溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板的自由振動(dòng)分析

滕兆春，王偉斌，鄭文達(dá)

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GM)具有材料性能平滑、連續(xù)變化的特點(diǎn)，在世界范圍內(nèi)得到了迅速的研究、開(kāi)發(fā)和應(yīng)用[1]，F(xiàn)GM矩形板被廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械和海洋工程等[2]。隨著新型材料的興起，F(xiàn)GM板結(jié)構(gòu)具有常見(jiàn)復(fù)合材料板難以比擬的優(yōu)點(diǎn)。關(guān)于FGM常見(jiàn)結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究已有較多文獻(xiàn)成果，如Wattanasakulpong等[3]采用微分變換法(differential transformation method，DTM)研究了FGM階梯梁的自由振動(dòng)，得到了梁的固有頻率和振型。Roshan等[4]在經(jīng)典平板理論的基礎(chǔ)上，對(duì)面內(nèi)均布力作用下的FGM圓板振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了分析和數(shù)值計(jì)算，研究了梯度指數(shù)和面內(nèi)力對(duì)前三階振動(dòng)固有頻率的影響。Ghazaryan等[5]利用DTM對(duì)非均勻截面軸向功能梯度Euler-Bernoulli梁的自由振動(dòng)進(jìn)行了分析，并驗(yàn)證了該方法可用于軸向材料非均勻或者幾何非均勻的各種類(lèi)型梁的計(jì)算。Shishesaz等[6]基于應(yīng)變梯度理論，研究了FGM納米圓盤(pán)的熱彈性行為，主要分析了溫度變化對(duì)納米圓盤(pán)應(yīng)力和徑向位移的影響。Abdolhossein等[7]考慮流體-結(jié)構(gòu)相互作用研究了彈性地基上部分充液FGM圓柱殼在熱環(huán)境下的自由振動(dòng)問(wèn)題。Ladislav等[8]基于經(jīng)典彈性理論研究了FGM薄板在熱載荷作用下的彎曲問(wèn)題，結(jié)合移動(dòng)最小二乘逼近的數(shù)值方法，重點(diǎn)研究了材料相關(guān)參數(shù)對(duì)板撓度的影響。Saini等[9]基于經(jīng)典板理論，考慮材料溫度依賴(lài)性質(zhì)，分析了熱環(huán)境中FGM圓板在均勻面內(nèi)軸向載荷和沿厚度方向的非線(xiàn)性溫度分布作用下軸對(duì)稱(chēng)屈曲和振動(dòng)問(wèn)題。Chakraverty等[10]基于基爾霍夫板理論，利用Rayleigh-Ritz法研究了FGM矩形板的自由振動(dòng)問(wèn)題。蔣偉男等[11]基于三階剪切理論提出考慮橫向拉伸影響的位移場(chǎng)，研究了具有簡(jiǎn)支和固支邊界條件下的FGM矩形夾層板的自由振動(dòng)。何昊南等[12]基于幾何非線(xiàn)性和物理中面，分析了熱對(duì)材料參數(shù)影響下FGM梁的熱后屈曲特性。當(dāng)然，上述研究工作大多是從材料的理想形態(tài)入手建立力學(xué)模型并進(jìn)行分析，忽略了FGM在實(shí)際應(yīng)用中孔隙的存在。

