高速長桿彈對有限直徑金屬厚靶的侵徹分析

王 娟，趙均海，周 媛，孫珊珊，吳 賽

(1. 長安大學理學院，西安 710064；2. 長安大學建筑工程學院，西安 710061；3. 長安大學基建處，西安 710064)

長桿彈高速侵徹問題一直是近年來的研究熱點[1 ? 2]，不同于剛性彈，高速長桿彈撞擊靶體時，彈靶界面的壓力遠遠超過材料的屈服強度，碰撞應力足以使彈體變形及消蝕[3]，關于該問題最初建立的分析模型是流體力學模型，隨后此模型被不斷改進和發展[4]。Anderson等[5]利用柱形空腔膨脹理論推導了靶體阻力和侵徹速度之間的關系，建立了與時間相關的侵徹模型。國內孫庚辰等[6]通過對彈體頭部流動區進行分析，提出了一維簡化新模型。蘭彬[7]將靶體響應區進行了新的分區，對侵徹模型進行了改進。樓建鋒[8]總結了現有長桿彈理論模型，編制了統一計算程序。然而，已有對高速彈體侵徹問題的研究大多是建立在半無限靶體或者有限厚靶體的基礎上，未考慮靶體側面自由邊界對侵徹產生的影響，少有的對消蝕彈侵徹有限平面尺寸靶體的探究還主要停留于試驗[9 ? 10]，理論分析則大都忽略了靶體側面邊界的影響，由于當靶體尺寸較小時，這種假設帶來的結果與試驗偏差明顯[9 ? 10]，蔣志剛等[11]提出了有限柱形空腔膨脹理論，首次以系統的理論建立了長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的理論模型，然而該模型只適用于理想彈塑性材料、采用的Mises準則只適合于剪切屈服極限和拉壓屈服極限關系為τs=0.577σs的材料，且未討論侵徹影響因素。隨后宋殿義等[12]和王娟等[13]基于此理論進行的靶體側面邊界分析也僅是針對剛性彈，并未對發生侵蝕的高速長桿彈侵徹問題進行研究。

統一強度理論考慮了作用于雙剪單元體上的全部應力分量及其對材料破壞的不同影響，可以十分靈活地適用于各種不同的材料[14]，包括金屬[15]、混凝土[16]、巖石[17 ? 18]等，在國內外得到廣泛的應用，是求解侵徹復雜應力問題更合理的新強度準則[18]。由于材料強度準則的建立和選用是研究靶材抗侵徹性能的重要環節，同時為了擴大解的適用范圍并充分發揮靶材潛能，本文考慮中間主應力的影響，建立基于統一強度理論的有限柱形空腔膨脹模型，推導線性硬化有限直徑金屬厚靶在彈體高速(1500 m/s～2200 m/s)侵徹時的阻力和深度計算公式；將計算結果與試驗結果、其他公式結果對比驗證，文獻[11]的結果僅是本文結論的一個特例；得到一系列基于不同強度準則的解析解，有效預測了不同靶彈半徑比金屬靶材的侵深區間；討論了強度參數、撞擊速度及靶體半徑對彈道性能的影響，可為金屬裝甲防護設計提供一定參考。

1 統一強度理論

統一強度理論的數學表達式為[14]：

式中： σ1、 σ2和 σ3分別為雙剪應力單元體的三個主應力；α為材料的拉壓強度比；b為反映中間切應力及相應面上正應力對材料破壞影響程度的參數，也是選用不同強度理論的參數， 0≤b≤1。

2 基于統一強度理論的有限柱形空腔膨脹模型

2.1 計算模型

有限柱形空腔膨脹模型[11]如圖1所示。設柱體半徑為rt，t時刻空腔半徑為rc(最大值rcf)，彈塑性邊界半徑為rp，r˙c為常數。膨脹過程分彈塑性階段(rp

圖1 有限柱形空腔膨脹模型Fig.1 Finite cylindrical cavity expansion model

由式(1)可得金屬材料的等效應力為[13]：

式中， σr和 σθ分別為徑向應力和環向應力。

根據線性硬化材料的本構關系，并聯立式(3)可得應力-應變關系方程為：

式中：σoy為材料的初始屈服應力； εr和 εθ分別為徑向應變和環向應變；E和ν分別為材料的彈性模量和泊松比。

2.2 空腔膨脹應力計算

2.2.1 彈塑性階段(rp

由于應力和質點速度連續[19]，由式(6)和式(7)，可得：

2.2.2 塑性階段(rp≡rt)

