高精度液壓系統壓力波傳遞速度在線測量試驗*

梁云棟，何 琳，徐榮武，陳宗斌

(海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室， 湖北 武漢 430033)

液壓管路壓力波傳遞速度，簡稱壓力波速，是液壓工程中非常重要的一個基本物理參數。它反映了流體的可壓縮性、黏性等特性，直接影響了系統的固有頻率和阻尼比,從而間接反映了液壓系統的穩定性和動態品質。

然而對于實際液壓系統，影響壓力波傳遞速度的因素很多，它不僅與流體本身的物理性質有關，包括液壓油的壓力、溫度、分子結構和含氣量等；而且受管道的幾何參數、材料的機械性質及結構支承方式的影響。在液壓系統流體傳輸過程中它始終是個變量，因此準確地確定液壓管道內的壓力波傳遞速度是一大難題，目前國內外在工程應用上均視其為常量，在計算機動態仿真和液壓系統故障診斷等過程中，這種處理常會帶來很大的誤差。

壓力波傳遞速度測量主要是通過試驗手段，試驗方法又分為直接測量法和間接測量法[1]。直接測量法是在時域和頻域的實時測量中獲取壓力波傳遞速度的值；間接測量法是通過確定流體的體積彈性模量來間接地導出壓力波傳遞速度，由于間接測量沒有考慮到液壓系統動態特性變化，對工程實際的指導意義不大。

為提高直接測量方法的準確性，國外學者針對測試過程做了大量的改進研究，主要包括測量傳感器的數量選擇，測點之間的布置距離，測試數據后期處理和擬合方法等。20世紀七八十年代開始，Margolis和Brown[2]發明了一種在湍流中測量正弦擾動波傳遞速度和衰減率的試驗方法，將三個壓力傳感器等距布置在長為137 m的螺旋管上，并證明了波速是頻率和雷諾數綜合作用的結果。Bolleter[3]用了類似的方法，在1.25 m的長直管道上等距布置三個傳感器，這種改進更加方便、實用，可適用于在線測量，但忽略了黏滯摩擦效應和傳遞波頻率變化對試驗的影響。英國Bath大學的Johnston和Edge[4]在此基礎上做了創造性工作，他們將測量方法擴展到非等間距傳感器測量試驗，并且在處理數據過程中考慮了流體的黏性、熱傳遞和摩擦效應，但是對影響因子特性考慮并不充分[5-11]，其優點在于避免了當傳感器間距恰好為傳遞波半波長整數倍時導致測量數據失效的問題。更進一步地，Johnston的方法作為兩種方法之一被ISO 15086-2： 2000[9]所采用，相比于雙傳感器測量方法所需的苛刻試驗條件，此法被推薦適用于在“任何時間和任何正常有效工作條件下液壓系統”的壓力波速在線測量。其他方法有Karjalaine等[12]和Yu等[13]基于測量兩個壓力波延遲的互相關法，試驗方法簡單但高度依賴于充分高的激勵頻率和采樣頻率，試驗結果易受反射波的影響且準確性尚不清楚。Yu等[14]和中川修一等[15]對現有的波速測量方法進行了很好的回顧并且提出了一種利用等效替換思想來測量液壓系統部件中壓力波速的方法，在試驗測量方法本質上并沒有創新。國內學者在此基礎試驗測量研究上做的工作相對較少，鮮有相關文章、報告和試驗，尚未有人給出準確壓力波速值為當前的液壓系統動態仿真和研究提供參考。

針對當前研究對管內流體影響因子特性考慮還不夠充分和國內尚未明確給出準確的液壓系統壓力波速參考值這兩個問題。本文從傳輸管路波動方程出發，推導三傳感器測量原理，引入Foster等價剪切系數模型對液壓管路中各種影響因子進行了高精度估計，采用Newton-Raphson迭代法減小數據處理誤差，以精確計算壓力波傳遞速度。搭建液壓管路壓力波速在線測量試驗平臺，用MATLAB軟件編程，實現了液壓系統多種工況下壓力波速的精準測量與計算。

