2021年高考全國乙卷理科第19題的探究與啟示

■ 哈爾濱師范大學 孔繁雪

近年來,高考對于數列的考察主要集中在等差數列、等比數列的證明及求和上,2021年全國乙卷的考察也將重點放在等差數列的證明及求和上,但相較于之前的注重對證明及求和方法的考察,乙卷的數列題更加注重學生對于基礎知識的掌握以及對題目的理解,并且此次考試將數列題放在第19題的位置上,更加體現了對數列基礎知識的重視。

1 試題呈現

題目(2021年全國乙卷19題)記Sn為數列{an}的前n項和,bn為數列{Sn}的前n項積,已知。

證明:(1)數列{bn}是等差數列;

(2)求{an}的通項公式。

2 試題分析

本題以bn與數列{Sn}之間的關系作為載體,主要考查數列通項an與數列前n項和Sn之間的關系及等差數列的證明,考查學生的推理論證及運算求解能力、考查分類與整合、特殊與一般、考查邏輯推理、數學運算等核心素養。

本題只需要準確bn與數列{Sn}之間的關系及具體的表示,并準確表示出n的范圍,值得注意的是,n的范圍所對應的通項公式也不一定相同,需要對首項進行檢驗。然后類比an與數列前n項和Sn之間的關系從bn與數列{Sn}之間的關系中得到Sn的通項公式,最終得到an的通項公式。

3 解法分析

點評:

對于本題來說,難點在于正確理解bn為數列{Sn}的前n項積的含義,并將其和an與Sn之間的關系建立聯系,然后準確地對式子進行變形、整理,值得注意的是,在計算第n-1項時n的范圍是n≥2,并且需要將等差數列的首項計算出來,將首項進行檢驗看是否滿足通項公式。第二問先是利用Sn與bn的關系計算出bn,再利用an與Sn的關系計算出an,并注意n的范圍。通過對本題的求解,主要可以培養學生的類比以及分類討論的思想,提高學生的邏輯推理能力。

4 高考題對比

點評:

這兩道高考題的第二問都是在第一問求得了{an}的通項公式的基礎上,利用前n項和的求和公式及其他方法求得Sn的,主要考查學生的邏輯思維能力、運算求解能力、轉換思想等。

這兩道高考題與全國乙卷的高考題相比,全國乙卷的解題程序與此相反,已知{Sn}前n項積,得到Sn的通項公式,再通過an與Sn之間的關系,最終得到an的通項公式,弱化了對技巧以及方法的考察,著重考查學生的基礎知識及其閱讀理解能力。

5 啟示與建議

5.1 落實“雙基”

俗話說,基礎不牢,地動山搖。考試的重點在于學生所表現出來的基本知識和基本方法,并在此基礎上考查學生的基本技能。因此,在教學過程中,教師應注意對基礎知識本質的剖析,注重學生對于基礎知識和基本技能的學習與理解,在教學過程中放緩教學速度,循序漸進,穩扎穩打,這是解決數學問題的前提,也是學生提高學生數學能力的基石,是提高數學核心素養的保證。

5.2 注重通性通法

如今的高考題特別注重考查通性通法,淡化特殊技巧。因此,在復習中要注意對基本方法、典型思想的培養,對于一些華麗但并不實用的方法并不提倡學生使用,應追求具有思想價值及通用的方法。應注重對于通性通法的練習,以提高解題能力。

5.3 回歸教材

注意回歸教材本源,選擇有針對性的問題,對基礎知識、基本方法進行鞏固提升,確保每塊內容的基礎得到真正落實,從而進行靈活應用,有效切實提高學生解題能力。

5.4 促進深度學習

深度學習被認為是實現核心素養落地的重要途徑,因此,在進行學習及復習時應注重學生的接受程度以及心理發展規律,教學不宜過快,應讓學生慢慢思考,引導學生在解決問題的同時注意培養學生自我反思解題及方法的習慣,重視對知識的本質的挖掘與理解,促進學生對問題的深度與廣度的認識,增強學生解決問題的能力。

5.5 類比學習,舉一反三

不難發現,高考對于數列的考察主要集中在基礎知識及基本內容的變形等,因此,學生應注重對課本知識的理解與運用,以及應具備將書本上的基礎知識遷移的能力,學會類比學習,就舉一反三,以加深學生對于知識的理解,提高學生解決問題的能力以及發展學生的數學核心素養。