FGM在各領(lǐng)域的廣泛需求，促進(jìn)了其制備技術(shù)的快速發(fā)展，各種FGM制備方法先后出現(xiàn)。但由于現(xiàn)有某些制備技術(shù)的缺陷，制備過(guò)程中在FGM內(nèi)部不可避免的會(huì)出現(xiàn)小的孔隙，則形成多孔FGM。同時(shí)，隨著FGM越來(lái)越多的應(yīng)用擴(kuò)展，也可以使用陶瓷和泡沫金屬來(lái)制備多孔FGM形成工程中可應(yīng)用的一些特殊功能結(jié)構(gòu)，如過(guò)濾器、催化器、燃燒室和生物材料等。這些孔隙對(duì)FGM的物理性能、功能使用和靜動(dòng)力特性有著較大的影響，因此越來(lái)越多的科研人員開(kāi)始關(guān)注多孔FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究。Behravan等[13]基于微分求積和狀態(tài)空間矢量技術(shù)的求解方法，對(duì)彈性地基非均勻面力作用下非對(duì)稱(chēng)變厚度多孔FGM圓板的三維磁彈性特性進(jìn)行了分析。Aria等[14]首次提出了一種有限元模型，基于冪律形式分析了多孔FGM納米梁的熱彈性行為。蒲育等[15?17]基于一種擴(kuò)展的廣義梁理論，分別采用廣義微分求積法和萊維法，考慮材料性質(zhì)隨溫度的相關(guān)性，研究了熱環(huán)境中軸向機(jī)械力作用含均勻孔隙FGM梁的耦合振動(dòng)和耦合屈曲特性以及濕-熱-機(jī)-彈耦合作用下多孔FGM梁的振動(dòng)和屈曲特性。蘇盛開(kāi)等[18]采用Euler梁理論和高階三角剪切變形理論研究了多孔FGM梁的熱力耦合屈曲行為。Ebrahimi等[19]利用DTM對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)多孔FGM Timoshenko梁進(jìn)行橫向振動(dòng)分析，并在修正混合率公式的基礎(chǔ)上研究了孔隙率、梯度指數(shù)、轉(zhuǎn)速等參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)多孔FGM梁無(wú)量綱固有頻率的影響。綜上所述，已有文獻(xiàn)中大多學(xué)者基本都專(zhuān)注于多孔FGM梁的研究，對(duì)多孔FGM板的研究則相對(duì)較少，同時(shí)一些研究結(jié)果也很好地驗(yàn)證了DTM的實(shí)用性和有效性。

目前關(guān)于溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)問(wèn)題的研究在國(guó)內(nèi)外還未見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道，且考慮到彈性地基板在工程中的廣泛應(yīng)用背景，因此在參照文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，本文將一種隨機(jī)均勻分布的孔隙引入力學(xué)模型，采用DTM對(duì)溫度影響下Winkler- Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)展開(kāi)研究，分析梯度指數(shù)、孔隙率、升溫、地基剛度系數(shù)、邊界條件、長(zhǎng)寬比和邊厚比等對(duì)多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響，為今后多孔FGM板的研究提供數(shù)據(jù)支撐。

1 控制微分方程的建立

1.1 材料物性描述

如圖1所示：在三維笛卡爾坐標(biāo)系中，溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板厚度為h， 長(zhǎng)為a， 寬為b，xoy平面為板的幾何中面，kw和qw分別為Winkler-Pasternak地基的彈性剛度系數(shù)和剪切剛度系數(shù)。

圖1 彈性地基上多孔FGM矩形板的幾何模型和截面上均勻分布的孔隙Fig.1 Geometric model of a porous FGM rectangular plate on elastic foundation and cross-section with evenly distributed porosity

考慮到 FGM 的物性參數(shù)與溫度T有關(guān)，采用Voigt混合冪律模型[21]。物性參數(shù)滿(mǎn)足：

式中：P可表示彈性模量E、密度 ρ和熱膨脹系數(shù)α ；T為絕對(duì)溫度；n為 梯度指數(shù)；下標(biāo) c 和 m則分別為陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)。

上述金屬和陶瓷的某一物性參數(shù)G隨溫度T的變化可采用 Touloukian 非線(xiàn)性函數(shù)，統(tǒng)一表述為[14]：

式 中，G0、G-1、G1、G2和G3為 溫 度 相 關(guān) 的 系數(shù)，一般由實(shí)驗(yàn)給出，可見(jiàn)表1。

表1 陶瓷和金屬材料物性參數(shù)的溫度相關(guān)系數(shù)表[14]Table 1 Temperature correlation coefficient of physical parameters of ceramic and metal materials[14]

當(dāng)FGM中存在孔隙時(shí)，可以假設(shè)孔隙的大小和分布是任意的，并且介質(zhì)是連續(xù)致密的，在此基礎(chǔ)上得到了孔隙率 θ與彈性模量E、泊松比ν和密度 ρ的關(guān)系[20]。定義孔隙率如下：

式中： ρ(z) 為 致密密度； ρ0(z)為自然密度。

有效泊松比和有效彈性模量分別為：

式中：ν、E(z) 和ν?、E?(z) 分 別為 θ=0 和 0<θ<1時(shí)的泊松比及彈性模量；bc=2-3ν。將式(1)～式(3)代入式(5)即可得到不同孔隙率下 FGM 矩形板的有效彈性模量。