式中，rc2為第二階段結束時的空腔半徑。

假設 εeq為等效應變， εf為材料單向拉伸斷裂應變，基于Hill的塑性功假設[20 ? 21]可知：

當rp=rt，第一階段結束時的空腔半徑rc1為：

由式(14)和式(15)可得：

2.3 擴孔耗能和空腔壁平均應力計算

當rc1≤rcf

3 長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶效應

3.1 侵蝕長桿彈侵徹模型分析

根據Tate模型方程[22]中：

式中： ρd和 σd分別為彈體的密度和屈服應力；Yd為彈體的特征強度；R為 靶體的阻力；l0和v0分別為彈體的初始長度和速度；l和v分 別為t時刻彈體的長度和速度；u和x分別為靶體侵徹速度和深度。

若rd為彈體半徑，取R=A1，rcf可近似取[11]：

若Yd

若Yd>R時，磨蝕先停止，剩余彈體視為剛體，以v=vc2=u侵徹直至v=0 ，vc2則為[11]：

3.2 侵徹深度計算

若Yd

式中：

將u=u0，v=v0代入式(17)，可求得u0為：

若Yd>R， 總侵深D包括磨蝕侵徹階段侵深x1和剛性侵徹階段侵深x2，即：

式中，x1、x2和x1結束時彈體剩余長度l1為[11]：

4 算例及討論

4.1 模型驗證

取文獻[9]和文獻[10]中試驗數據，代入本文公式計算侵深及阻力。文獻[9]試驗靶板由4340鋼制成，密度ρ=7850 kg/m3，彈性模量E=200.6 GPa (Ep=0)，泊 松 比υ=0.29，屈 服 應 力σoy=1.365 GPa；鎢彈桿長L0=77.9 mm，密度ρd=17 730 kg/m3，特征強度Yd=1.33 GPa，屈服應力σs=1.3 GPa，極限應力σst=1.33 GPa。文獻[10]試驗靶板為6061-T6511鋁合金制成(ρ=2710 kg/m3，E=68.9 GPa，Ep=46 MPa，υ=1/3，σoy=365 MPa)；4340鋼彈桿長L0=71.1 mm，ρd=7830 kg/m3，σs=1.14 GPa，Yd=σs=1.17 GPa。其他材料參數、試驗值和理論計算值匯總見表1所示。

表1 侵徹計算結果匯總Table 1 Summary of calculation results for penetration

圖2為當b=0.6時本文公式與文獻[9]試驗結果、文獻公式[9,11]的對比曲線。計算中根據膨脹體所經歷階段分情況運用MATLAB編程計算侵徹阻力及深度。由圖2可知：本文公式結果、文獻[11]和文獻[9]公式結果分別和試驗結果對比的平均相對誤差為2.00%、5.47%和8.27%；當rt/rd=4.9時，本文結果的最大誤差為7.36%，文獻[11]的最大誤差為10.26%，文獻[9]的最大誤差可達20%以上，本文結果與試驗吻合的最好。

圖2 侵徹深度對比Fig.2 Comparison of penetration depth

圖3為當b=0.4時本文公式與文獻[10]試驗結果的對比，兩者平均相對誤差為3.25%，吻合較好。

圖3 侵徹深度對比Fig.3 Comparison of penetration depth

圖4為基于文獻[9]試驗參數的理想彈塑性靶材和線性硬化靶材侵深的比較，當rtr˙c/c≤rcf

圖4 不同靶材侵徹深度對比Fig.4 Comparison of penetration depth for different targets

表2為根據本文式(18)、文獻[11]和文獻[9]公式計算阻力Rt。當rt→∞時，后兩者Rt=4.41 GPa，本文公式結果Rt=4.64 GPa，即當本文結論應用于半無限金屬靶體時，靶體抗侵徹能力提高了5%。將本文公式應用于文獻[10]可得Rt→R∞=1.25 GPa。

表2 不同靶彈半徑比時的侵徹阻力計算值Table 2 Penetration resistance of projectiles with different ratios of target radius to projectile radius

4.2 強度參數的影響

圖5和圖6為b不同時，Rt、Dmax與靶彈半徑比rt/rd的關系曲線。由圖可知：強度參數b對Rt和Dmax均有較大影響，b值越大，中間主應力效應越明顯，Rt越大，Dmax越小。即考慮中間主應力的影響，可以更加客觀的表現材料的強度潛能，使構件發揮自身抗侵徹能力，侵徹計算中不宜忽略。

