彈性基上圓柱管彎曲行為的高階剪切梁理論解*

馬維力，申柳雷，宋殿義，李顯方

(1. 長安大學 理學院， 陜西 西安 710064； 2. 國防科技大學 軍事基礎教育學院， 湖南 長沙 410072； 3. 中南大學 土木工程學院， 湖南 長沙 410075)

作為工程結構中最常用的構件，梁被廣泛應用于土木工程、航空航天、醫療衛生等領域。如埋入地基中或放置于地基上的輸油、輸氣、輸水管道等。隨著工程技術不斷發展，各個行業不斷探索追求構件的輕量化設計，在滿足結構強度、剛度和穩定性的前提下，盡量降低結構件自身重量。與實心圓柱梁相比，相等重量的圓柱管具備更強的抗彎能力和抗扭能力，成為更優的選擇。

關于梁理論的研究可以分為兩種處理方法，一種是當作三維彈性問題求解，這種方法求解精度高，但方法復雜，對于一些復雜邊界條件問題甚至無解[1-3]；另一種是合理簡化為一維彈性問題，這種方法求解簡單，便于工程應用。基于第二種方法，有著名的Euler-Bernoulli梁理論、Rayleigh梁理論和Timoshenko梁理論等經典梁理論。其中，Euler-Bernoulli梁理論未考慮橫截面的剪切變形和轉動慣量的影響[4]，而Rayleigh梁理論增加考慮了轉動慣量的影響，但未考慮剪切變形的影響[5]。Timoshenko梁理論雖然考慮了剪切變形的影響，但必須引入一個剪切修正系數，且該剪切修正系數不能通過理論自身獲得[6]，并有各種各樣的取值范圍。

Levinson[7]首次基于高階剪切變形梁理論分析了矩形截面梁的力學行為。運用剪切變形梁理論的優點是可以考慮剪切變形和轉動慣量的影響，且不需要引入剪切修正系數，同時滿足表面剪應力為零的邊界條件。Huang等[8-9]將Levinson梁理論的適用對象拓展至圓形截面梁。She等[10]基于Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和多種高階梁理論，對功能梯度材料梁的熱屈曲和后屈曲行為進行了分析。Shao等[11]基于廣義剪切變形梁理論，提出了關于復合材料層合梁自由振動的統一分析方法。Arefi等[12]利用三階剪切變形梁理論，研究了功能梯度納米梁在電磁彈性載荷作用下的非局部電磁熱彈性問題。Heydari[13]基于微分變換法，提出了一種求解耦合偏微分運動方程的新方法，對納米矩形梁的高階振動與屈曲行為進行了討論。Benadouda等[14]在考慮孔隙率的情況下，對梁進行了自由振動分析。基于高階梁理論，Choi等[15]建立了變截面四邊形薄壁梁有限元模型。Selmi[16]利用各種高階梁理論，對復合梁的靜態和模態問題進行了分析比較。Pydah等[17]和Fariborz等[18]通過在環向位移表達式中引入關于徑向坐標的對數函數，將適用于長直矩形截面梁的高階梁理論，推廣到圓弧形矩形截面梁。

本文作者建立了適用于圓柱管的高階剪切變形梁理論，并研究了其振動、穩定性和彎曲波的傳播問題[19-21]，但是彎曲問題尚未開展研究。本文采用高階剪切變形梁的思想，推導了彈性基上圓柱管橫向彎曲問題的控制方程，并對四種典型邊界條件的工況，給出了彎曲問題的解析解。研究了長徑比、厚徑比等參數對截面應力分布規律的影響。對某些退化情況，與已有文獻結果對比，驗證了本文結果的準確性。

1 理論公式推導

考慮一個長度為L，內外半徑分別為Ri和Ro的圓柱管。為分析其在橫向載荷作用下的彎曲問題，需建立笛卡爾坐標系。由于圓柱管具備環形截面，使用柱坐標系比較方便。因此，同時建立笛卡爾坐標系和柱坐標系，如圖1所示。

圖1 彈性基上圓柱管及坐標系的示意圖Fig.1 Schematic of a circular cylindrical pipe bonded to a Winkler elastic foundation with the corresponding coordinates

