圓雛曲線的-類定值應(yīng)用

徐蘭 車樹勤

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其運(yùn)算量大常讓同學(xué)們望而生畏。由于圓錐曲線中橢圓與雙曲線都是中心對稱圖像，所以隱含著很多定值關(guān)系。大家如果能夠把這些關(guān)系梳理清楚，那么對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題就可以化繁為簡。

直線經(jīng)過原點(diǎn)與橢圓或雙曲線相交的弦我們稱為中心弦，那么橢圓或雙曲線上任意一點(diǎn)與中心弦的兩點(diǎn)形成的兩條直線的斜率之積為定值，稱為中心弦特征。任意一條直線與圓錐曲線相交時(shí)，原點(diǎn)與弦的中點(diǎn)連線的斜率與直線的斜率之積為定值，稱為中點(diǎn)弦特征。具體看-下這些結(jié)論：

0），A，B分別是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜

B》0），A，B分別是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，直線PA，

0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B分別是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，P是弦AB的中點(diǎn)，直線OP，

B》0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B分別是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，P是弦AB的中點(diǎn)，直線

0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），過焦點(diǎn)F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P，直線PA，PB分別交直線x=4于M，N兩點(diǎn)。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）記M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM，yN，則yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值;若不是，請說明理由。

當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，設(shè)B（xo，yo），A（xA，yA），則P（-x0，

點(diǎn)評：解法一運(yùn)算量較大，設(shè)出，點(diǎn)P坐標(biāo)，先表示出直線AP的方程，再與橢圓聯(lián)立方程組求出，點(diǎn)A的坐標(biāo)，這種設(shè)，點(diǎn)求，點(diǎn)的運(yùn)算很多同學(xué)都解不出來，即使解出來花費(fèi)時(shí)間也過多。解法二中用中心弦特征的結(jié)論，

直線AB，AP的斜率積為定值一，利用直線AB的斜率表示出AP的斜率，就完全避免了復(fù)雜的運(yùn)算，有種豁然開朗的解題感覺。

運(yùn)用這些結(jié)論可以快速找到解題的方向并且避免解析幾何復(fù)雜的運(yùn)算，如果用來解決小題就更加得心應(yīng)手了。

練一練：

1.平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：

（責(zé)任編輯 徐利杰）