“用數對確定位置”教學重點再理解

江蘇徐州市銅山區大彭實驗小學（221100） 孫瀟然

“用數對確定位置”是蘇教版教材四年級下冊的教學內容，此前學生已學過“第幾排第幾個”“第幾行第幾列”，其實這就是數對的知識，可教材為何還要編排“用數對確定位置”？有序數對“先列后行”的編排規定與日常生活中的“先行后列”的習慣相去甚遠，教材為何非得使用數對表示位置？2011年版的課程標準中提到“讓學生在具體情境中，能在方格紙上用點表示位置，能將數對與點位一一對應起來”，由此看來，用數學方法描述點的位置是教學總目標，因此“方法”“過程”“思想”缺一不可，應該整合起來。本課重難點是：將行列法改良成規范的數對法，扭轉和糾正學生“行在前，列在后”的習慣；使方位符號化，初步建立直角坐標系。

一、問題驅動，發現規則，創造數對

【教師1】

（出示電影院座位表，學生嘗試采用第幾排第幾個的方式來描述A 觀眾的位置。）

師：如果請一位數學家來描述，他會用什么樣的語言來描述呢？

師（板書：（4，2））：你們覺得這兩個數字指的是什么？

生1：我認為指的是從上往下數第4 排，然后從左往右數第2個座位。

生2：我認為是從下往上數第4 排，然后從左往右數第2個座位。

生3：我覺得應該是從下往上數第2排的第4個座位；也有可能是從上往下數第2排……

師（圈出所有可能的點）：怎么會有這么多種可能？（暴露數對指向不明的問題）

師：老師再給出其他線索。A 觀眾的好友也一起來看電影，他的座位用同樣編排規則的數對（2，1）來表示。（教師在座位表上標出該友人的位置）

生4：這位友人的座位數對是（2，1），根據圖示，正好是第2列、第1排。這樣就清楚了，數對的前一個數表示列數，后一個數表示排數。A 觀眾的座位位置數對是（4，2），說明他的座位在第4列、第2排，都是從左往右數列，從下往上數行。

【教師2】

（出示座位表，學生采用第幾排第幾個的方式描述A觀眾的座位在哪里。）

師：大家都能很好地描述座位了，那么接下來要學習什么呢？

生：我覺得應該有更簡潔的表示方法。

師：那么到底可用什么方法來表示呢？現在就有請第四組的同學對“第3排第4個、第4排第3個”進行壓縮改造，使其更簡練。

（學生的探究結果如下：①4 排3 個；②4～3；③4·3；④豎4橫3；⑤4↑3→；⑥4，3。）

師：每種方法似乎都很簡練，到底哪一種才是正宗的數學方法呢？（生答略）

師：第⑥種方法才是正宗的數學方法：用行列來表示位置，并默認將列數寫在前，行數寫在后。

【解讀與評析】雖然兩位教師對于數對的引入方式不同，但都是在對行列表示法進行精簡改良的基礎上引入數對法。前者直接出示數學家的“數對”表示法，讓學生根據一個已知數對和確切位置來推理兩者的對應關系，而后者則是讓學生自主構建編碼規則，然后甄選出最優項。前者重在推導，后者重在探究。這樣的教學設計已經很出色了，唯一值得商榷的是，這節課的學習目標是探尋“簡潔方法”來確定座位，然后找到“有序數對”。然而“有序數對”就一定是最簡潔的嗎？日常用語中的“第幾排第幾個”“第幾組第幾個”已經通俗易懂、言簡意賅了。如果硬要縮簡，直接采用“幾排幾座”，比如“4排2座”，語意也很明確，而用（4，2），反而模糊了行列的界限。那么“有序數對”的價值在哪里？又用在哪里呢？其實課程標準已有明確的交代，即為了建立平面直角坐標系的雛形。數對其實就是坐標的前身，有了數對，點與點之間的距離計算、動點的軌跡描述就十分明了了。因此，在教學中應將座位圖抽象成點陣圖（如圖1），并以點陣圖為背景來探究數對表示法，促進學生建立動態位移的數對認知。比如，把點（1，5）每次右移1 格，將會得到哪些點？（2，6）、（3，6）、（4，6）、（5，6）……（x，6），從這些點的坐標中可發現什么規律？如果把點（2，5）不斷地上移或下移，得到的新坐標會有什么規律？把點（1，2）、（2，3）、（3，4）連成線，會有什么奇特的現象？以此類推，下一個點應該是什么？等等。由此使有序數對成為描述位置的新方法，讓學生在新情境中感受數對表示法的優越性和準確性，并學會其規則。

圖1

數對的來源其實是為了解決平面坐標的確定問題，直線上的位置可以通過一個數來確定，而對于平面上的位置，由于存在橫縱坐標，所以一個數字無法確定，投射到生活中就是對座位的確定和描述。一個平面內的座位，需要借助對行和列的限定才能最終確定，這個行和列其實就是平面坐標系里的橫軸、縱軸，而行數和列數就是橫縱坐標，只不過表述的順序沒有統一的標準，生活中習慣先說行后說列，而坐標系則是先橫后縱，列數就是橫坐標，行數就是縱坐標。再有，生活中的排列順序很隨意，行數的排列可以從左至右，也可以從右至左，列數的排列可以從上至下，也可以從下至上，而數學則是硬性規定的，橫坐標從左至右，縱坐標從下往上。

二、繞開行列，引入數軸，接軌坐標

數對學習的經驗基礎是一年級的“方向”辨認，還有二年級的“找位置”的行列描述法，將兩者結合起來就是數對表示法。經驗是一把雙刃劍，帶來便利的同時也會形成負遷移，能否避開排與座、行與列這些慣用語呢？