1.2 Winkler-Pasternak地基模型和升溫

雙參數(shù)Winkler-Pasternak彈性地基中考慮了剪力的作用，地基-板相互作用力F和矩形板橫向位移w的關(guān)系為[22]：

式中：kw、qw分別為地基的彈性剛度系數(shù)和剪切剛度系數(shù)； ?2為二維Laplace算子。

本文僅考慮均勻升溫：

式中：T0為無(wú)應(yīng)力狀態(tài)的參考溫度，本文取T0=300 K； ΔT為升溫值。

1.3 基本方程

根據(jù)薄板和小撓度理論的基本假設(shè)，溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板位移場(chǎng)為：

式中：u、v和w分 別為板內(nèi)一點(diǎn)沿x、y和z方向的位移分量；z0為物理中面。物理中面內(nèi)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量均為零，其表達(dá)式如下[23]：

幾何方程為：

本構(gòu)方程為：

下面應(yīng)用Hamilton原理建立溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知哈密頓原理如下：

式中： Π 、U和V分別為地基-板系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力勢(shì)能；δ為變分符號(hào)；t1和t2分別為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻。這里只考慮橫向位移，令w=w(x,y,t)，可得：

考慮溫度在板內(nèi)均勻變化，且忽略面內(nèi)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力，可得溫度影響下彈性地基上多孔FGM矩形板橫向運(yùn)動(dòng)的控制微分方程：

2 無(wú)量綱控制微分方程及DTM變換

2.1 無(wú)量綱控制微分方程

溫度影響下彈性地基上多孔FGM矩形板在y=0 和y=b處 為簡(jiǎn)支(S)邊界，而在x=0 和x=a處可為固定(C)邊界、簡(jiǎn)支(S)邊界或自由(F)邊界。在本文的問(wèn)題討論中，邊界條件按照x=0、y=b、x=a和y=0的順序給出。

綜上可得到溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱控制微分方程：

式中：

式中：A1、A2、A3分別為四階微分方程各項(xiàng)系數(shù)；η為慣性系數(shù)。

接下來(lái)考慮多孔 FGM 矩形板在X=0 和X=1處的無(wú)量綱邊界條件，其形式如下：

簡(jiǎn)支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

2.2 DTM變換

對(duì)于溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)的無(wú)量綱控制微分方程式(17)的求解，本文采用一種半解析法—微分變換法(DTM)[24]進(jìn)行求解。按照DTM的求解過(guò)程及原理，將溫度影響下彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)的無(wú)量綱控制微分方程轉(zhuǎn)換為如下的迭代代數(shù)方程：

邊界條件的DTM變換如下：

在X=0處：

簡(jiǎn)支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

在X=1處：

簡(jiǎn)支(S)：

固定(C)：

自由(F)：

結(jié)合式(21)～式(27)，邊界條件為兩邊固定兩邊簡(jiǎn)支(CSCS)、一邊固定三邊簡(jiǎn)支(CSSS)和一邊固支一邊自由兩對(duì)邊簡(jiǎn)支(CSFS)的關(guān)于無(wú)量綱固有頻率的特征方程如下：

對(duì)于邊界條件為四邊簡(jiǎn)支(SSSS)和一邊自由三邊簡(jiǎn)支(SSFS)，關(guān)于無(wú)量綱固有頻率的特征方程如下：

要求得無(wú)量綱的固有頻率必須滿(mǎn)足：

對(duì)于邊界條件為兩邊自由兩邊簡(jiǎn)支(FSFS)，關(guān)于無(wú)量綱固有頻率的特征方程如下：

同理，必須滿(mǎn)足：

式中，γ為迭代誤差限，這里取 γ=0.000001。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

應(yīng)用MATLAB軟件編寫(xiě)相關(guān)程序，由此可得到由DTM求解溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱固有頻率。為了驗(yàn)證DTM的正確性，將溫度影響下彈性地基上多孔FGM矩形板，經(jīng)算例1退化為孔隙率為零時(shí)的FGM矩形板和Winkler彈性地基上FGM矩形板，并與文獻(xiàn)[25]中的結(jié)果進(jìn)行比較。經(jīng)算例2得到新的結(jié)果。

算例1. 300 K下陶瓷和金屬的物性參數(shù)分別取為： ρc=3800kg/m3， ρm=2700kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa。

