=T01T10R12e-jωτ1U(jω)

(2)

第二次反射為：

(3)

第三次反射為：

(4)

?

第n次反射為：

(5)

則第n次反射與第(n-1)次反射滿足關系：

Yn(jω)=R10R12e-jωτ1Yn-1(jω),n≥2

(6)

式(2)～式(5)中:T為界面透射系數;R為界面反射系數;τ1為界面反射兩次的時間，可表示為2d1/c1,d1為單層介質的厚度，c1為超聲傳播速度。單層結構總輸出超聲信號為：

(7)

進一步整理得到：

(8)

則單層結構的傳遞函數為：

(9)

式中，τ0為超聲的時間延遲。由于一般耦合介質很薄，τ0影響可忽略，則

(10)

1.3 多層結構超聲傳輸模型

對于多層結構，由于不同層之間非連續性聲阻抗特性，所以超聲信號存在多次反射和折射。從圖3可以看到增加了層數使得信號傳播路徑復雜化。但其中每一層超聲傳播和單層介質類似，傳遞函數容易求出。只要求出任意層的傳遞函數，那么多層結構的傳遞函數是各層傳遞函數的級聯。

圖3 多層結構超聲信號傳播示意圖

假設第q層為多層結構中的任意一層(q>1)，則超聲在其內部傳輸和接收分為3種情況：

1)信號從第(q-1)層下行入射到第q層，經多次反射，從第q層上行透射到第(q-1)層。

圖4 信號從第(q-1)層下行到第q層，再上行到第(q-1)層傳播示意圖

這種情況與單層結構的超聲傳播類似，對應的傳遞函數為：

(11)

式中:τq為信號在上下界面依次反射一次的傳播時間，可表示為2dq/cq,dq和cq分別為第q層的厚度和波速。

2)信號從第(q-1)層下行入射到第q層，經多次反射，從第q層下行透射到第(q+1)層。

圖5 信號從第(q-1)層下行到第q層，再下行到第(q+1)層傳播示意圖

信號從第(q-1)層入射到第q層，再透射到第(q+1)層的總信號為：

(12)

對應的傳遞函數為：

(13)

3)信號從第(q+1)層上行入射到第q層，經多次反射，從第q層上行透射到第(q-1)層。

圖6 信號從第(q+1)層上行到第q層，再上行到第(q-1)層傳播示意圖

信號從第(q+1)層入射到第q層，再透射到第(q-1)層的總信號為：

(14)

對應的傳遞函數為：

(15)

2 多層結構界面脫粘幅頻特性和相頻特性

固體火箭發動機多層結構模型如圖7所示，圖中虛線表示橡膠層不同的厚度,各層材料參數見表1[3]，各層材料不考慮聲衰減。主要利用傳遞函數模型來研究多層結構1界面脫粘和2界面脫粘的幅頻特性和相頻特性，其中2界面脫粘的深度逐漸增大，如圖7中的虛線變化。其中,d1=3 mm。

圖7 多層結構示意圖

表1 多層結構的材料參數

當1界面脫粘時，假設耦合介質很薄，則其傳遞函數為：

(16)

當2界面脫粘時，其傳遞函數為：

(17)

式(16)～式(17)中，不同的透射系數T和反射系數R可由材料聲阻抗求解[4]。

2.1 幅頻特性變化

圖8為多層結構界面脫粘幅頻特性圖，可以觀察到1界面脫粘幅頻明顯不同2界面脫粘的幅頻特性。對于2界面脫粘，文中其深度d2從0.95 mm開始以Δd為0.5 mm的厚度增加到5.95 mm。從圖8中可以看出，隨著2界面脫粘深度的增大，其對應的幅頻特性曲線也發生細微變化。

圖8 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的幅頻特性

2.2 相頻特性變化

圖9為多層結構界面脫粘相頻特性圖，可以觀察到1界面脫粘相頻特性明顯不同2界面脫粘的相頻特性。隨著2界面脫粘深度的增大，其對應的相頻特性曲線也發生一定程度的變化。

圖9 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的相頻特性

3 結論

從信號傳輸的角度，建立了固體火箭發動機多層結構的數學模型，研究了多層結構脫粘時其幅頻特性和相頻特性的變化特點，主要結論如下：

1)多層結構1界面的脫粘，可通過其傳遞函數的幅頻特性和相頻特性來表征。

2)多層結構2界面脫粘深度的增大，其傳遞函數的幅頻特性和相頻特性也會發生相應的變化。

該研究為后續多層結構超聲信號的分析與處理提供了理論基礎,后續研究應該考慮材料對超聲傳播的衰減因素。