關于笛卡爾坐標系(x,y,z)，其x軸位于變形前圓柱管的中心軸上，z軸的正方向向上，y軸的正方向由右手法則確定。(u,v,w)分別是與(x,y,z)對應的位移分量。關于柱坐標系(x,r,θ)，x軸仍位于變形前圓柱管的中心軸上，(x,r,θ)三個方向的位移分量分別用(u,wr,wθ)表示。笛卡爾坐標系與柱坐標系的變量之間存在如下關系：

(1)

wr=vcosθ+wsinθ

(2)

圓柱管在橫向載荷作用下，在xoz平面內發生彎曲。因此，y方向的位移分量v與變量x無關。與經典梁理論中的處理方式一致，采用圓柱管中心軸在中性層(z=0)的位移分量來描述撓度。所述位移分量w只取決于空間變量x和時間t，即w=w(x,t)。

對于圓柱管，其內外表面屬于自由面，剪應力須在內外表面上滿足剪應力為零的邊界條件，結合胡克定律，可得：

γxr(x,r,θ)=0,r=Ri,Ro

(3)

其中，γxr為剪應變。在柱坐標系下，結合幾何方程與式(1)～(2)，并假設y軸方向的位移分量v與變量x無關，可得：

(4)

將剪應變γxr寫成翹曲形狀函數表達式后代入式(4)。此時，軸向位移u的表達式可寫成如下形式：

(5)

其中，f(y,z)為截面翹曲形狀函數，ψ(x)為截面轉角。利用幾何方程可得應變表達式如下：

(6)

(7)

按照式(3)要求，剪應力須在圓柱管內外表面保持為零，將式(5)代入式(4)可得：

(8)

基于式(6)和式(7)，利用彎矩和剪力的平衡方程，通過簡單的計算可將彎矩和剪力分別表示為：

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

(14)

當圓柱管內嵌在一個彈性基中或者放置在彈性基上時，假設外表面與彈性基之間的相互作用可以通過Winkler關系來模擬。因此，橫向分布力、彎矩和剪力滿足如下平衡方程：

(15)

(16)

式中，K為Winkler基的彈簧剛度系數，量綱為N/m2。

將式(9)～(10)分別代入平衡方程(15)～(16)，可得：

(17)

(18)

式(17)和式(18)為耦合控制方程。為將其解耦，引入滿足方程

(19)

的輔助函數F(x)。只要令

(20)

(21)

將式(20)～(21)分別代入耦合控制方程(17)～(18)中，可以發現它們自動滿足。至此，得到了在Winkler彈性基上圓柱管承受分布載荷作用時，彎曲問題的高階剪切變形梁理論的控制方程(19)。

當不考慮Winkler彈性基，即K=0時，通過積分可得方程(19)的通解形式為：

(22)

F(x)=A1cosh(λ1x)+A2sinh(λ1x)+

(23)

F(x)=(A1+A2x)cosh(λ3x)+(A3+A4x)·

(24)

F(x)=emx[A1cos(nx)+A2sin(nx)]+e-mx·

(25)

其中，未知常數Ai(i=1,…,4)可由邊界條件求得。λ1、λ2、λ3、m、n的表達形式如下：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

2 彎曲問題求解

本節考慮承受四種工況的圓柱管彎曲問題，工況一為Winkler彈性基中承受均布載荷懸臂圓柱管；工況二和工況三分別為自由介質中承受均布載荷的簡支和懸臂圓柱管；工況四為自由介質中在自由端(x=L)承受集中載荷P的圓柱管。

取翹曲形狀函數f(y,z)為冪函數形式，具體形式如下[20]：

(31)

2.1 均布載荷作用下的懸臂Winkler彈性基圓柱管

工況一為承受均布載荷作用的Winkler彈性基圓柱管，邊界條件如下：

w(0)=ψ(0)=M(L)=Q(L)=0

(32)

2.2 均布載荷作用下的簡支圓柱管

工況二為承受均布載荷作用的簡支圓柱管，邊界條件如下：

w(0)=M(0)=w(L)=M(L)=0

(33)

將式(9)、式(10)、式(20)、式(21)分別代入式(33)中的各項，可求得未知常數Ai(i=1,…,4)，從而得到輔助函數F(x)的表達式如下：

(34)