1 理論分析

從流體傳輸管路波動方程出發，推導三傳感器測量原理，引入Foster等價剪切系數模型對液壓管路中各種影響因子進行高精度估計，采用Newton-Raphson迭代法精確求解壓力波傳遞速度。

1.1 傳輸管路波動方程

根據流體傳輸管路波動方程[1]：

(1)

由式(1)解得：

(2)

式中：P(x,s)、Q(x,s)分別為管道上任一點x處瞬時體積流量和流體壓力的拉普拉斯變換；z0為管路特征阻抗；γ為波傳播系數，表示波在傳播過程中的幅度衰減和相移特性，通常為復數；F和G是由邊界條件所決定的系數。

1.2 三傳感器測量原理推導[3]

測試液壓系統原理如圖1所示。

圖1 測試液壓系統原理圖Fig.1 Test hydraulic system schematic diagram

以泵出口處為坐標原點，通過調節伺服電機的轉速N來改變管路中壓力波的激勵頻率，在長直管道上依次布置三個動態壓力傳感器測量管路在該點的瞬態壓力，調節節流閥開度大小改變系統的工作壓力，溢流閥對系統起到安全保護作用，過濾器過濾掉液壓油中的雜質。三個傳感器的坐標依次為x1、x2、x3，所測壓力波激勵頻率下第i次諧波的瞬態壓力分別為P1,i、P2,i、P3,i。

由式(2)可得：

(3)

(4)

(5)

聯立式(4)～(5)可得如下雙曲正弦方程：

H12sinh[γ(x3-x2)]+H32sinh[γ(x2-x1)]-

sinh[γ(x3-x1)]=0

(6)

方程(6)中，x1、x2、x3和H12、H32均為已知量，波傳播系數γ由下文介紹的傳輸管路頻率特征模型給出。

1.3 傳輸管路頻率特性模型

根據假設條件不同，流體傳輸管道一般分為三種模型：無損模型、線性摩擦模型以及耗散模型。

在工程實際測試中，對于長直液壓管路，一般認為流體運動為層流，充分考慮流體的黏性和熱傳遞效應。在該假設條件下，通常選用耗散模型，在頻率為f的正弦激勵波下，波傳播系數給定如下[1]:

γ=j2πfξ/c0

(7)

其中：ξ為管道修正系數，反映管路的黏滯效應，c0為本文所需測量的壓力波傳遞速度。由式(7)可得管道修正系數為：

(8)

由式(8)可知，耗散模型引入了貝塞爾函數，增加數據處理難度的同時高頻段計算結果還會顯示出不穩定性，常見較為精確的近似方法有Foster等價剪切系數模型、高階近似模型及一階平方根近似模型[1]，三種模型計算方式下ξ的頻率響應與貝塞爾函數精確解的對比曲線如圖2所示。

(a) 幅頻響應(a) Amplitude-frequency response

由圖2可知，Foster等價剪切系數模型在全頻段，尤其是低于10 Hz的低頻段，與貝塞爾函數精確解的幅值和相位響應曲線重合度最高，優于其他模型，本文數據處理過程中選用該模型。

采用Foster等價剪切系數模型近似后，管路修正系數為[1]：

(9)

其中，K1和K2是與Ns有關的表達式，按照如下規則取值：

(10)

(11)

1.4 Newton-Raphson迭代法求解壓力波速

將式(7)代入方程(6)，可得：

(12)

利用方程(12)求解出管道壓力波傳遞速度c0。

一方面此方程是壓力波速c0的非線性方程，無法直接求解；另一方面由于試驗過程中不可避免的各種誤差，方程左端式子不為0。為減小試驗誤差的影響，采集管路壓力波激勵頻率前n階諧波的壓力脈動數據，同時采用Newton-Raphson迭代法[16]處理試驗數據，達到使各階諧波下誤差ε的平方和E最小的目的，Newton-Raphson迭代法計算流程如圖3所示。

圖3 Newton-Raphson迭代法計算流程Fig.3 Calculation process of the Newton-Raphson iterative method

