基于微分方程的疫情人數預測與管控啟示

魏會賢

（石家莊鐵路職業技術學院 河北石家莊 050041）

傳染病是危害人們健康和生命的重大疾病。基于傳染病具有可傳播性和一定的周期性，可以考慮從數學的角度來研究傳染病的傳播情況。對于不同類型的傳染病，要根據傳染病傳播現象及相應的調査數據，通過建立能揭示其變化規律的數學模型，進而對相應的數學模型進行研究，從而達到運用數學理論研究這些傳染病病理機制、原理以及傳播情況的目的。

1 模型構建

分析新型冠狀肺炎的傳播過程可知，可將人群分為三類：正常人員、確診病例和密接者，三類人員之間是相互轉化的，正常人員與確診病例密切接觸（密切接觸是國家防疫規定的特定接觸情況）后轉化為密接者，密接者以一定的比例轉化為確診病例，確診病例經過一段時間的治療后轉化為正常人員（由于死亡病例較少，且不再具有傳播性，因此在分析中我們暫不考慮確診病例死亡的狀況），本文重點關注確診病例和密接者的人數變化關系，因此我們構建下面兩種方程討論兩者的人數變化和相互關系。

1.1 確診病例人數變化方程

確診病例一般來自與確診病例有接觸的密接者（此處不考慮每波疫情過程中的0號病例，關注的核心問題是0號病例的傳播過程）。假設 ()y t表示確診病例人數，()x t表示密接者人數，則確診病例人數和密接者人數之間存在動態變化關系 y( t ) = θx( t)，該式兩邊對t取微分得到如（1）式所示的微分方程，該微分方程即可表示確診病例隨時間的變化關系。

1.2 密接者人數變化方程

密接者為與確診病例接觸過的人數，因此密接者人數增加受確診病例人數的影響，因此我們假設密接者人數隨時間的變化存在如（2）式所示的函數關系：

式（2）為密接者人數隨時間變化的方程，即在t時刻，確診病例的平均傳播 ()tβ 個人，所以y個確診病例使得密接者增加量為 β( t) y。其中傳播率是隨著時間變化的量：傳播率與確診人數的活動范圍有關，一般確診人數越多，可能的傳播人數越多，但隨著疫情人數的增加，人們的防范意識在逐步增強，政府也會采取積極的管控措施（例如封小區，或封城），這樣會有效降低確診病例的傳播率，當確診病例增加到一個上限，比如λ人時，此時某個區域按下“暫停鍵”，人口不再流動，傳播率將等于0，即當確診病例很小時，此時未能引起人們的重視，政府也未采取管控措施，人口處于正常流動狀態，此時，人們與他人接觸而產生的傳播率等于常數γ（即相對于λ而言，y非常小，因此 0yλ→ ，此時 ()tβ γ= ）。

1.3 確診人數和密接人數變化的相互作用

綜上所述，確診人數和密接人數都可以用關于時間t的微分方程表示，并且確診人數和密接人數之間是相互影響的，因此我們將兩個方程聯立，可以得到基于疫情傳播的疫情確診病例人數變化的方程組如下：

根據上述推導過程還可以進一步分析確診病例的變化特征與參數之間的關系：假設確診病例的變化率為f，則，即確診病例變化率是確診病例數（y）的二次函數，根據二次函數的基本特征可知，確診病例的變化率呈現先升后降的變化特征（這與我國歷次疫情爆發情況類似，開始時病例加速增加，一段時期后，病例開始下降），增長率由升到降的拐點出現在f的最大值處，可以求出該最大值為 2λ ，所以盡早開始封城等嚴格管控措施能夠在較早的時間點使增長率出現拐點。

2 估計結果

我們以石家莊為例展示上述模型的求解和分析過程。石家莊疫情的封城時間是2021年1月6日，解封時間是2021年1月29日，我們向外延伸5天作為研究樣本。為了對比不同階段疫情發展的不同，我們將第一天的疫情人數定義為0（即將0點作為石家莊疫情開始的初始點）。利用STATA16 進行非線性的邏輯斯蒂估計，估計得到參數a、b、c的值分別為2624.82、3.5750和0.2033，并且均在1%的水平下顯著。模型的擬合值和實際值之間的關系如圖1所示，擬合系數為0.999，擬合精度比較高。

