多措并舉，助力學生理解乘法分配律

浙江臺州市仙居縣第七小學（317300） 應亞敏

教師的一切教學行為都要為學生服務，不但要讓學生學有所獲，在知識上滿載而歸，還要讓學生學得輕松、學得愉快、學有所成，在心靈上得到藝術熏陶。要想達到這種境界，教師必須揣摩和鉆研學生的學習情緒和心理狀態。建構主義心理學認為，“事物間的內在聯系”與“對事物內在規律的思考”是構建概念的核心。由此，筆者認為，只有引導學生探索知識間的內在關聯，并且通過邏輯性的思考，對所提取的知識進行重構和剖析，對原有概念進行二次加工和再生，才能將書本上的知識轉化成學生的知識養分，并入學生的認知結構中并與原先的知識體系融通。

因此，教師必須思考：如何銜接新舊知識？如何設計有效的問題，通過問題牽引和帶領學生突破重難點？此外，還應該設計好教學策略，讓學生心甘情愿地完成自主構建。基于以上認識，筆者以人教版教材第八冊的“乘法分配律”一課為例，談談個人心得，以期拋磚引玉。

“乘法分配律”是小學階段一個享有特殊地位的運算定律，它是唯一“跨級”的運算律，它橫跨一級運算（加法）和二級運算（乘法），比起其他單級運算定律，它的性質更活躍，使用范圍更廣泛，當然，理解和掌握起來也更費力。對乘法分配律的嫻熟應用，標志著學生對四則混合運算的學習已經達標。不僅如此，乘法分配律還可以作為兩位數乘法豎式成立的算理，也可以作為矩形周長公式的代數理論依據，它還是相遇問題公式的數理支撐。同時，解決日常生活中的問題也少不了乘法分配律。

一、賦予生活情境，喚醒休眠經驗

緊貼現實生活，創設學生喜聞樂見的教學情境，能較好地喚醒學生沉睡的認知經驗和潛在的記憶片段。教材以植樹活動為話題，出示了植樹活動中學生挖坑、栽樹、提水、澆灌等活動環節。教師教學時不妨先出示主題圖（如下圖），讓學生根據畫面說一說看到了什么，也可以把圖中配文轉述一遍，再組織學生根據這些信息提出一些在學生知識范圍內能解決的數學問題。學生提出的問題可能會五花八門，而“參加植樹活動的學生共有多少？”這個問題正當其時，為學習乘法分配律提供了入口。

信息：山坡上一共聚集了25 個小組，每組里4人負責挖坑、種樹，2 人負責抬水、澆樹；每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水。

第一問：一共有多少人參與了這次植樹活動？

這個問題可以說是老問題，也是做基本統計時必須直面的問題。求“一共有多少人參與了這次植樹活動”，這是從一年級開始就一直不斷出現的問題。顯然，這涉及兩個部分數與總數之間的合并對應關系，只是在方法上做了一些調整，當幾個部分數相等同時，直接換用乘法簡算。

第二問：你打算提取哪些信息？

提取有用信息是解決問題的前提，也是解決問題的先決條件。創設植樹活動情境，可以喚起學生的記憶，讓學生在熟悉的情境中對數量和數量關系重新做出有敘事性的解讀，使學生能借助事情發展邏輯和生活常識來解決數學問題，而學生按照生活處事邏輯，一般會出現兩種做法，先算出每組的人數，再求出25 組的總人數，列式為（4+2）×25，或者先分別求出25 組的種樹人數和抬水人數，再算全員總人數，列式為4×25+2×25。