然后，將輔助函數的表達式代入位移分量和應力分量的表達式，可得位移分量如下：

(35)

(36)

(37)

將撓度與轉角表達式代入應力分量表達式，可得：

(38)

(39)

(40)

(41)

2.3 均布載荷作用下的懸臂圓柱管

工況三為承受均布載荷作用的懸臂圓柱管，邊界條件如式(32)所示。輔助函數的表達式如下：

(42)

位移分量的表達式如下：

(43)

(44)

(45)

應力分量表達式如下：

(46)

(47)

(48)

(49)

2.4 集中載荷作用下的懸臂圓柱管

工況四為端部承受集中載荷作用的懸臂圓柱管，邊界條件如下：

(50)

輔助函數的表達式如下：

(51)

位移分量的表達式如下：

(52)

(53)

(54)

應力分量表達式如下：

(55)

(56)

(57)

(58)

從上述四種工況的表達式可以發現，由橫向彎曲行為引起的位移和應力分量包括兩個組成部分，其中一部分由彎矩引起，另外一部分由剪力引起，并且所有這些結果均依賴于內外半徑，尤其是直接檢驗可以發現內外表面剪應力τxr。假如令剪切剛度GA趨于無窮大，即不發生剪切變形，則上述各項表達式退化到Euler-Bernoulli梁的結果。

3 結果與討論

3.1 正確性驗證

為了驗證本文解答的正確性，將本文計算結果與已有文獻結果進行對比。以承受均布載荷的簡支圓柱管為例，取內外徑之比Ri/Ro=0.5，表1給出了不同長徑比的圓柱管在梁中間x=L/2截面處的無量綱正應力σxxI/qL3對比。其中文獻[22]給出的正應力計算公式為：

表1 均布載荷作用簡支圓柱管正應力(σxxI/qL3x=L/2,y=0,z=0.75Ro)Tab.1 Normal stress σxxI/qL3 of a double simply supported hollow cylindrical tube under distributed load (x=L/2,y=0,z=0.75Ro)

(59)

顯然，正應力σxx是變量x和z的函數，但未考慮變量y的影響。而本文所提出的模型中，同時考慮了變量x、y和z的影響。由表1可以看出，當長徑比L/Ro≥5時，三種理論計算結果誤差較小，當L/Ro<5時，由于未考慮剪切變形的影響，Euler-Bernoulli梁理論對結果過高估計，誤差較大，文獻[22]次之，本文計算誤差最小。

為了驗證本文對Winkler彈性基上圓柱管彎曲問題求解的正確性，圖2給出了相等均布載荷作用下，不同剛度系數的Winkler彈性基懸臂圓柱管撓度曲線，圓柱管的長徑比和內外徑之比分別為L/Ro=5和Ri/Ro=0.5。K/E=0時，對應無Winkler彈性基的情況，采用式(44)計算撓度的值。K/E=10-7、K/E=10-10和K/E=10-13對應存在Winkler彈性基，且剛度系數逐漸減小的情況，采用式(25)進行求解得到輔助函數F(x)的值，進一步將其代入式(21)即可得到撓度的值。可以看出，當剛度系數逐漸減小時，圓柱管的撓度逐漸增大。當剛度系數趨近于零時，Winkler彈性基圓柱管的撓度曲線逐漸趨近于無彈性基時圓柱管的撓度曲線，驗證了本文關于Winkler彈性基圓柱管彎曲問題求解方法的正確性。

圖2 不同剛度系數Winkler彈性基圓柱管撓度分布情況(L/Ro=5,Ri/Ro=0.5 )Fig.2 Effect of stiffness coefficient K on the deflection w of hollow cylindrical tube ( L/Ro=5,Ri/Ro=0.5)

3.2 應力分布情況

圖3給出了內徑Ri=0，長徑比L/Ro分別為2、4和6的簡支圓柱管，在x=L/2、y=0處，基于所提高階梁理論、文獻[22]和Euler-Bernoulli梁理論的正應力無量綱參數σxxI/qL3隨半徑無量綱參數z/Ro的變化情況。當L/Ro=2時，三種理論計算結果相差較大，高階梁理論和文獻[22]的計算結果在變量z方向呈現明顯的非線性。

