巧用拋物線定關(guān)妙輯題

劉少英

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。定點F

叫作拋物線的焦點，定直線L叫作拋物線的準線。拋物線的定義是解決有關(guān)拋物線問題的重要工具。同學們巧用拋物線的定義解題時，應(yīng)該“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，可以化難為易，使思路簡捷，運算簡便，提高解題的速度和解題的正確率，提升解題的質(zhì)量。

一、求參數(shù)問題

例1已知拋物線x2=4y上的一點M到焦點的距離為5，求點M的縱坐標。

分析：利用拋物線的定義，把點M到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點M到準線的距離求解。

解：拋物線x2=4y的焦點是F（0，1），準線L的方程是y=-1。設(shè)點M的縱坐標為yM，作MN⊥L于點N，則yN=-1。

由拋物線定義和題意，得|MN|=|MF=5。

因為MN⊥I，所以|MN|=|yM-yNI=|yM-（-1）|=|yM+1|=5。

由拋物線x2=4y，得yM》0。

故yM+1=5，yM=4，點M的縱坐標是4。點評：本題也可以列出方程組求解，但是應(yīng)用拋物線的定義解題，運算比較簡易。

練習1：若拋物線y=4px上的點M到焦點F的距離為3，且xM=2，求p的值。

解：拋物線y2=4px的準線1的方程是x=-p，根據(jù)拋物線的定義，可得點M到焦點F的距離等于點M到準線L的距離。于是2-（-饣）=|MF|=3，解得衛(wèi)=1。

二、求最值問題

例2已知點P在焦點為F的拋物線x2=4y上，點A（-2，6），求（|PA|+PF）mino

分析：PF等于點P到拋物線的準線L的距離d，于是（|PA|+|PF|）mim=（|PA|+d）min。

解：過拋物線x2=4y上點P作其準線I：y=-1的垂線，垂足為M，則yM=-1。

把點A（-2，6）的橫坐標x=-2代入拋物線方程x2=4y，得y=1。

因為y4=6》1，所以點A在拋物線的內(nèi)部。

由拋物線定義知，|PA+PF=IPA+IPM。

由三角形的三邊關(guān)系，得當PA1時，即點A，P，M三點共線時，|PA+PM最小，且|PA|+|PM|=|AM|。

因|AM|=|yA-yM|=|6-（-1）|=7，故（|PA|+|PF|）min=7。

點評：此題是求距離之和的最值問題，采用函數(shù)的最值法難以得解，而利用拋物線定義，通過數(shù)形結(jié)合和三角形的三邊關(guān)系求解，思路清晰，運算簡易。

練習2：已知點P（3，2）在拋物線y=4x的內(nèi)部，F(xiàn)是拋物線的焦點，在拋物線上求一點M，使|MP|+|MF|最小，并求此最小值。

解：過M作準線L的垂線，垂足為A。

則由拋物線的定義知MF=MA。

故|MP|+IMF|=|MP|+IMA。

顯然當P，M，A三點共線時，|MP|+|MF|最小，此時，M點的坐標為（1，2）。故|MP|+|MF的最小值為4。

三、求面積問題

例3過拋物線y2=4x上一點P作其準線的垂線，垂足為A，設(shè)拋物線的焦點為F，且|PF|=9，求△APF的面積。

分析：由拋物線的定義得，點P到焦點F的距離|PF|等于點P到準線的距離|PA|。

解：設(shè)P（年）。

因拋物線y2=4x的準線是x=-1，故IPF=1PA=+1=9，，=±4E。

所以S6：=2PA11=18/2。

點評：本題可以列出方程組求解，但是用拋物線的定義求解，運算更加簡捷。

練習3：已知拋物線y2=2x（p》0）的焦點為F，準線方程是x=-1。設(shè)點M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標原點，則△OFM的面積為

解：拋物線的準線方程為x=-1，則焦點為F（1，0），p=2，拋物線方程為y2=4x。

|MF|=xM+1=3，xM=2，所以yM=4xM=8，|yM|=2/2。

SAcr-F-2.

四、求拋物線焦點弦長的問題

例4設(shè)直線AB過拋物線y2=4x的焦點F，且交拋物線于A，B兩點，若弦AB的中點M的橫坐標為3，求弦長|AB|的值。

分析：利用拋物線的定義和線段中點坐標的公式求解，思路巧妙簡捷，運算量少。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2xM=2X3=6。

拋物線y2=4x的準線是1：x=-1，過點A作AP⊥L于點P，過點B作BQ⊥L于點Q，可得xp=-1，xQ=-1。

由定義得弦長|AB|=|AF|+IBF|=AP+BQ=x1-xP+x2-xQ=x1+x2+2=8。

點評：若用平面上兩，點間的距離公式求|AB|，需設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組求解，運算量較大，而用拋物線定義求解，思路簡捷，運算簡單。

練習4：過拋物線x2=4y的焦點作直線交拋物線于點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1+y2=4，則弦長|AB|的值為。

解：由拋物線定義及題意，得|AB|=y1+y2+2=4+2=6。

五、求軌跡問題

例5已知動點M的坐標滿足方程

5/x2+y2=|3x+4y-12|，則動點M的軌跡是

分析：由點到直線的距離公式和拋物線的定義，可直接判定動點M的軌跡為拋物線。

解：由題意得，x2+y23x+4y-12，即動點M（x，y）到直線/32+423x+4y-12=0的距離等于它到原點（0，0）的距離。

由拋物線定義可知：動點M的軌跡是以原點（0，0）為焦點，以直線3x+4y-12=0為準線的拋物線。

點評：這是非標準式的拋物線，若直接將方程兩邊平方后整理，不易分析軌跡類型，此解法體現(xiàn)出巧用拋物線定義的優(yōu)越性。

練習5：設(shè)動點M滿足方程5/（x-1）2+（y+1）2=|4x+3y-12|，求動點M的軌跡。

解：由點到直線的距離公式和拋物線的定義，可直接判定動點M的軌跡是以點（1，-1）為焦點，以直線4x+3y-12=0為準線的拋物線。

以上五個方面闡述了拋物線定義的應(yīng)用，從這些例子中可以看出，在特定的條件下，巧用拋物線的定義解題，具有其特定的必要性和優(yōu)越性。“回歸定義”是數(shù)學解題最原始、最基本的方法，有時也是最有效、最巧妙的方法。在解決圓錐曲線問題時，特別要注意樹立“用定義解題”的意識，許多圓錐曲線的問題具有幾何意義，若能結(jié)合定義挖掘題中隱含的幾何意義，常可巧妙快速解題。

（責任編輯 徐利杰）