表2 CSSS和CSFS邊界條件下不同長(zhǎng)寬比、不同梯度指數(shù)對(duì)FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Table 2 Influence of aspect ratio and gradient index on dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plate with CSSS and CSFS boundary conditions

表3 CSCS和SSSS邊界條件下長(zhǎng)寬比對(duì)Winkler彈性地基上FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響(n=1, K=100)Table 3 Influence of aspect ratio on dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plate on Winkler elastic foundation with CSCS and SSSS boundary conditions (n = 1, K = 100)

算例2. 圖2～圖6中各物性參數(shù)均遵循表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中，泊松比ν取陶瓷材料和金屬材料的平均值即：ν=(νc+νm)/2=0.280。

圖2反映了當(dāng)θ =0.2 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，Q=10 ，ΔT=100K，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下梯度指數(shù)n與前三階的無(wú)量綱固有頻率 Ω的關(guān)系曲線(xiàn)。結(jié)果顯示：隨著n的增大，無(wú)量綱固有頻率 Ω總體上在減小。當(dāng)n在小值范圍取值時(shí)，無(wú)量綱固有頻率減小趨勢(shì)很劇烈；當(dāng)n在較大值范圍取值時(shí)，無(wú)量綱固有頻率變化趨于平緩；當(dāng)n的值一定時(shí)，邊界約束越強(qiáng)，無(wú)量綱固有頻率越大，即CSCS固有頻率>CSSS固有頻率>SSSS固有頻率>CSFS固有頻率>SSFS固有頻率>FSFS固有頻率。

圖2 不同邊界條件下梯度指數(shù)對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.2 Influence of gradient index on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plates on Winkler-Pasternak elastic foundations under different boundary conditions

圖3給出當(dāng)n=1 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，Q=10 ， ΔT=100 K時(shí)，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下孔隙率 θ與前三階無(wú)量綱固有頻率 Ω的關(guān)系。結(jié)果顯示：一階無(wú)量綱固有頻率在CSCS、CSSS、SSSS邊界下隨著孔隙率的增大而減小，在CSFS、SSFS和FSFS邊界下，一階無(wú)量綱固有頻率起初隨孔隙率增大而減小，后又微弱增大趨勢(shì)。而二階、三階無(wú)量綱固有頻率隨著孔隙率的增大在減小，且減小的幅度比一階要大。當(dāng) θ一定時(shí)，邊界約束越強(qiáng)，無(wú)量綱固有頻率越大，即CSCS固有頻率>CSSS固有頻率>SSSS固有頻率>CSFS固有頻率>SSFS固有頻率>FSFS固有頻率。

圖3 不同邊界條件下孔隙率對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.3 Influence of porosity on the dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

圖4給出當(dāng)n=1 ，H=0.1 ，λ=1 ，K=100，θ=0.2 ，Q=10時(shí)，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下溫升ΔT與前三階無(wú)量綱固有頻率 Ω的關(guān)系。結(jié)果顯示：前三階無(wú)量綱固有頻率隨著溫升的不斷增大而減小，且二階和三階無(wú)量綱固有頻率減小的幅度比一階大。

圖4 不同邊界條件下溫升對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.4 Influence of temperature rise on the dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

圖5為n=1 ，H=0.1 ，ΔT=100 K，K=100，θ=0.2 ，Q=10時(shí)，在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下長(zhǎng)寬比λ與前兩階無(wú)量綱固有頻率 Ω的關(guān)系。結(jié)果顯示：前兩階無(wú)量綱固有頻率隨著長(zhǎng)寬比的增大而增大，且二階無(wú)量綱固有頻率增大的幅度比一階大。當(dāng)長(zhǎng)寬比λ一定時(shí)，邊界約束越強(qiáng)，無(wú)量綱固有頻率越大，即CSCS固有頻率>CSSS固有頻率>SSSS固有頻率>CSFS固有頻率>SSFS固有頻率>FSFS固有頻率。

圖5 不同邊界條件下長(zhǎng)寬比對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.5 Influence of the aspect ratio on the dimensionless natural frequency of the porous FGM rectangular plate on the Winkler-Pasternak elastic foundation under different boundary conditions