圖5 不同b值時侵徹阻力對比Fig.5 Comparison of penetration resistance with different b

圖6 不同b值時侵徹深度對比Fig.6 Comparison of penetration depth with different b

不同的材料，b值各不相同，同時b還是選用不同強度準則的參數，當其取不同值時，統一強度理論退化為不同的強度準則，由此所得的結果差別很大，對于金屬類材料，采用Tresca屈服準則(b=0)與采用雙剪屈服準則(b=1)相比，所得侵徹阻力最大可減小33.33%，侵深最大可增加15.93%。由此說明強度準則的選用對侵徹終點效應的預測也具有重要作用，實際應用中應選擇合適的強度準則進行計算，從而更好地合理設計和節約材料。例如本文通過計算，對鋼靶取b=0.6時所得結果與試驗結果最為吻合，此結果也代表了基于一種新的、針對此靶材更加合適的強度準則的解；若為其它靶材(如鋁合金靶材)，可取得適合自身的b值進行計算(本文通過計算取b=0.4，與文獻[13]一致)。

本文計算方法可以得到一系列解析解，文獻[11]所得結果(Mises屈服準則結果)為本文Ep=0、b=0.366 時 的特例(只適合τs=0.577σs的材料)；繼而得到某一特定工況下彈體侵深的上限值和下限值，有效預測侵徹深度的范圍，表3為不同靶彈半徑比時金屬類靶材侵深的預測區間。

表3 不同靶彈半徑比時彈體侵深預測區間Table 3 Penetration depth ranges for projectiles with different ratios of target radius to projectile radius

4.3 靶體半徑的影響

圖7為基于文獻[9]試驗數據，取Ep=46 MPa時靶彈半徑比rt/rd對侵徹深度Dmax和侵徹阻力Rt的影響曲線，由圖可知：隨著rt/rd的減小，Rt不斷減小，Dmax不斷增大；當rt/rd<20，Rt/R∞隨著rt/rd的減小急劇減小，Dmax迅速增大，rt/rd=4.9與rt/rd=19.88相比，Rt減小了41.30%，Dmax增長了32.61%，此時靶體自由邊界對侵徹性能的影響顯著，不能繼續按半無限靶體進行計算；當rt/rd≥20時，Rt/R∞>0.93，隨著rt/rd的增大Dmax減小的速度緩慢，rt/rd=77.66與rt/rd=19.83相比，Dmax只減小了4.19%；當rt/rd≥30時，Rt/R∞>0.97，Dmax相比Rt→R∞時僅增大1.9%。這是由于彈體侵徹靶體的瞬間產生沖擊波，該沖擊波與靶體產生相互作用，改變波所穿過的靶體介質的材料特性，當沖擊波碰上靶體側面自由邊界時，波中的部分能量將被反射回靶體，出現一定范圍的靶材破壞響應區，在一定程度上削弱靶體抗侵徹能力；從空腔膨脹理論角度分析，當靶體塑性區域到達側面邊界，邊界會向外膨脹，靶體提供的阻力將會變小，彈體所能達到的侵徹深度則變大。

圖7 侵徹阻力、侵徹深度與靶彈半徑比的關系Fig.7 Relationships among Rt, Dmax and rt/rd.

4.4 撞擊速度的影響

圖8為rt/rd不同時，最終侵深Dmax與撞擊速度v0的關系曲線，由圖可以看出：v0越大，Dmax越大，當v0≤700 m/s時，Dmax隨著v0的增大增長緩慢，而當v0>700 m/s時，Dmax隨著v0的增大顯著增長。同時，當v0越小，隨著rt/rd的減小，Dmax的增長幅度越大，甚至成倍增長，例如當v0=700 m/s時，rt/rd=6.25與rt/rd=19.88相比，Dmax增長了2.04倍。

圖8 侵徹深度與彈體撞擊速度的關系Fig.8 Relationship between penetration depth and impact velocity

5 結論

本文采用統一強度理論，研究了較高速長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的機理和計算模型，并討論了彈道終點效應的影響因素。主要結論如下：

(1) 采用統一強度理論，建立長桿彈高速侵徹線性硬化有限直徑金屬厚靶的侵徹阻力和深度計算模型，對半無限金屬靶體同樣適用。將計算結果與試驗、文獻公式結果對比，本文結果精確度更高。

(2) 本文方法可以得到一系列基于不同強度準則的解析解，文獻[11]結果僅為本文的一個特例。強度參數b對計算結果影響很大，即考慮中間主應力效應，可以更加客觀的表現出材料的強度潛能。

(3) 彈體撞擊速度v0和靶彈半徑比rt/rd對侵徹結果的影響較大。rt/rd=4.9與rt/rd=19.88相比，Rt減小41.30%，Dmax增長32.61%，表明當rt/rd<20時，靶體自由邊界對侵徹性能的影響顯著，不能繼續按半無限靶體進行計算。