(a) L/Ro=2

現在考慮一個長徑比L/Ro=5，內外徑之比Ri/Ro=0.5，泊松比ν=0.3的懸臂圓柱管，在均布載荷q作用下發生彎曲。對于各向同性材料，剪切模量與彈性模量存在如下關系：

(60)

正應力和剪應力可以通過式(46)～(49)確定。圖4和圖5為懸臂圓柱管在固定端x=0截面處，正應力無量綱參數σxxI/qL3和剪應力τxrA/qL、τxzA/qL在橫截面上的應力分布云圖。懸臂圓柱管的長徑比和內外徑比分別為L/Ro=5、Ri/Ro=0.5。觀察圖4可以發現，在均勻分布力下，軸向應力σxxI/qL3與變量z不再呈線性相關關系，這是因為本文考慮了剪切變形的影響，軸向應力表達式中存在剪切變形非線性相關項，與前文結論一致。從圖5中可以發現，剪應力τxr在圓柱管的內外表面為零，圓柱管內外表面為自由表面，這與預期是一致的。另外，在z=0平面上，正應力σxx和剪應力τxr均消失，這是因為應力分布具備對稱性。剪應力τxz在遠離中間平面z=0時，其應力值逐漸減小，并在靠近頂部和底部位置逐漸消失為零，如圖5(b)所示。特別指出的是，應力值在中間平面z=0的內表面達到最大，這意味著中間面內表面位置容易發生剪切破壞。

圖4 懸臂圓柱管受均布載荷作用時，x=0橫截面無量綱正應力σxxI/qL3分布Fig.4 Distribution of normal stress σxxI/qL3on the section of x=0 of the cantilever hollow cylindrical tube

(a) τxrA/qL (b) τxzA/qL圖5 懸臂圓柱管受均布載荷作用時，x=0橫截面無量綱剪應力分布Fig.5 Distribution of shear stress on the section ofx=0 of cantilever hollow cylindrical tube

圖6 不同內外半徑比懸臂圓柱管正應力σxxI/qL3的分布情況(L/Ro=5，x=y=0)Fig.6 Distribution of normal stress σxxI/qL3 of the cantilever hollow cylindrical tube(L/Ro=5，x=y=0)

為了進一步研究應力分布與圓柱管厚度的關系，圖6和圖7給出了不同內外徑比下，長徑比為L/Ro=5的懸臂圓柱管正應力無量綱參數σxxI/qL3和剪應力無量綱參數τxrA/qL的應力分布(x=y=0)。當Ri/Ro比值逐漸變大，即圓柱管厚度逐漸變薄時，正應力逐漸呈線性分布；而當Ri/Ro比值逐漸變小，即圓柱管厚度逐漸變厚時，正應力逐漸呈非線性分布。然而，對于任何內外半徑之比的圓柱管，內外表面的剪應力τxr始終為零。這一規律具有一定的工程應用價值。例如，城市立交橋梁建設過程中用到的連續板梁結構，受到交通和外觀等條件限制，有時需要選擇跨度較小的現澆混凝土空心板梁結構，其空心率一般在20%～30%之間。這種結構符合長徑比較小且厚徑比較大的特征，對其進行強度校核計算時，本文方法可以提供可靠的參考依據。

圖7 不同內外半徑比懸臂圓柱管剪應力τxrA/qL的分布情況( L/Ro=5，x=y=0 )Fig.7 Distribution of shear stress of the cantilever hollow cylindrical tube( L/Ro=5，x=y=0)

4 結論

1)本文所推導方法為考慮彈性基的圓柱管彎曲問題精確解求解提供了一個新的途徑。所提方法充分地考慮了剪切變形和轉動慣量的影響。通過與已有文獻和經典梁理論的計算結果對比，證明所提理論具備足夠精度。

2)通過對圓柱管截面應力分布的研究，驗證了所提模型自動滿足內外表面剪應力τxr為零的邊界條件。

3)由于受剪切變形的影響，圓柱管橫截面上正應力與橫向坐標變量呈非線性分布的關系，且這一現象在長徑比較小和厚徑比較大時更為明顯。

4)剪應力τxz在遠離中間平面時，應力值逐漸減小，并在靠近頂部和底部位置逐漸消失為零，應力值在中間平面的內表面達到最大，即中間面內表面位置容易發生剪切破壞。