淺析圓維曲線的焦點三角形問題

徐粉芹

橢圓、雙曲線的焦點三角形的兩個頂點是焦點，第三個頂點在圓錐曲線上，故稱之為焦點三角形。圓錐曲線焦點三角形問題，涉及幾何、向量、三角、函數等多領域的知識與方法，綜合性強、思維強度高，是圓錐曲線知識的重點與難點，這類問題全方位反映焦點三角形問題的幾何特征，一般考查周長、離心率、面積、最值等問題。在解決和焦點三角形有關的問題時，要注意橢圓、雙曲線定義的運用，另外注意三角形中正弦定理、余弦定理及三角形面積公式等知識的運用。

一、橢圓、雙曲線的焦點三角形的幾個常見結論

1.橢圓中PF1|IPF2|的表達式

|F1F2I2=|PF1I2+|PF2I2-2|PF1|·PF2cos0=（PF+PF2-2PFPF2-2PFPF2cos0=（PF+|PF2）2-2|PF1|IPF2（1+cos0）。

故4c2=4a2-2|PF1||PF2（1+cos0）。

2.橢圓中焦點三角形的面積公式

3.雙曲線中PF1PF2的表達式

4.雙曲線中焦點三角形的面積公式

二、幾個重要問題

1.周長問題

例1

[2021年永昌縣第一高級中學高二期中（理數）]已知△ABC的頂點B，C在橢圓3+y=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）。

A.23

B.43

C.4

D.6

設另一焦點為F1，由題意可得△ABC的周長為|AC+CF1+F1B+AB=2a+2a=4a=4/3。故選B。

點評：周長問題是圓錐曲線的焦，點三角形問題中的基礎題型，解決此類問題的關鍵在于運用圓錐曲線的定義。

練習1：已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a=8，那么△ABF2的周長是（）。

A.26

B.21

C.16

D.5

解析：易知|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，即|AF2|+|BF2|（AF1+|BF1I）=16，|AF2|+|BF2|=16+5=21。故△ABF2的周長為AF2+|BF2|+AB|=21+5=26。選A。

2.離心率問題

離心率是圓維曲線的重要性質，常以選擇題、填空題形式出現，考查同學們對圓維曲線知識的掌握程度和綜合應用能力。解題的思路是：根據已知條件探尋α，b，c三者之間的關系，要求大家運用圓錐曲線第一定義、正余弦定理、不等式等知識分析和探尋解題方向，通過細心的運算，步步為營，最終得到結果。

解析：如圖1所示，設|AF1=3t，則AB=4t，|BF1|=5t。所以|AF1|2+AB|2=|BF1|2，∠F1AF2=90°。

由橢圓定義可得，

AF+ABBF=12t=4a，=3。

所以|AF1|=3t=a，|AF2|=2a-|AF1|=a，△AF1F2為等腰直角三角形。可得|AF1I2+|AF2|=|F1F2|2，即2a2=4c2。

點評：在焦點三角形三邊上設置“情境”，與三角形離心率的有機結合，綜合考查同學們對“新情境”問題的處理能力。

3.面積問題

面積問題一般出現在試卷的選擇題或填空題中，如果同學們采用常規思路來解答問題，就會浪費很多時間，會造成小題大做，對于考場上的寶貴時間而言非常不可取。有鑒于此，在解決問題時，大家可采取特殊解法，這樣-來可以節省時間，二來能夠提高做題的準確率。這里的特殊解法是指求解圓維曲線中的面積問題時要應用余弦定理來求解，這種做法方便、高效。

點評：此類三角形的面積問題，常規解法是利用余弦定理求出PF1PF2，再利用三角形的面積公式求解，也可直接利用此類三角形的面積公式求解。

練習3：（2021年安徽安慶市高三模擬）

4.最值問題

最值問題是圓錐曲線焦點三角形中的-類重要問題，解答這類問題主要用到圓錐曲線第一定義，再輔之以正弦定理、余弦定理及均值定理等其他數學知識點來解。

點評：此類問題的常規解法是求出向量的數量積，根據角的范圍進行求解。

當點P位于短軸端點時，∠F，PF2取最大值，要使橢圓C上存在點P滿足∠F1PF2=120°，則∠F1PF2的最大值大于或等于120°，即點P位于短軸端點時，∠F1PF？大于或等于120°。

（責任編輯 徐利杰）