其具體步驟如下：

步驟1：查閱液壓油產品說明書并進行相關的校正，得到油液密度ρ和油液等效體積彈性模量Be的估計值，計算壓力波傳遞速度的初始迭代值，即

(13)

步驟2：利用所測試驗數據計算出管道壓力波下第i階諧波頻率fi處對應的誤差：

(14)

誤差平方和為：

(15)

由式(13)～(14)可得：

(16)

(17)

步驟3：計算壓力波傳遞速度的修正值，即

(18)

步驟4：計算新的壓力波傳遞速度，即

c0,NEW=c0,OLD+βΔc0

(19)

式中，β為迭代松弛因子，控制迭代過程中的收斂速度和穩定性，通常0<β≤1，這里取β=0.7。

(20)

步驟5：判斷迭代是否收斂，即收斂條件Δc0

步驟6：最終輸出的c0,NEW即為壓力波傳遞速度c0。

2 試驗研究

2.1 搭建試驗平臺

本文測試平臺搭建以某型齒輪泵作為液壓管路系統的激勵源，測試管路選取等徑長直硬質鋼管和橡膠軟管，管夾周向包覆彈性支撐，三個傳感器非等距離布置在管路上，利用B&K模塊對管路中的壓力脈動數據進行實時采集，通過可調節節流閥改變系統工作壓力，調節伺服電機轉速改變管路中壓力波的激勵頻率，通過溫度計表頭監測系統的工作溫度，液壓油選用46號抗磨液壓油。測試平臺選用元器件見表1。

表1 測試平臺選用的元器件

試驗平臺實物圖及測點布置見圖4。

圖4 試驗平臺實物圖及測點布置Fig.4 Physical map of test platform and measuring-point arrangement

調節伺服電機改變泵的轉速范圍：800～2 000 r/min，轉速間隔為100 r/min；調節可變節流閥改變系統的工作壓力，本試驗選取系統典型工作壓力20 bar、50 bar、75 bar、100 bar；更換等徑的橡膠軟管，重復上述試驗。采集系統在各種工況下的壓力傳感器數據，研究系統壓力波速隨工作壓力以及管路材料的變化規律。

2.2 試驗數據處理

測試管路為硬質鋼管時，查閱46號抗磨液壓油樣本獲取液壓油密度ρ=876 kg/m3，運動黏度υ=46 mm2/s，油液體積彈性模量B=16 800 bar，將管路壁厚d和內徑t、管路楊氏彈性模量E=2 060 000 bar代入式(21)[17]，得到考慮管路剛度的油液有效體積彈性模量Be=15 612 bar。測點位置x1=0.1 m，x2=0.43 m，x3=0.9 m。

(21)

剔除掉管路系統共振和此布置條件下測試失效的試驗數據。以泵1 000 r/min穩定運行，工作壓力50 bar工況為例，具體給出詳細處理步驟。首先，通過傅里葉變換將測試采集系統實時采集的時域數據轉換為頻域數據；其次，利用濾波器提取出管道壓力波前20階諧波的壓力脈動P，三個測點的原始時域數據和頻域上提取的前20階諧波的壓力脈動幅值分別如圖5～6所示；最后，基于MATLAB軟件編制程序，計算出各激勵頻率下前20階諧波所對應的剪切系數Ns和修正系數ξ，將所求得的P、Ns、ζ代入波動方程，采用Newton-Raphson迭代法計算出此工況下的壓力波速。其余工況和橡膠軟管測試時采用與之相同的流程和數據處理方法。

(a) 1#測點(a) 1# measuring point

(a) 1#測點(a) 1# measuring point

2.3 試驗結果分析

2.3.1 工作壓力對壓力波傳遞速度的影響

不同工況下的壓力波傳遞速度試驗結果如表2所示，各工況下的壓力波傳遞速度變化曲線如圖7所示。

表2 不同工況下的壓力波傳遞速度計算值

圖7 各工況下的壓力波傳遞速度曲線Fig.7 Pressure wavespeed curves under different working conditions