這種導入法正好符合構建主義的核心思想。學生為了找到分配律的內在規律，必會先找到與外部世界（生活情境）的聯系，而欲在情境中找規律，就需要事先篩選信息。問題是求植樹的總人數，那么解決這個數學問題需要哪些有用條件？這種思考本身就是一個搭建數學思維與外部世界關系的契機。學生需要一一甄別各條信息，看哪些是對求出結果有幫助的，哪些是對求出結果沒有幫助的。經過一番分析，學生對這種數學與情境之間的關系更加明朗：要求出總人數，需要提取每組人數以及組數，這是一層關系，而每組參與植樹的人又是分工合作的，每組都是4 人負責挖坑、種樹，2 人負責抬水、澆樹，因此，每組參與植樹的人數是2+4 的組合，總組數是25。于是，這種關系越來越清晰。這為后面構建分配律的內在世界的關系奠定了基礎。

二、全方位立體解讀，促進意義建構

意義建構是建構主義的理論基礎，是指學習者結合自己的經驗儲備，對外來的陌生信息進行重新編排，并按照自己的認知經驗特征來加工和改造原有信息，從而按照自己的邏輯語言來重新讀取已經被編譯的信息，獲得帶有自己意識形態的理解。在教學“乘法分配律”時，從發現左右兩邊的式子等值，到追問原因，教師可以分層展開教學，促使學生通過對不同意義的理解來掌握其本質。

1.以果導因，發現相等

算式1：（4+2）×25=150（人）

算式2：4×25+2×25=150（人）

思考：（4+2）×25 與 4×25+2×25 這兩個算式之間是不是可以畫等號？一方面，學生馬上能夠根據結果相同，推斷出兩個算式等值；另一方面，從事理層面看，解決的是同一個問題“一共有多少人參與了這次植樹活動？”，由此可以斷定兩個算式求的是一個目標量。當然，這是一個淺易的道理，也是一個微不足道的發現，此時的思考是單薄直白的，這顯然不夠分量，只有從不同的角度、用不同的方法去進行建構才能使思維更活躍。

2.深度加工，證明相等

剛才是借助計算結果、事理來證明兩個算式是相等的，而運算定律的學習要學生從邏輯上推理論證出兩者相等，形象思維必須轉化為抽象思維，也就是拋離植樹背景，拋離計算結果，單單通過對算式的等價變換來證明它們相等。

思考：算式1 求積，算式2 求和，“積”怎么會跟“和”相等？這看似是一個無趣的問題，卻考驗著學生對運算意義和運算規則的理解能力和處理能力。學生既要理解四則運算的運算意義，又要掌握四則混合運算的計算法則，只要時間充裕，學生還是能夠參透一些門道的：算式1 是兩數之和與25 相乘，所以是求積；算式2 是將兩個數分別與25 相乘，再相加，所以是求和；其實它們并無區別。

教師因勢利導，學生就能順利理解算式1 是求6個25的和，算式2 的4個25加2個25合起來也是6 個25。通過一個“積”與“和”怎會相等的幼稚問題，喚醒了學生的經驗，讓學生運用低年級學過的“幾個□加幾個□等于‘幾加幾’個□”來證明兩個算式相等。認知心理學研究表明，如果人們將陌生的信息轉化改造成熟悉的語言后儲存起來，那么這些信息保存的時間會更長，提取和回憶時會更便捷。學生在理解乘法分配律的運行機制時，實際上就是將它轉化成熟悉語言“6 個□=4 個□+2 個□”（甚至可以更直觀：□□□□□□=□□□□+□□）后加以理解記憶，從計算結果相等，到具體情境中的目標相等（相同），再到脫離情境從運算意義上推出兩個算式意義相等，多個角度聯合論證，立體化地建構了運算律的合理性。

不難看出，意義的建構屬于“事物內部的關系”，也可以理解為“事物內部的運行規律”，但是內部意義的建構依然可以與外部世界（問題情境）發生聯系，這是第一層意義上的建構。（4+2）×25與4×25+2×25 這兩個算式的相等關系，可以放到情境中理解：（4+2）×25 的意義就是先求出一組的人數，然后再求出25組的總人數；4×25+2×25則是先分別求出25 組中負責挖坑、種樹的人數和負責抬水、澆樹的人數，最后將兩部分的人數相加求出總人數。這是第一層意義建構，也就是用外部意義來建構內部意義。二重建構則是純粹的內部建構，內部建構則既可以自我建構，對這個等式進行運算上的解釋，也可以降維解構，與低年級的表征勾連起來，如利用□□□□□□=□□□□+□□來建構。