圖6 給出了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下，當(dāng)n=1 ，H=0.1 ， ΔT=100 K，λ=1 ， θ=0.2 ，Q=10無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)K對(duì)無(wú)量綱固有頻率 Ω的影響。結(jié)果表明：前兩階無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱剛度系數(shù)的增大而增大，且二階無(wú)量綱固有頻率幾乎呈線(xiàn)性變化，當(dāng)無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)K一定時(shí)，邊界約束越強(qiáng)，無(wú)量綱固有頻率越大, 即CSCS固有頻率>CSSS固有頻率>SSSS固有頻率>CSFS固有頻率> SSFS固有頻率>FSFS固有頻率。

圖6 不同邊界條件下無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.6 Influence of dimensionless elastic stiffness coefficient on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

圖7 反映了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下，當(dāng)n=1 ，H=0.1 ， ΔT=100 K，λ=1 ， θ=0.2 ，K=100，無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)Q對(duì)無(wú)量綱固有頻率 Ω的影響，結(jié)果表明：前兩階無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱剛度系數(shù)Q的增大而增大。且二階無(wú)量綱固有頻率比一階無(wú)量綱固有頻率增大得到幅度大，當(dāng)Q的值一定時(shí)，邊界約束越強(qiáng)，無(wú)量綱固有頻率越大，即CSCS固有頻率>CSSS固有頻率>SSSS固有頻率>CSFS固有頻率> SSFS固有頻率>FSFS固有頻率。

圖7 不同邊界條件下無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的影響無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.7 Influence of dimensionless shear stiffness coefficient on the dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

圖8 給出了在CSCS、CSSS、SSSS、CSFS、SSFS和FSFS邊界條件下，當(dāng)n=1 ， ΔT=100K ，λ=1 ， θ=0.2 ，K=100 ，Q=10 ， 邊 厚 比 1/H對(duì)一階無(wú)量綱固有頻率 Ω1(即無(wú)量綱基頻)的影響。這里邊厚比的取值為8～60之間，結(jié)果表明：一階無(wú)量綱固有頻率均隨著邊厚比 1/H的增大而減小。由于隨著邊厚比的增大，多孔FGM矩形板的整體剛度趨向于減小，從而導(dǎo)致這一必然結(jié)果。

圖8 不同邊界條件下邊厚比對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板一階無(wú)量綱固有頻率的影響Fig.8 Influence of side-to-thickness ratio on first dimensionless natural frequencies of porous FGM rectangular plate on Winkler-Pasternak elastic foundation with different boundary conditions

4 結(jié)論

本文基于Hamilton原理和經(jīng)典薄板理論建立了溫度影響下Winkler-Pasternak彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動(dòng)的控制微分方程并無(wú)量綱化，然后運(yùn)用微分變換法(DTM)對(duì)無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件進(jìn)行變換，通過(guò)編寫(xiě)MATLAB程序求解出無(wú)量綱固有頻率，并分別給出了不同參數(shù)值的變化對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響。得到主要結(jié)論如下：

(1) 多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率 Ω 隨著梯度指數(shù)n的增大而減小，隨著梯度指數(shù)n趨向于無(wú)窮大，無(wú)量綱固有頻率趨于不變，合理的解釋了FGM中陶瓷材料向金屬材料過(guò)渡的特性。

(2) 多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率 Ω隨著孔隙率 θ變化：一階無(wú)量綱固有頻率在CSCS、CSSS、SSSS邊界下隨著孔隙率的增大而減小，在CSFS、SSFS和FSFS邊界下，一階無(wú)量綱固有頻率起初隨孔隙率增大而減小，后有微弱增大趨勢(shì)。而二階、三階無(wú)量綱固有頻率隨著孔隙率的增大在減小，且減小的幅度比一階要大。

(3) 多孔FGM矩形板前三階無(wú)量綱固有頻率Ω隨著溫升ΔT的增大而減小，且二階和三階無(wú)量綱固有頻率減小的幅度比一階大。

(4) 多孔FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率 Ω隨著無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)K的增大而增大，且二階無(wú)量綱固有頻率幾乎呈線(xiàn)性變化。隨著無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)Q的增大而增大。

(5) 多孔FGM矩形板前兩階無(wú)量綱固有頻率隨著長(zhǎng)寬比的增大而增大。一階無(wú)量綱固有頻率Ω隨著邊厚比 1/H的增大而減小。