【教師3】

師（出示座位表，如圖2）：誰能找出王俊凱的位置？

圖2

生1：從左往右數第4個。

師：圖2有方向，也有數，像什么？

生2：數軸。

師：嚴格來說應該是橫著的數軸，也叫作“橫軸”，如果是豎著的數軸，則可稱之為“豎軸”。

師：由生活中的位置可以聯想到數學中的數軸。有了數軸，描述位置就變得簡單易行了。（教師出示電影院的座位表，再抽象成點陣，如圖3）

圖3

師：現在，如何表示王俊凱的位置？（學生探究后反饋交流）

生3：（4-3），（4·3），（4↑3→），（4，3）……

師：為了規范化，必須事先約定，先看所在列，再看所在行。列數一定，行數一定，位置也就唯一確定。為了以示區別，兩數之間使用逗號間隔。這樣的一對數稱為數對，并用括號括起來表示，是一個整體。（板書：（4，3））

【解讀與評析】怎樣引出數對呢？利用已有經驗，先從一維數軸切入，橫著數就是從左至右，豎著數就是從下往上。因為是借助數軸，所以在數軸箭頭的暗示下，數的方向非常明確。在二維坐標系中，學生先嘗試描述位置，然后由教師介紹數對法——先從左到右橫著數，再從下往上豎著數，簡稱“先橫后豎”。這樣教學直接抽象成數學點位，刪減了實物對照，省去了優化過程，直接硬性規定先橫看再豎看。想象力豐富的學生可能會在腦海中用符號過渡，而這先橫后豎的形象，正好對應坐標系中的橫縱坐標。用數軸教學，與生活化的“行列”描述法并不是格格不入的，如果是為了避開錯誤就棄用行列描述法，人為地將生活與數學割裂，也不利于學生從生活中抽象出坐標系的模型。而教完點陣圖，再回歸座位圖，是一個不錯的方法。

這種教法一開始就將數對的最本質特征暴露出來，先通過一排座位簡單地引入，然后馬上抽象出橫向坐標軸，因為數軸自帶方向性，不需要重新規定橫軸的排列方向，接著自然提到將橫軸豎起來就是縱軸，這樣在類比之下，學生不需要花太多時間來認知縱軸。問題集中在先確定橫坐標還是先確定縱坐標上，在象征性地讓學生自由描述王俊凱的坐標位置后，教師直接提出硬性要求：必須統一標準，先看橫坐標，再看縱坐標。這樣規范的數對表示法就新鮮出爐了。最后回歸平面直角坐標系，實際上就相當于回歸到座位圖，后期學生就會先入為主地尊奉這種坐標表示法，而行與列的說法則沒有抬頭的機會。

三、追本溯源，豐富結構，凸顯符號思想

用數對確定位置不能粗暴地將“行、列、排、座”進行數學化處理，而是要有邏輯性地逐步推進。點的位置在線性、平面、立體空間中的參照維度不一樣，有序數對是二維參照法。能不能根據空間延伸的層次性來展開教學呢？

【教師4】

師：今天老師請來了岳云鵬為大家說相聲，只不過他藏身于幕后。（在黑板上畫5 個點）你們知道岳云鵬藏在哪里嗎？

生1（疑惑）：每個點都有可能，信息量不夠。

師（板書數字“2”）：現在呢？

生2：我覺得要么是順數第二個點，要么是倒數第二個點，皆有可能。

師（標出方向“→”）：現在呢？

生3：從左至右第二個點。

師（畫出5 行5 列共25 個點）：岳云鵬此時又在何處？（板書（2，5），隨后圈出所有可能的點）

師：還缺少什么信息？（畫→，↑）這是什么含義？這樣能幫你找到岳云鵬嗎？

師：沒錯，就是從左至右第二列，從下往上第5行，可以用數對（2，5）表示。（2，5）在數學上叫數對，列在前，行在后，用括號括起來表示一個整體。你們會寫了嗎？

【解讀與評析】以上教學中也用到了猜位置的游戲，略有不同的是，這是一個維度升級的發展變化過程：①在一維線段，確定點位只需要距離和方向，此時只需要一個數字和一個約定的方向。②在二維平面，學生發現一個數字和一個方向不夠用了，需要兩個數字和兩個方向才能確定。教師“還缺少什么重要信息”的問題，既體現了對學生的尊重，又啟示學生繼續探索新的方法。像這樣建立在維度升級上的引入，把一個幾何概念的來龍去脈全部展示得清清楚楚。有的教師可能會質疑這種方法難度過大，其實適當加入數軸后，借助數軸，對應關系更加明顯。畢竟，點與數對之間的一一對應關系是數形結合思想的生動體現。

很多教師都是將先學生置身于坐標圖中，然后學生在錯綜復雜的方位中慢慢摸索，像走迷宮一樣，教師再一步步引領學生找到合適的準確描述位置的方法，期間還要不斷地強調和規定順序，這很容易讓學生迷失方向。而最后一種教法則可以完全避免上述麻煩。先讓學生猜測位置，再讓學生自己根據現實需要去創造規則和補充條件，由一個無序的坐標排列入手慢慢豐富各種線索。先完善橫坐標的各項要素，然后擴充到平面二維坐標，讓學生產生認知沖突，提出補充一個數字的需求，再根據數對（2，5）畫出所有可能的位置，重復前面的操作，讓學生自動遷移第一次的經驗和做法，根據現實需要規定縱坐標的方向。整個過程邏輯嚴密，絲絲入扣，學生排除一切干擾，順其自然地邊操作邊歸納出二維坐標的位置確定法。

綜上，數學規則的形成既有人為規定的成分，又有科學發展的必然性，不同的解讀方式產生不同的目標設定和教案。“教什么”與“怎么教”是一體兩面，不可偏廢。