三、深層檢驗對等關系，固化數學模型

數學活動經驗應既包括知識結論經驗，又包括推理經驗。只有釋放巨大的空間，讓學生開展個性化的思考，然后進行共性化的展示交流，才能全方位地深刻解剖問題，逐步使解題思路清晰有條理，從而促進學生對概念本質的理解。

如上述“乘法分配律”的教學中，在定律的歸納到應用中，細節不可缺位，教師應該指引學生嚴密論證數量關系，對運算律的結構特征洞若觀火，再借助練習掌握定律，從理論上和形式上固化數學模型。

1.觀察細節，發現異同

細節往往是在細心觀察、認真思考后才發現的。教學“乘法分配律”時，教師通常會按照先闡釋算理后構建形式的順序教學，一旦部分學生理解后，教師就急于讓學生馬上運用，這樣倉促趕進度，勢必會讓學生理解不透，只好死記硬背蒙混過關。所以筆者認為，有必要再花時間進行二次觀察，找出兩個算式的細微差別，延長探究時間，強化學生對運算律結構特征的透析。

思考一：算式1和算式2的結果相等，觀察它們的形式有什么不同之處。

學生能發現兩處差異：第一是符號上的差異，算式1 含有括號，算式2 沒有；算式1 包含一個“+”和一個“×”，算式2 則含有一個“+”和兩個“×”。第二是數字上的差異，算式1 只有3 個數，分別是4、2、25，算式2則含有4個數，分別是4、25、2、25。

思考二：算式2里為何會有兩個25呢？你怎么理解這兩個25？在算式1 里，4、2 這兩個數明明是加數，到了算式2中怎么變成乘數了呢？

思考三：用自己的話解釋一下兩個算式的相互轉換關系。

學生發現，從左往右看，兩個數的和與一個數相乘，可以先將這兩個加數分別與乘數相乘求積，再將兩部分乘積加起來；從右往左看，求同一個數分別與另兩個數相乘所得積的和，可以先求出另兩個數的和，再來與這個共用乘數相乘。學生的這種個性化表達展示了他們自己對乘法分配律的獨特理解。

內部意義的建構，可以從理論上建構，也可以從形式上建構，而對于乘法分配律的建構，完全可以從形式上得到新的建構，因為分配律的符號印記非常明顯，兩個算式的符號邏輯也非常緊密，無論是數字上還是運算符號上，都可以形成獨立的建構。數字上加數變乘數，括號外的乘數從出現一次到出現兩次，加號維持不變，一個乘號變成兩個乘號，還有括號的有無，都可以完成對形式的建構，它們同時又能形成合力，完成立體的形式建構。這種格式上的變化其實與算理意義上的建構是統一的，也是相互依存的，雖然講解時可以分開來講，但是最后完成內部規律的全面檢驗、模式定型時，必須要求學生綜合運用、融會貫通。

2.過渡練習，得到內化

在數學的學習中，針對一些基礎概念、基本原理的學習，僅能回憶起來并套用公式是低要求，更高要求是達到理解性的記憶。乘法分配律在小學階段是一個難理解的運算律，它是四年級的知識，但到了六年級依然能夠難倒不少人，這不僅僅是遺忘那么簡單。

由此可見，在理解新知后及時鞏固訓練極為重要。只有通過練習進行強化記憶，運算定律才能在不斷的實踐中得以反復檢驗，并在反復檢驗中得到確認、鞏固和深化，最終成為學生的一種潛在意識，促進數學模型成為學生的一種本性化的思維模式。