液壓管路系統壓力波傳遞速度與介質工作壓力之間為二次對應關系[18]，以1 000 r/min工況為例，對試驗數據進行擬合，得到壓力波傳遞速度c0與介質工作壓力p(0≤p≤125)之間的函數關系式為：

c0=0.001 392p2+0.671 8p+1 301

(22)

由表2的數據可知，在誤差允許范圍內，相同工作壓力下，壓力波傳遞速度大小基本不變。在系統典型工作壓力20 bar、50 bar、75 bar和100 bar下壓力波傳遞速度大小分別約為1 320 m/s、 1 338 m/s、1 363 m/s、1 380 m/s。

雖然液壓油中含氣量極少，但氣泡的存在使得油液的有效體積彈性模量降低，從而導致壓力波傳遞速度降低。工作壓力逐漸增大，油液中的含氣量減小，壓力波傳遞速度隨之增大。由圖7可知，在誤差允許范圍內，管路壓力波傳遞速度大小隨著工作壓力的升高而增大。可見，試驗分析結果驗證了“壓力波傳遞速度與流體所受到的壓力有關，壓力越大，波速越大”這一理論分析結論的正確性[1]。

2.3.2 管路材料對壓力波傳遞速度的影響

以泵1 000 r/min穩定運行工況為例，對比分析測試管路分別為硬質鋼管和橡膠軟管時壓力波傳遞速度的試驗結果，如圖8所示。

圖8 硬質鋼管和橡膠軟管壓力波傳遞速度試驗結果對比Fig.8 Comparison of test results of wavespeed between rigid steel tube and rubber hose

可見，相同條件下考慮管壁結構彈性時，橡膠軟管在管內壓力作用下產生的彈性形變較大，系統表現出的柔性較強，從而降低系統的壓力波傳遞速度[19]。

2.4 試驗誤差評估

由于波速求解方程的非線性和試驗過程中不可避免的偶然誤差，采用概率統計中的F分布理論對實驗結果進行評估，計算出以各工作壓力下測量樣本均值為中心，置信水平為95%的波速置信區間[20]，如表3所示。

表3 不同工作壓力下的壓力波傳遞速度置信區間

同時計算出各工作壓力下的波速測量結果與樣本均值之間的測量誤差。以硬質鋼管下的測試數據為例，如圖9所示，可見，試驗分析結果表明在給出的具有95%置信度的波速區間內，誤差小于±1%。

圖9 各工況下的壓力波傳遞速度測量結果誤差Fig.9 Error of measurement results under different working conditions

3 結論

1)針對現有壓力波傳遞速度測量試驗中影響因子估計不足，缺乏準確壓力波傳遞速度參考值的問題，本文推導了非等距三傳感器的測量原理，引入Foster等價剪切系數模型，采用Newton-Raphson迭代法求解壓力波傳遞速度，為液壓管路壓力波傳遞速度的在線精確測量奠定了理論基礎，對液壓系統管路壓力波傳遞速度在線測量和評估具有指導意義。

2)基于理論推導，搭建液壓管路壓力波傳遞速度在線試驗平臺，用MATLAB軟件編程，實現了對系統多工況下的壓力波傳遞速度精準測量與計算，試驗結果表明：在系統典型工作壓力20 bar、50 bar、75 bar和100 bar下，壓力波傳遞速度大約分別為1 320 m/s、1 338 m/s、1 363 m/s、1 380 m/s，在置信水平為95%的波速區間內誤差小于±1%；管路壓力波傳遞速度大小隨著工作壓力的升高而增大，并給出二者之間的函數關系，實現了對壓力波傳遞速度的準確估計，為液壓系統動態仿真和實際工程計算研究提供重要基礎數據支撐。

3)液壓管路材料會影響管路系統的柔性，柔性會降低壓力波傳遞速度，在精確計算系統壓力波傳遞速度時，必須考慮管路柔性對壓力波傳遞速度的影響。

4)本文所述試驗思路和方法對其他類型流體介質管路壓力波傳遞速度測量具有一定的參考價值。