圖1 石家莊新冠疫情確診人數與預測人數

利用相同的估計方法，可估計得到以武漢、北京和新疆為主要疫情爆發地的模型估計結果，如表1所示。從中可以看出，參數a、b、c值都在1%的置信水平下具有顯著性，模型的擬合效果都較高，擬合優度都在0.99以上。

表1 武漢、北京、新疆和石家莊疫情的模型估計結果

為求得微分方程組中有實際含義的參數值，需要首先估計模型（1）中的θ值，利用STATA16對模型（1）進行估計（自變量為確診病例數的一階差分，自變量為密接人數的一階差分），估計結果如表2所示。從中可以看出，四個階段的疫情中模型的擬合優度較好，均在0.97以上，θ的估計值均在1%的置信水平上顯著。

表2 武漢、北京、新疆和石家莊疫情的θ值估計結果

根據參數之間的對應關系進行參數轉化，結果如表3所示。從中可以看出：（1）武漢的θ估計值最大，明顯高于北京、新疆和石家莊，這意味著疫情剛開始時，由于人們的防疫意識較低，防范措施不強，因此有更多的密接者成為確診病例，但隨著人們防范意識的增強（比如戴口罩、接種疫苗等），密接人員轉化為確診病例的概率存在降低趨勢（各區域收到防范措施和強度的不同存在一定差異）。（2）λ是確診病例傳播率趨近于0的取值，λ越大意味著政府采取強制措施的相對時點越晚，傳播的人數越多。從估計結果可以看出，武漢的λ值最大，北京的λ值最小，可以推斷由于武漢疫情爆發時，由于經驗、措施和技術等各方面的限制，采取管控的相對時點較晚，而北京等地在較早的時間即采取了有效的管控措施。（3）γ是疫情發展初期，病毒攜帶者（未確診之前）的傳播率，該變量與人口流動情況（如出差、聚餐等），人口總量（當地的關系網等）、所處時間段（是否節假日）以及相關規定（如政府的人口流動管控措施）相關，因此造成各區域該參數存在較大差異，并且并未呈現太明顯的規律特征。

表3 參數轉化結果

3 政策含義及建議

綜上所述，我們所構建的微分方程模型能夠較好的擬合疫情爆發的過程，并且微分方程中的各個參數都具有較為豐富的政策含義。第一，密接者成為確診病例的比率越低（θ的影響），疫情傳播過程越容易得到控制，因此密接者的免疫性越強（通過提高個人衛生狀況、戴口罩、保持接觸距離、不聚集，尤其是接種疫苗），疫情狀況越向好。

第二，病毒攜帶者（確診之前）的傳播率越高（γ的影響），疫情發展速度越快，因此疫情初期，盡量減少不必要的外出和聚集能夠有效降低傳播率。需要注意的是不同地區的人員接觸具有不同的特征，呈現較強的區域差異，因此不同區域需要根據本地區的人員交流特征制定相應的限制政策。

第三，從模型分析和估計結果來看，強制性的管控（如封城）是阻止疫情狀況惡化的最強力措施，但是強制管控會對社會經濟造成較大影響，也嚴重影響人們的生活，因此需要在上述兩種措施的基礎上，平衡強制管控和經濟生活之間的關系。封控措施往往具有臨時性，因此需要在日常做好常態準備：一是要保證重要戰略物資的儲備，“寧可備而不用，不可用而不備”；二是要加強經費保障，構建標準化、制度化的傳染病等重大突發公共衛生事件的應急管理體系；三是進一步提升公共衛生服務水平和公眾健康衛生意識，逐步完全扭轉“重應急、輕預防”“病來重視、病去忽視”的不良現象，建立重大疾病防控救治、救助體系。